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+tags:
+  - 2-SAT
+  - tarjan
+  - SCC
+  - 图论
+date: 2023-06-27
+publish: true
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+前置知识：Tarjan 缩点，逻辑运算法则（且对或的分配率、摩根率）
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+SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 k>2 时该问题为 NP 完全的。**只有2-SAT有多项式复杂度。**
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+## 简介
+
+2-SAT，就是 $n$ 个集合，每个集合有2个元素，每个集合只能选取其中的一个元素（不能不选），又已知若干个 $\langle a,b \rangle$，表示 $a$ 与 $b$ 矛盾（其中 $a$ 与 $b$ 属于不同的集合）。
+
+判断能否一共选 $n$ 个两两不矛盾的元素满足所有条件。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。
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+等价于：[P4782 【模板】2-SAT - 洛谷 | 计算机科学教育新生态](https://www.luogu.com.cn/problem/P4782)
+
+有 $n$ 个布尔变量 $x_1\sim x_n$，另有若干个需要满足的条件，每个条件的形式都是
+
+**「$x_i$ 为 `true` / `false` 或 $x_j$ 为 `true` / `false`」**
+
+比如 「$x_1$ 为真或 $x_3$ 为假」、「$x_7$ 为假或 $x_2$ 为假」
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+2-SAT 问题的目标是给每个变量赋值使得所有条件得到满足。
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+> [!hint] 为什么等价？
+> 这里的 $n$ 个变量就是上面的集合，均为 $\{false,true\}$。不妨将第 $i$ 个集合写成 $\{F_i=false,T_i=true\}$，分别表示 $i=false/true$，则条件「$x_1$ 为真或 $x_3$ 为假」可以看作 $F_1$ 和 $T_3$ 有矛盾，不能同时取。
+
+## 分析建模
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+我们似乎隐隐感觉到要把每个变量（集合）拆成两个元素来解决问题。用图论尝试建模这个条件，将有向边看成「已知某个变量的取值，一定能够推出另一个变量的值」的推导关系。
+
+若设$x_1=F_1=false$，要满足条件，则$x_3$只能取$F_3=false$，连边 $F_1\rightarrow F_3$；
+同样设$x_3=T_3=true$，要满足条件，则$x_1$只能取$T_1=true$，连边 $T_3\rightarrow T_1$。
+
+而设$x_1=T_1=true$，满足条件时，$x_3$两个值都能取，是要连两条边吗？
+
+不！！！！！！
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+边的定义是「已知某个变量的取值，**一定能够推出另一个变量的值**」的推导关系。虽然是推导关系，但这是不确定的关系，不能连边。
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+> 注：2-SAT 并不只有「或」的约束，所有常见约束处理在文末。
+
+## 转化成图论，然后呢？
+
+这样就转化成了一个图论问题。对于一个变量$x_i$，若$T_i$经过一条链的推导到$F_i$，则说明$x_i=F_i=false$。图上拓扑序大的点便是变量经过推导后最终的取值。
+
+但是这可能会有环，并且当一个变量的真和假两个点在在一个环里时，是真假互推，同时取真假的叠加态，显然是错误的。
+
+因此我们跑一遍 Tarjan SCC 判断是否有一个变量的两个点在同一个 SCC 中，若有则输出不可能，否则输出方案。
+
+方案？我们不用再跑一边toposort了，缩点的scc_id是反着的拓扑序（dfs越先搜到说明越深），详见代码。
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using std::cin;
+using std::cout;
+using LL = long long;
+
+const int maxn = 4e6+10; //二倍点 四倍边
+
+// 2-sat
+
+struct Edge {
+	int to,pre;
+} e[maxn*2];
+int head[maxn],tot;
+void addedge(int u,int v) {
+	e[++tot] = {v,head[u]}, head[u]=tot;
+}
+
+int dfn[maxn],low[maxn],st[maxn],top,id;
+bool in_st[maxn];
+int n,m;
+int scc_id,scc[maxn]; //记录染色
+
+void tarjan(int now) {
+	dfn[now]=low[now]=++id;
+	st[++top]=now;
+	in_st[now]=1;
+	for(int p=head[now]; p; p=e[p].pre) {
+		int i = e[p].to;
+		if(!dfn[i]) {
+			tarjan(i);
+			low[now] = std::min(low[now],low[i]);
+		} else if(in_st[i]) {
+			low[now] = std::min(low[now],dfn[i]);
+		}
+	}
+	if(dfn[now]==low[now]){
+		scc_id++;
+		while(st[top]!=now){
+			scc[st[top]]=scc_id;
