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@StoneForgeJoel
StoneForgeJoel committed Nov 15, 2022
1 parent ea470dc commit 13e3c2f
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329 changes: 238 additions & 91 deletions RegT1E_HS22.tex
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Expand Up @@ -10,6 +10,22 @@
\usepackage{multicol}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{bm}
\usepackage{color, colortbl}
\usepackage{trfsigns}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{plotmarks}

\usepackage{pgfplots}
\usepackage{lscape}


\usetikzlibrary{plotmarks}

\definecolor{TabularBackgroundColor}{rgb}{0.83,0.96,0.96}

%% TODO: publish to CTAN
\usepackage{tex/hsrstud}

Expand Down Expand Up @@ -39,8 +55,6 @@

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\contributors{
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Naoki Pross
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}

Expand Down Expand Up @@ -73,7 +87,6 @@ \section*{Lizenz}
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{arabic}

\input{include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex}
\section{Begriffe}
\begin{itemize}
\item Prozess
Expand Down Expand Up @@ -113,7 +126,7 @@ \section{Begriffe}
\end{itemize}
\item Grundglieder
\begin{itemize}
\item Kleinste Teilsysteme. Sie können weiter augeteilt werden in, siehe Abschnitt \nameref{Grundglieder}
\item Kleinste Teilsysteme. Sie können weiter augeteilt werden in, siehe Abschnitt Grundglieder
\end{itemize}
\item Sprungantwort
\begin{itemize}
Expand All @@ -133,98 +146,232 @@ \section{Begriffe}
\end{itemize}


\subsection{Grundglieder}
\label{Grundglieder}
\begin{itemize}
\item Statische Glieder(Systeme ohne Gedächtnis):
Der Ausgang ist nur vom aktuellen Eingang abhängig.
$y(t)=f(u(t))$
\begin{itemize}
\item P-glied (Proportionalglied): Reagiert mit einem Faktor K auf den aktuellen Eingangswert.\\
$y = K \cdot u$
\end{itemize}
\item Dynamische Glieder (System mit Gedächtnis):
Der Ausgang ist vom aktuellen sowie von vergangenen Eingängen Abhängig.
Vergangene Eingänge werden im System als Zustand x(t) gespeichert.
$y(t)=f(u(t),x(t))$ \\Können weiter unterteil werden in:
\begin{itemize}
\item I-Glied (Integrierer):
Ausgangssignal ist Abhängig vom Integrierten Einganssignal, Allenfalls mit einem Faktor K multipliziert. \\
$y(t) = K \cdot \int \limits _{t=0} ^{t} u(\tau) d\tau + y(0)$ \\
$(\frac{dy(t)}{dt} =)$ \space $\dot{y}(t) = K \cdot u(t) $
\item Totzeitglied: Verzögert das Eingangssignal um die Totzeit $T_t$\\
$y(t) = u(t-T_t)$
\item PT\textsubscript{1}-Glied:
LZI-Übertragungsglied mit Proportionalem Übertragunsverhalten \\
und Verzögerung 1. Ordnung. (Bsp. Tiefpass 1.Ordnung als RC-Glied)

\item PT\textsubscript{2}-Glied
\begin{itemize}
\item Übertragungsglied mit Verhalten 2. Ordnung.
\item $T^2 \cdot \ddot{y}(t) + 2 \zeta T \cdot\dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t)$
\end{itemize}
\item D-Glied(idealer Differenzierer)
\begin{itemize}
\item Bildet die Zeitliche Ableitung des Signals, mit einer Verstärkung K.
\item $y(t) = K \cdot \frac{du(t)}{dt} = K\cdot \dot{u}(t)$
\end{itemize}
\item DT$_1$-Glied
\begin{itemize}
\item Realiserbar, im Gegensatz zum theoretischen D-Glied.
\item $T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot \dot{u}(t)$
\end{itemize}
\item PI-, PD- PID-Glied (PDT$_1$ und PIDT$_1$)
\begin{itemize}
\item Werden häufig als Regler eingesetzt.
\item Name setzt sich aus den Aktiven Pfaden zusammen.
\begin{itemize}
\item P: Proportional
\item I: integrierend
\item D: Differenzierend
\item P, I und D in Kombination sind Parallel
\item T\textsubscript{1,2,t} bezieht sich auf die vorangehende Komponente.
\end{itemize}
\item Berechnet sich aus Superposition der Teilantworten
\item $y(t) = A \cdot [K_P + K_I \cdot t + \frac{K_D}{T_C} \cdot e^{\frac{-t}{T_C}}]$
\end{itemize}
\item Lead-Glied, Lag-Glied, Lead-Lag-Glied
\begin{itemize}
\item Varianten von PDT\textsubscript{1}-Gliedern.
\item Unterscheiden sich im Vorzeichen von $K_P$ und $K_D$.
\end{itemize}

