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docs/数学/线性代数/线性基.md

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+tags:
+  - 数学
+  - 二进制
+date: 2023-06-29
+publish: true
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+## 基本概念
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+请自学高中的线性代数，并基本掌握这些内容：
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+> 我们从代数上还可以说，多个标量捆绑在一起构成了向量（）
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+- **向量定义**
+- **代数表示**
+- **基本运算**（代数与几何上）
+	- 数乘：乘以标量 $k$，若为负数则方向相反，其长度变为原来 $|k|$ 倍。
+	- 加（减）法：平行四边形法则。
+	- 其实向量还有内积和叉积，但与本节关系不大，暂略。
+- **平面、空间向量基本定理**，即基底的思想
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+- [线性空间](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4)：由一群可缩放和相加的数学实域（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放（e.g. 数乘）和相加后仍属于这个集合（封闭）。不严谨的讲，只要能满足这两种运算封闭的数学对象（广义的向量）构成的集合，都可以称作 “线性空间”。
+- **线性组合**：即向量与数乘、加法的任意组合。
+- **线性无关**：线性空间的一组向量中，若没有向量可由该组中有限个其他向量的线性组合所表示，则称它们线性无关或线性独立。比如一组基底就是线性无关的。
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+## 实数线性基
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+二维与三维的实数线性基，其实就是平面空间和立体空间的一组基底。
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+## 异或空间线性基
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+我们知道，对于每一个二进制位来说，异或是模2意义下的封闭加法运算。根据取模意义下的乘法，我们也可以得出其在模2意义下运算封闭。这是什么？这是线性空间！！！
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+那么，若把数字的每一个二进制位看成一个标量，则数字便是把它们“捆”起来的一个“向量”，其二进制位个数类似于维数。
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+
+## 用处
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+- 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
+- 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
+- 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值
+- 查询一个数异或一堆数中任意个的最大值
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+## 求法
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+### 高斯消元求线性基
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using ull = unsigned long long;
+const int MAXN = 1e5 + 5;
+
+ull deg(ull num, int deg) { return num & (1ull << deg); }
+
+ull a[MAXN];
+
+int main() {
+  int n;
+  scanf("%d", &n);
+  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%llu", &a[i]);
+  int row = 1;
+  for (int col = 63; ~col && row <= n; --col) {
+    for (int i = row; i <= n; ++i) {
+      if (deg(a[i], col)) {
+        std::swap(a[row], a[i]);
+        break;
+      }
+    }
+    if (!deg(a[row], col)) continue;
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+      if (i == row) continue;
+      if (deg(a[i], col)) {
+        a[i] ^= a[row];
+      }
+    }
+    ++row;
+  }
+  ull ans = 0;
+  for (int i = 1; i < row; ++i) {
+    ans ^= a[i];
+  }
+  printf("%llu\n", ans);
+  return 0;
+}
+```
+
+### 贪心法求线性基
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+### 贪心+消元的动态方法*
+
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+
+## 增删改查
+
+### 验证线性相关
+
+只需要看能否最终插入线性基即可。
+### 从中取任意多个数，与某个数异或的最值
+
+贪心
+### 能异或出的第 k 大值
+
+先消成最简形式，即主元有且仅出现一次。
+
+将k的二进制形式表出，在线性基中只考虑有值的位，直接根据二进制位选择即可。
+
+https://www.luogu.com.cn/problem/P4151