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<a href="https://github.com/larmarange/analyse-R"><img style="position: absolute; top: 60px; left: 40px; border: 0;" src="images/fork_me.png" alt="Contribuer sur GitHub"></a>
</div>
<div class="col-sm-9" role="main">
<article>
<div class="fluid-row" id="header">
<h1 class="title toc-ignore">Données pondérées</h1>
</div>
<div id="TOC">
<ul>
<li><a href="#options-de-certaines-fonctions">Options de certaines fonctions</a></li>
<li><a href="#survey">Données pondérées avec l’extension survey</a><ul>
<li><a href="#graphiques-ggplot2">Graphiques ggplot2</a></li>
<li><a href="#extraire-un-sous-échantillon">Extraire un sous-échantillon</a></li>
<li><a href="#modèles-logistiques">Modèles logistiques</a></li>
<li><a href="#dplyr-et-survey">dplyr et survey</a></li>
</ul></li>
<li><a href="#conclusion">Conclusion</a></li>
</ul>
</div>
<p>S’il est tout à fait possible de travailler avec des <dfn>données pondérées</dfn> sous R, cette fonctionnalité n’est pas aussi bien intégrée que dans la plupart des autres logiciels de traitement statistique. En particulier, il y a plusieurs manières possibles de gérer la <dfn>pondération</dfn>. Cependant, lorsque l’on doit également prendre un compte un <dfn>plan d’échantillonnage</dfn><dfn data-index="échantillonnage, plan"></dfn> complexe (voir section dédiée ci-après), <strong>R</strong> fournit tous les outils nécessaires, alors que dans la plupart des logiciels propriétaires, il faut disposer d’une extension adéquate, pas toujours vendue de base avec le logiciel.</p>
<p>Dans ce qui suit, on utilisera le jeu de données tiré de l’enquête <em>Histoire de vie</em> et notamment sa variable de pondération <em>poids</em><a href="#fn1" class="footnote-ref" id="fnref1"><sup>1</sup></a>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb1"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb1-1" title="1"><span class="kw">library</span>(questionr)</a>
<a class="sourceLine" id="cb1-2" title="2"><span class="kw">data</span>(hdv2003)</a>
<a class="sourceLine" id="cb1-3" title="3">d <-<span class="st"> </span>hdv2003</a>
<a class="sourceLine" id="cb1-4" title="4"><span class="kw">range</span>(d<span class="op">$</span>poids)</a></code></pre></div>
<pre><code>[1] 78.07834 31092.14132</code></pre>
<div id="options-de-certaines-fonctions" class="section level2">
<h2>Options de certaines fonctions</h2>
<p>Tout d’abord, certaines fonctions de <strong>R</strong> acceptent en argument un vecteur permettant de pondérer les observations (l’option est en général nommée <code>weights</code> ou <code>row.w</code>). C’est le cas par exemple des méthodes d’estimation de modèles linéaires<a href="#fn2" class="footnote-ref" id="fnref2"><sup>2</sup></a> (<code data-pkg="stats">lm</code>) ou de modèles linéaires généralisés <a href="#fn3" class="footnote-ref" id="fnref3"><sup>3</sup></a> (<code data-pkg="stats">glm</code>) ou dans les analyses de correspondances<a href="#fn4" class="footnote-ref" id="fnref4"><sup>4</sup></a> des extensions <code class="pkg">ade4</code> ou <code class="pkg">FactoMineR</code>.</p>
<p>Par contre cette option n’est pas présente dans les fonctions de base comme <code data-pkg="base">mean</code>, <code data-pkg="base" data-rdoc="cor">var</code>, <code data-pkg="base">table</code> ou <code data-pkg="stats">chisq.test</code>.</p>
</div>
<div id="survey" class="section level2">
<h2>Données pondérées avec l’extension survey</h2>
<p>L’extension <code class="pkg">survey</code> est spécialement dédiée au traitement d’enquêtes ayant des techniques d’échantillonnage et de pondération potentiellement très complexes.</p>
<p>L’extension s’installe comme la plupart des autres :</p>
<div class="sourceCode" id="cb3"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb3-1" title="1"><span class="kw">install.packages</span>(<span class="st">"survey"</span>)</a></code></pre></div>
<p>Le site officiel (en anglais) comporte beaucoup d’informations, mais pas forcément très accessibles : <br /><a href="http://r-survey.r-forge.r-project.org/" class="uri">http://r-survey.r-forge.r-project.org/</a>.</p>
<p>Pour utiliser les fonctionnalités de l’extension, on doit d’abord définir le <dfn>plan d’échantillonnage</dfn> ou <dfn lang="en">design</dfn> de notre enquête, c’est-à-dire indiquer quel type de pondération nous souhaitons lui appliquer.</p>
<p>Dans un premier temps, nous utiliserons le plan d’échantillonnage le plus simple, avec une variable de pondération déjà calculée. Pour d’autres types de plan d’échantillonnage, voir la chapitre sur les <a href="definir-un-plan-d-echantillonnage-complexe.html">plans d’échantillonnage complexes</a>.</p>
<p>Ceci se fait à l’aide de la fonction <code data-pkg="survey">svydesign</code> :</p>
<div class="sourceCode" id="cb4"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb4-1" title="1"><span class="kw">library</span>(survey)</a>
