PUSH NOTE : 欧拉函数.md

docs/数学/数论/欧拉函数.md

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+tags:
+  - 数论
+  - 数学
+date: 2023-07-10
+publish: true
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+## 简述
+
+欧拉函数的含义：表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。比如说 $\varphi(1) = 1$。
+
+欧拉函数筛法计算（性质 8）：
+
+$$
+\varphi(x)=x*(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)(1-1/p_4)\cdots(1-1/p_n)
+$$
+
+其中 $p_1, p_2\cdots p_n$ 为 $x$ 的所有质因数，$x$ 是不为 0 的整数。
+
+性质：
+1. $\varphi(1)=1$
+2. 对于素数 $p$，$\varphi(p)=p-1$
+3. 小于 $n$ 并与 $n$ 互质的数的和为：$n * \varphi(n) / 2$
+4. 欧拉定理：如果 $a$ 与 $n$ 互质，$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$
+5. 积性：如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。**不是完全积性函数**，$a,b$ 不任取。特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(2) \times \varphi(n) = \varphi(n)$。
+6. 反演：$n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$。
+7. 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$。
+8. 由唯一分解定理，设 $n = \prod_{i=1}^{s}p_i^{k_i}$ （分解质因数），有：
+
+$$
+\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}
+$$
+
+9. 欧拉降幂（扩展欧拉定理）：$A^{B} \equiv A^{B\bmod\varphi(C)+\varphi(C)}\pmod{C}$
+
+## 欧拉筛
+> 每个数都只筛到其最小质因子倍（相当于取了个 min），那么每一个被筛掉的合数都是由最小的质因子筛掉。
+```cpp
+void init(int n) {
+  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
+    if (!vis[i]) {
+      pri[cnt++] = i;
+    }
+    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
+      if (1ll * i * pri[j] > n) break;
+      vis[i * pri[j]] = 1;
+      if (i % pri[j] == 0) {
+        // pri[j] 是 i 的最小质因子
+        break;
+      }
+    }
+  }
+}
+```
+
+[筛法 - OI Wiki](https://oi-wiki.org/math/number-theory/sieve/#%E7%AD%9B%E6%B3%95%E6%B1%82%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0)
+
+```cpp
+void pre() {
+  for (int i = 1; i <= 5000000; i++) {
+    is_prime[i] = 1;
+  }
+  int cnt = 0;
+  is_prime[1] = 0;
+  phi[1] = 1;
+  for (int i = 2; i <= 5000000; i++) {
+    if (is_prime[i]) {
+      prime[++cnt] = i;
+      phi[i] = i - 1;
+    }
+    for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 5000000; j++) {
+      is_prime[i * prime[j]] = 0;
+      if (i % prime[j])
+        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
+      else {
+        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
+        break;
+      }
+    }
+  }
+}
+```
+
+
+优化：
+只筛至平方根，is_prime只开到平方根
+只筛奇数
+用bitset
+
+
+
+---
+## 附录
+
+### 参考/习题
+
+> [!note] [LibreOJ](https://loj.ac/p/6375)
+> 给定 $n$，计算下式的值：$\sum_{i=1}^n\text{lcm}(i,n)$
+>
+> 其中 $\text{lcm}(i,n)$ 表示 $i,n$ 的最小公倍数。
+
+易得：
+
+$$
+\sum_{i=1}^{n} lcm(i,n)=n\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{gcd(i,n)}
+$$
+
+我们令 $d=gcd(i,n)$ ，考虑每个 $d$ 对答案的贡献（开始枚举 $d$）
+
+$$
+=n\sum_{i=1}^{n} \sum_{d} \frac{i}{d}[gcd(i,n)==d]
+$$
+
+考虑到如果 $gcd(i,n)==d$，必然有 $i$ 为 $d$ 的倍数，因此不妨将 $i$ 的意义**替换**为 $i/d$，也即：
+
+$$
+=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n/d} i[gcd(id,n)==d]
+$$
+
+
+$$
+=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n/d} i[gcd(i,n/d)==1]
+$$
+
+有 $n/d,d$ 两两配对可以互换：
+
+$$
+=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{d} i[gcd(i,d)==1]
+$$
+
+注意到$\sum_{i=1}^{d} i[gcd(i,d)==1]$表示$[1,d]$中与$d$互质的数的和，它等于$\frac{\varphi(d)d}{2}$。
+
+证明：
+
+- 当$d>2$时，$\varphi(d)$总是偶数，这是因为与$d$互质的数总是成对出现。具体来说，$i$与$d$互质，则$d-i$与$d$肯定也互质，它们的和是$d$，并且有$\varphi(d)/2$对。
+- 当$d=2$时，显然成立；当$d=1$时，定义其为$1$（要特判）。
+
+于是上式化简为
+
+$$
+=n\sum_{d|n}\frac{\varphi(d)d}{2}
+$$
+
+设
+
+$$
+f(d)=\sum_{d|n}\frac{\varphi(d)d}{2}
+$$
+
+我们枚举 $d$，对于每个 $2\le d\le maxn$，把 $\frac{\varphi(d)d}{2}$ 的贡献加到$f(n)$中去，最后加1，询问时再把最外面那个$n$乘进去。所以我们就可以在 $O(n\log n)$ 的时间内预处理出所有的 $f(n)$ ，每次查询 $O(1)$。
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using std::cin;
+using std::cout;
+using LL = long long;
+using ull = unsigned long long;
+using ld = long double;
+
+const int maxn = 1e6, N = 1e6+10;
+
+LL phi[N],f[N],prime[N];
+bool is_prime[N];
+void pre() {
+  for (int i = 1; i <= maxn; i++) {
+    is_prime[i] = 1;
+  }
+  int cnt = 0;
+  is_prime[1] = 0;
+  phi[1] = 1;
+  for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
+    if (is_prime[i]) {
+      prime[++cnt] = i;
+      phi[i] = i - 1;
+    }
+    for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= maxn; j++) {
+      is_prime[i * prime[j]] = 0;
+      if (i % prime[j])
+        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
+      else {
+        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
+        break;
+      }
+    }
+  }
+}
+
+void calc(){
+	for(int i=2;i<=maxn;i++){
+		for(int j=i;j<=maxn;j+=i){
+			f[j] += i*phi[i];
+		}
+		f[i] = f[i]/2 + 1;
+	}
+}
+
+LL t,x;
+int main() {
+	std::ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
+	pre(),calc();
+	cin >> t;
+	while(t--){
+		cin >> x;
+		cout << f[x]*x << '\n';
+	}
+	return 0;
+}
+```
+
+[小于正整数n且与n互质的正整数之和是多少？ - 知乎](https://www.zhihu.com/question/441796368)