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string/docs/suffix_array.md

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+title: Suffix Array (SA-IS)
+documentation_of: ../suffix_array.cpp
+---
+
+## なにこれ
+文字列の Suffix Array を構築する．
+
+## コンストラクタ
+- `SuffixArray(s)`
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+## メンバ関数
+- `get_array()`：文字列 `s` の Suffix Array を構築する．
+
+## 計算量
+文字列 `s` の長さを $n$ とする．
+- コンストラクタ：$O(n)$
+- `get_array()`：$O(n)$
+
+## 補足
+### SA-IS の処理の流れ
+<details><summary>Open</summary><div>
+
+1. 文字列 $s$ の末尾に辞書順で最も小さい文字を追加する．文字列 $s$ の長さを $n$ とする．
+1. $i = n-1, ..., 1, 0$ の順に L-type、S-type のいずれであるかを決定する．
+	1. $i = n-1$ ならば S-type．
+	1. $s_i < s_{i+1}$ ならば S-type．
+	1. $s_i > s_{i+1}$ ならば L-type．
+	1. $s_i = s_{i+1}$ ならば $i+1$ の type と同じ．
+1. $i\ (< n)$ に対して LMS であるかを決定する．
+	1. $i$ が S-type かつ $i-1$ が L-type のとき $i$ は LMS．
+1. Induced Sorting を行う．
+	1. 仮の Suffix Array $A$ を作成し，各 suffix の頭文字を基準にバケットの区切りを決定する．
+	1. LMS を対応するバケットに下から埋める．
+	1. $j = 0, 1, ..., n-1$ の順に次の処理を行う．
+		- $A_j$ が埋まっており，かつ $i = A_j - 1$ が L-type ならば対応するバケットに上から埋める．
+	1. $j = n-1, ..., 1, 0$ の順に次の処理を行う．
+		- $i = A_j - 1$ が S-type ならば対応するバケットに下から埋める．ただし，初めにバケットに埋めた LMS は上書きして埋める．
+1. LMS である $i$ に対して LMS-string $t_i$ を次のように定義する．
+	- $i = n-1$ ならば，$t_i = s[n-1:n-1]$
+	- $i \neq n-1$ ならば，$i$ の次の LMS を $j$ として $t_i = s[i:j]$
+	- (性質) LMS-string は $A$ の上で既にソートされている．
+1. LMS である $i$ に対して連番を振り，文字列 $s$ 上で現れる順番にソートした配列を $s'$ とする．ただし，重複する LMS-string には同じ番号を振る．
+1. LMS-string に重複があるならば，$s'$ に対して SA-IS を行う．
+	- これにより LMS $i$ に対する接尾辞 $s[i:]$ を基準に $i$ をソートすることができる．重複がないならば既にソートされている．
+1. Induced Sorting を行う．ただし，初めに埋める LMS は上から前項でソートした順に埋まるようにする．
+1. 構築された Suffix Array $A$ から末尾を取り除く．
+
+</div></details>
+
+## 参考
+- [接尾辞配列(Suffix Array) - Shogo Computing Laboratory](https://shogo82148.github.io/homepage/memo/algorithm/suffix-array/)