[PUBLISHER] Merge #42

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docs/数学/线性代数/线性基.md

@@ -5,106 +5,106 @@ tags:
 date: 2023-06-29
 publish: true
 ---
-
-## 基本概念
-
-请自学高中的线性代数，并基本掌握这些内容：
-
-> 我们从代数上还可以说，多个标量捆绑在一起构成了向量（）
-
-- **向量定义**
-- **代数表示**
-- **基本运算**（代数与几何上）
-	- 数乘：乘以标量 $k$，若为负数则方向相反，其长度变为原来 $|k|$ 倍。
-	- 加（减）法：平行四边形法则。
-	- 其实向量还有内积和叉积，但与本节关系不大，暂略。
-- **平面、空间向量基本定理**，即基底的思想
-
-- [线性空间](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4)：由一群可缩放和相加的数学实域（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放（e.g. 数乘）和相加后仍属于这个集合（封闭）。不严谨的讲，只要能满足这两种运算封闭的数学对象（广义的向量）构成的集合，都可以称作 “线性空间”。
-- **线性组合**：即向量与数乘、加法的任意组合。
-- **线性无关**：线性空间的一组向量中，若没有向量可由该组中有限个其他向量的线性组合所表示，则称它们线性无关或线性独立。比如一组基底就是线性无关的。
-
-## 实数线性基
-
-二维与三维的实数线性基，其实就是平面空间和立体空间的一组基底。
-
-
-## 异或空间线性基
-
-我们知道，对于每一个二进制位来说，异或是模2意义下的封闭加法运算。根据取模意义下的乘法，我们也可以得出其在模2意义下运算封闭。这是什么？这是线性空间！！！
-
-那么，若把数字的每一个二进制位看成一个标量，则数字便是把它们“捆”起来的一个“向量”，其二进制位个数类似于维数。
-
-
-## 用处
-
-- 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
-- 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
-- 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值
-- 查询一个数异或一堆数中任意个的最大值
-
-## 求法
-
-### 高斯消元求线性基
-
-```cpp
-#include <bits/stdc++.h>
-using ull = unsigned long long;
-const int MAXN = 1e5 + 5;
-
-ull deg(ull num, int deg) { return num & (1ull << deg); }
-
-ull a[MAXN];
-
-int main() {
-  int n;
-  scanf("%d", &n);
-  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%llu", &a[i]);
-  int row = 1;
-  for (int col = 63; ~col && row <= n; --col) {
-    for (int i = row; i <= n; ++i) {
-      if (deg(a[i], col)) {
-        std::swap(a[row], a[i]);
-        break;
-      }
-    }
-    if (!deg(a[row], col)) continue;
-    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
-      if (i == row) continue;
-      if (deg(a[i], col)) {
-        a[i] ^= a[row];
-      }
-    }
-    ++row;
-  }
-  ull ans = 0;
-  for (int i = 1; i < row; ++i) {
-    ans ^= a[i];
-  }
-  printf("%llu\n", ans);
-  return 0;
-}
-```
-
-### 贪心法求线性基
-
-
-### 贪心+消元的动态方法*
-
-
-
-## 增删改查
-
-### 验证线性相关
-
-只需要看能否最终插入线性基即可。
-### 从中取任意多个数，与某个数异或的最值
-
-贪心
-### 能异或出的第 k 大值
-
-先消成最简形式，即主元有且仅出现一次。
-
-将k的二进制形式表出，在线性基中只考虑有值的位，直接根据二进制位选择即可。
-
+
+## 基本概念
+
+请自学高中的线性代数，并基本掌握这些内容：
+
+> 我们从代数上还可以说，多个标量捆绑在一起构成了向量（）
+
+- **向量定义**
+- **代数表示**
+- **基本运算**（代数与几何上）
+	- 数乘：乘以标量 $k$，若为负数则方向相反，其长度变为原来 $|k|$ 倍。
+	- 加（减）法：平行四边形法则。
+	- 其实向量还有内积和叉积，但与本节关系不大，暂略。
+- **平面、空间向量基本定理**，即基底的思想
+