+			in_st[st[top]]=0;
+			top--;
+		}
+		scc[st[top]]=scc_id;
+		in_st[st[top]]=0;
+		top--;
+		// 弹出now
+	}
+}
+
+int main() {
+	cin >> n >> m;
+	for(int i=1; i<=m; i++) {
+		int a,b,va,vb;
+		cin >> a >> va >> b >> vb;
+		// 反向思考 一个条件不成立则另一个条件必须成立
+		// 真：1~n 假：n+1~2n
+		if(va && vb) {
+			// a, b 都真，-a -> b, -b -> a
+			addedge(a+n,b),addedge(b+n,a);
+		} else if(va && !vb) {
+			// a 真 b 假，-a -> -b, b -> a
+			addedge(a+n,b+n),addedge(b,a);
+		} else if(!va && vb) {
+			// a 假 b 真，a -> b, -b -> -a
+			addedge(a,b),addedge(b+n,a+n);
+		} else {
+			// a, b 都假，a -> -b, b -> -a
+			addedge(a,b+n),addedge(b,a+n);
+		}
+//		addedge(a+va*n,b+(vb^1)*n);
+//      addedge(b+vb*n,a+(va^1)*n);
+	}
+	for(int i=1; i<=2*n; i++) {
+		if(!dfn[i]) tarjan(i);
+	}
+	// 判断无解 自己和反点没有在一个scc（不取相同值）
+	for(int i=1;i<=n;i++){
+		if(scc[i]==scc[i+n]){
+			cout << "IMPOSSIBLE";
+			return 0;
+		}
+	}
+	cout << "POSSIBLE\n";
+	for(int i=1;i<=n;i++){
+		if(scc[i+n] < scc[i]) cout << "0 "; // 假的点的编号更小，取假
+		else cout << "1 ";
+	}
+	return 0;
+}
+```
+
+---
+
+建边也可以用位运算，大概就是：
+
+两个元素相互矛盾，选一个则必定选另一个的补；
+两个元素用或连接，不选一个（选了这个的补）则必须选另一个。
+
+两个相互矛盾的条件，一个成立则另一个必定不成立；
+两个用或连接的条件，一个不成立则另一个必须成立。
+
+其实，2-SAT之所以有多项式复杂度，根源就在这里——必定能推断的原因是每个集合都有且仅有两个元素可选，不能不选，一个不可选，则只能选另一个了。
+
+```cpp
+if(A=='h') x=0; else x=1;
+if(B=='h') y=0; else y=1;
+// 多个条件：Aa 或 Bb
+// `h汉`在1~n; `m满`在n+1~2n
+// 若不选Aa而选择了Ba 则Ba->Bb
+add(a+(x^1)*n,b+y*n);
+// 若不选Bb而选择了Ab 则Ab->Aa
+add(b+(y^1)*n,a+x*n);
+```
+
+https://www.luogu.com.cn/problem/P4171
+
+---
+
+还有一个例子，差不多。
+
+邀请人来吃喜酒，夫妻二人**必须去一个**（不是必须去就不是2-SAT了），然而某些人之间有矛盾（比如 A 先生与 B 女士有矛盾，C 女士不想和 D 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间有矛盾？方案呢？
+
+## 常见约束转化
+
+我们令一条**有向边**的意义：$x\rightarrow y$ 表示如果选择了 $x$ 就必须选 $y$。考虑钦定一个变量取反，若要满足约束，另一个**一定**会取什么。
+
+可以举一些简单的例子来总结下连边的规律（用 $i'$ 表示 $i$ 的反面）：
+
+1. $x,y$ 必须同时选，X且Y：$x\rightarrow y,y\rightarrow x$
+2. $x,y$ 都不能选，非X且非Y：$x'\rightarrow y',y'\rightarrow x'$
+
+“且”表达了强烈的推导关系，下面是或：
+
+1. $x,y$ 不能同时选，$\lnot(X \wedge Y) \Rightarrow \lnot X \vee \lnot Y$：$x\rightarrow y',y\rightarrow x'$
+2. $x,y$ 中只选一个，不能不选，$(\lnot X \wedge Y) \vee (X \wedge \lnot Y) \Rightarrow (X \vee Y) \wedge (\lnot X \vee \lnot Y)$：$x'\rightarrow y,y\rightarrow x',x\rightarrow y',y'\rightarrow x$（这个先双重取反，用摩根率，分配率乘开，再摩根回来）
+
+“或”的约束不强，有时候可以分类讨论。最后是必须选某一个：
+
+1. $x$ 必须选：$x'\rightarrow x$
+2. $x'$ 必须选：$x\rightarrow x'$
+
+如果是复杂的多个条件并列的时候，进行逻辑运算化成多个二元条件的且，比如此题（4-SAT转2-SAT）：[D. 滈葕](https://tg.hszxoj.com/contest/849/problem/4)
+
+## 参考文献：
+
+[题解 P4782 【模板】2-SAT 问题 - 暗ざ之殇 的博客 - 洛谷博客](https://www.luogu.com.cn/blog/xcg--123/ti-xie-p4782-mu-ban-2-sat-wen-ti)
+
+[LibreOJ](https://loj.ac/p/3629) Sol：[【2021集训队出题】序列 - 冰雾 - 博客园](https://www.cnblogs.com/FrozenFoggy/p/15824031.html)
+
+[2-SAT超入门讲解 - 空気力学の詩 - 博客园](https://www.cnblogs.com/cjjsb/p/9771868.html)
+
+[逻辑运算定律 - 知乎](https://zhuanlan.zhihu.com/p/65877185)