\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{landscape}
\subsection{Grundglieder}
\begingroup
\scriptsize
\newcommand{\ImageWidth}{70pt}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{100pt}|p{160pt}|p{60pt}|p{80pt}|p{120pt}|p{80pt}|}
\hline
\textbf{Benennung}
&
\textbf{Funktion}
&
\textbf{UTF\textsuperscript{1}}
&
\textbf{Symbol}
&
\textbf{Sprungantwort}
&
\textbf{Plot}
\\
\hline
\hline
\textbf{P-Glied\textsuperscript{2}}
\newline Proportionalglied
&
$y = K \cdot u$
&
$K$
&
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width = \ImageWidth]{img/DIN-Symbole/Proportionalglied.png}}
&
Sprungantwort
&
\raisebox{-.5\height}{
\resizebox{\ImageWidth}{!}{%
\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[help lines,dashed] (0,0) grid (5,3);

% Axes
\draw[very thick,latex-latex] (0,3.25) node[left]{$y(t)$}
|- (5.25,0) node[below]{$t$};

% Plot function
\draw[ultra thick,teal] (-0.5,0) node[left,black](s0){$y(0)$}
-- ++(0.5,0)
plot[domain=0:5,
samples = 50,
smooth]({\x}, {2});
\end{tikzpicture}
}
}
\\
\hline
\rowcolor{TabularBackgroundColor}
\textbf{I-Glied}
\newline(Idealer Integrierer)
&
$y(t) = K \cdot \int \limits _{t=0} ^{t} u(\tau) d\tau + y(0)$
\newline $\dot{y}(t) = K \cdot u(t)$
&
$K \frac{1}{s}$
&
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width = \ImageWidth]{img/DIN-Symbole/Integrator.png}}

&
Sprungantwort
&
\raisebox{-.5\height}{
\resizebox{\ImageWidth}{!}{%
\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[help lines,dashed] (0,0) grid (5,3);

% Axes
\draw[very thick,latex-latex] (0,3.25) node[left]{$y(t)$}
|- (5.25,0) node[below]{$t$};

% Plot function
\draw[ultra thick,teal] (-0.5,0) node[left,black](s0){$y(0)$}
-- ++(0.5,0)
plot[domain=0:5,
samples = 50,
smooth]({\x},);
\end{tikzpicture}
}
}
\\
\hline
\textbf{Totzeit-Glied}
&
$y(t) = u(t-T_t)$
&
$e^{-s T_t}$
&
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width = \ImageWidth]{img/DIN-Symbole/Totzeitglied.png}}
&
Sprungantwort
&
\raisebox{-.5\height}{
\resizebox{\ImageWidth}{!}{%
\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[help lines,dashed] (0,0) grid (5,3);

% Axes
\draw[very thick,latex-latex] (0,3.25) node[left]{$y(t)$}
|- (5.25,0) node[below]{$t$};

% Plot function
\draw[ultra thick,teal] (-0.5,0) node[left,black](s0){$y(0)$}
-- ++(0.5,0)
plot[domain=0:5,
samples = 100,
]({\x},{ (\x<=2) * 0 + (\x>2) * 2});
\end{tikzpicture}
}
}
\\
\hline
\rowcolor{TabularBackgroundColor}
\textbf{PT\textsubscript{1}-Glied}
{
\tiny \newline K: Verstärkung
\newline T: Zeitkonstante
}
&
$ T\dot{y} + y = K u(t)$
\newline $T= \frac{1}{K_I \cdot K_P} $
\newline $K = \frac{1}{K_P}$
&
$\frac{K}{1+T_s}$
&
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width = \ImageWidth]{img/DIN-Symbole/PT1-Glied.png}}
&
Sprungantwort
&
\raisebox{-.5\height}{
\resizebox{\ImageWidth}{!}{%
\includegraphics{matlab/PT2.png}