+- [线性空间](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4)：由一群可缩放和相加的数学实域（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放（e.g. 数乘）和相加后仍属于这个集合（封闭）。不严谨的讲，只要能满足这两种运算封闭的数学对象（广义的向量）构成的集合，都可以称作 “线性空间”。
+- **线性组合**：即向量与数乘、加法的任意组合。
+- **线性无关**：线性空间的一组向量中，若没有向量可由该组中有限个其他向量的线性组合所表示，则称它们线性无关或线性独立。比如一组基底就是线性无关的。
+
+## 实数线性基
+
+二维与三维的实数线性基，其实就是平面空间和立体空间的一组基底。
+
+
+## 异或空间线性基
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+我们知道，对于每一个二进制位来说，异或是模2意义下的封闭加法运算。根据取模意义下的乘法，我们也可以得出其在模2意义下运算封闭。这是什么？这是线性空间！！！
+
+那么，若把数字的每一个二进制位看成一个标量，则数字便是把它们“捆”起来的一个“向量”，其二进制位个数类似于维数。
+
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+## 用处
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+- 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
+- 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
+- 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值
+- 查询一个数异或一堆数中任意个的最大值
+
+## 求法
+
+### 高斯消元求线性基
+
+```cpp
+#include <bits/stdc++.h>
+using ull = unsigned long long;
+const int MAXN = 1e5 + 5;
+
+ull deg(ull num, int deg) { return num & (1ull << deg); }
+
+ull a[MAXN];
+
+int main() {
+  int n;
+  scanf("%d", &n);
+  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%llu", &a[i]);
+  int row = 1;
+  for (int col = 63; ~col && row <= n; --col) {
+    for (int i = row; i <= n; ++i) {
+      if (deg(a[i], col)) {
+        std::swap(a[row], a[i]);
+        break;
+      }
+    }
+    if (!deg(a[row], col)) continue;
+    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
+      if (i == row) continue;
+      if (deg(a[i], col)) {
+        a[i] ^= a[row];
+      }
+    }
+    ++row;
+  }
+  ull ans = 0;
+  for (int i = 1; i < row; ++i) {
+    ans ^= a[i];
+  }
+  printf("%llu\n", ans);
+  return 0;
+}
+```
+
+### 贪心法求线性基
+
+
+### 贪心+消元的动态方法*
+
+
+
+## 增删改查
+
+### 验证线性相关
+
+只需要看能否最终插入线性基即可。
+### 从中取任意多个数，与某个数异或的最值
+
+贪心
+### 能异或出的第 k 大值
+
+先消成最简形式，即主元有且仅出现一次。
+
+将k的二进制形式表出，在线性基中只考虑有值的位，直接根据二进制位选择即可。
+
 https://www.luogu.com.cn/problem/P4151

docs/数学/线性代数/行列式.md

@@ -0,0 +1,30 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+date: 2023-07-06
+publish: true
+---
+## 定义
+
+行列式有公式
+
+$$
+\operatorname{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}
+$$
+
+其中 $S_n$ 是指长度为 $n$ 的全排列的集合，$\sigma$ 就是一个全排列，如果 $\sigma$ 的逆序对对数为偶数，则 $\operatorname{sgn}(\sigma)=1$，否则 $\operatorname{sgn}(\sigma)=−1$。
+
+## 几何意义
+
+$N \times N$ 方阵行列式可以理解为所有列向量张成的几何体的有向体积（面积），由此有：
+
+- 矩阵转置，行列式不变；
+- 矩阵行（列）交换，行列式取反；
+- 矩阵行（列）相加或相减，行列式不变；
+- 矩阵行（列）所有元素同时乘以数 $k$，行列式等比例变大。
+
+看3b1b！！！
+
+## 求解
+
+![高斯消元 > 求行列式](./%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%B6%88%E5%85%83.md#求行列式)