\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[help lines,dashed] (0,0) grid (5,3);

% Axes
\draw[very thick,latex-latex] (0,3.25) node[left]{$y(t)$}
|- (5.25,0) node[below]{$t$};

% Plot function
\draw[ultra thick,teal] (-0.5,0) node[left,black](s0){$y(0)$}
-- ++(0.5,0)
plot[domain=0:5,
samples = 50,
smooth]({\x},{2.5*(1- exp(-(\x)))});
\end{tikzpicture}
}
}
\\
\hline
\textbf{PT\textsubscript{2}-Glied}
{\tiny
\newline K: Verstärkung
\newline T: Zeitkonstante
\newline $\zeta$: Dämpfungskonstante
}
&
$T^2 \cdot \ddot{y}(t) + 2 \zeta T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t)$
\newline $y(t) = K \cdot x(t) + T^2 \cdot (-\ddot{y}(t)) - 2 \zeta T \cdot \dot{y}(t)$
{\tiny
\newline $\zeta = \frac{h}{\sqrt{h^2 + \pi^2}}$
\newline $h = \log(\frac{y_m}{y_{\infty}})$
}
&
$\frac{K}{T^2 + s^2 + 2 \zeta T s + 1}$
&
\raisebox{-.5\height}{\includegraphics[width = \ImageWidth]{img/DIN-Symbole/PT2-Glied.png}}
&
$KA(1+e^{\sigma t}(-cos(\omega t) + \frac{\sigma}{\omega}sin(\omega t)))$
{\tiny
\newline $\omega = \frac{2\pi}{T_m}$
\newline $K = \frac{y_{\infty}}{A} $
\newline $\sigma = \frac{h\omega}{\pi}$
}
&
\raisebox{-.5\height}{
\resizebox{\ImageWidth}{!}{%
\begin{tikzpicture}
% Grid
\draw[help lines,dashed] (0,0) grid (5,3);

% Axes
\draw[very thick,latex-latex] (0,3.25) node[left]{$y(t)$}
|- (5.25,0) node[below]{$t$};

% Plot function
\draw[ultra thick,teal] (-0.5,0) node[left,black](s0){$y(0)$}
-- ++(0.5,0)
plot[domain=0:5,
samples = 50,
smooth]({\x},{2.5 * (1- exp(-3*(\x)) * (- cos(deg(1.9848*\x)) + (-3/1.9848)*sin(deg(1.9848*\x))) });
%KA = 2.5, Sigma = -3, Omega = 1.9848
\end{tikzpicture}
}
}
\end{tabularx}
\tiny{
\\
1. UTF = Übertragungsfunktion (Laplace)\\
2. Proportionalglied ist einziges Statisches glied.\\
}
\endgroup
\normalsize
\end{landscape}

\section{Klassen von Systemen}


\newpage
\input{include/Integraltransformationen/Integraltransformationen.tex}
\input{include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex}
\input{include/LTI-Systeme/LTI-Systeme.tex}

\section{Tabellen}
\subsection*{Blockschaltbilder-DIN}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Summierer} &
\textbf{Differenzbilder} &
\textbf{Multiplizierer} &
\textbf{Proportionalglied} &
\textbf{Integrierer} \\
\includegraphics[width = 3cm]{img/Summierer.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/Differenzbilder.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/Multiplizierer.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/Proportionalglied.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/Integrator.png} \\
\hline
\textbf{Totzeitglied} &
\textbf{PT\textsubscript{1}-Glied} &
\textbf{PT\textsubscript{2}-Glied} &
\textbf{idealer Differenzierer} &
\textbf{DT\textsubscript{1}-Glied} \\
\includegraphics[width = 3cm]{img/Totzeitglied.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/PT1-Glied.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/PT2-Glied.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/D-Glied.png} &
\includegraphics[width = 3cm]{img/DT-Glied.png} \\
\hline
\end{tabular}

\subsection*{Blockschaltbilder MatLab}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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