<a class="sourceLine" id="cb4-2" title="2">dw <-<span class="st"> </span><span class="kw">svydesign</span>(<span class="dt">ids =</span> <span class="op">~</span><span class="dv">1</span>, <span class="dt">data =</span> d, <span class="dt">weights =</span> <span class="op">~</span>d<span class="op">$</span>poids)</a></code></pre></div>
<p>Cette fonction crée un nouvel objet, que nous avons nommé <code>dw</code>. Cet objet n’est pas à proprement parler un tableau de données, mais plutôt un tableau de données plus une méthode de pondération. <code>dw</code> et <code>d</code> sont des objets distincts, les opérations effectuées sur l’un n’ont pas d’influence sur l’autre. On peut cependant retrouver le contenu de <code>d</code> depuis <code>dw</code> en utilisant <code>dw$variables</code> :</p>
<div class="sourceCode" id="cb5"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb5-1" title="1"><span class="kw">str</span>(d<span class="op">$</span>age)</a></code></pre></div>
<pre><code> int [1:2000] 28 23 59 34 71 35 60 47 20 28 ...</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb7"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb7-1" title="1"><span class="kw">str</span>(dw<span class="op">$</span>variables<span class="op">$</span>age)</a></code></pre></div>
<pre><code> int [1:2000] 28 23 59 34 71 35 60 47 20 28 ...</code></pre>
<p>Lorsque notre plan d’échantillonnage est déclaré, on peut lui appliquer une série de fonctions permettant d’effectuer diverses opérations statistiques en tenant compte de la pondération. On citera notamment :</p>
<ul>
<li><code data-pkg="survey" data-rdoc="surveysummary">svymean</code>, <code data-pkg="survey" data-rdoc="surveysummary">svyvar</code>, <code data-pkg="survey" data-rdoc="surveysummary">svytotal</code>, <code data-pkg="survey">svyquantile</code> : <dfn data-index="statistique univariée">statistiques univariées</dfn> <dfn data-index="univariée, statistique"></dfn>(<dfn>moyenne</dfn>, <dfn>variance</dfn>, <dfn>total</dfn>, <dfn data-index="quantile">quantiles</dfn>)</li>
<li><code data-pkg="survey">svytable</code> : <dfn>tri à plat</dfn> et <dfn>tableau croisé</dfn></li>
<li><code data-pkg="survey" data-rdoc="svytable">svychisq</code> : <dfn data-index="test du Chi²">test du χ²</dfn> <dfn data-index="Chi², test"></dfn></li>
<li><code data-pkg="survey">svyby</code> : statistiques selon un facteur</li>
<li><code data-pkg="survey">svyttest</code> : <dfn>test t de Student</dfn><dfn data-index="Student, test-t"></dfn> de <dfn>comparaison de moyennes</dfn><dfn data-index="moyenne, comparaison"></dfn></li>
<li><code data-pkg="survey">svyciprop</code> : <dfn>intervalle de confiance d’une proportion</dfn><dfn data-index="proportion, intervalle de confiance"></dfn></li>
<li><code data-pkg="survey">svyglm</code> : <dfn data-index="modèle linéaire généralisé">modèles linéaires généralisés</dfn> (dont <dfn>régression logistique</dfn><dfn data-index="logistique, régression"></dfn>)</li>
<li><code data-pkg="survey">svyplot</code>, <code data-pkg="survey">svyhist</code>, <code data-pkg="survey" data-rdoc="svyhist">svyboxplot</code> : fonctions graphiques</li>
</ul>
<p>D’autres fonctions sont disponibles, comme <code data-pkg="survey">svyratio</code>, mais elles ne seront pas abordées ici.</p>
<p>Pour ne rien arranger, ces fonctions prennent leurs arguments sous forme de formules<a href="#fn5" class="footnote-ref" id="fnref5"><sup>5</sup></a>, c’est-à-dire pas de la manière habituelle. En général l’appel de fonction se fait en spécifiant d’abord les variables d’intérêt sous forme de formule, puis l’objet <em>survey.design</em>.</p>
<p>Voyons tout de suite quelques exemples<a href="#fn6" class="footnote-ref" id="fnref6"><sup>6</sup></a> :</p>
<div class="sourceCode" id="cb9"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb9-1" title="1"><span class="kw">svymean</span>(<span class="op">~</span>age, dw)</a></code></pre></div>
<pre><code> mean SE
age 46.347 0.5284</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb11"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb11-1" title="1"><span class="kw">svyquantile</span>(<span class="op">~</span>age, dw, <span class="dt">quantile =</span> <span class="kw">c</span>(<span class="fl">0.25</span>, <span class="fl">0.5</span>, <span class="fl">0.75</span>), <span class="dt">ci =</span> <span class="ot">TRUE</span>)</a></code></pre></div>
<pre><code>$quantiles
0.25 0.5 0.75
age 31 45 60
$CIs
, , age
0.25 0.5 0.75
(lower 30 43 58
upper) 32 47 62</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb13"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb13-1" title="1"><span class="kw">svyvar</span>(<span class="op">~</span>heures.tv, dw, <span class="dt">na.rm =</span> <span class="ot">TRUE</span>)</a></code></pre></div>
<pre><code> variance SE
heures.tv 2.9886 0.1836</code></pre>
<p>Les tris à plat se déclarent en passant comme argument le nom de la variable précédé d’un tilde (<code>~</code>), tandis que les tableaux croisés utilisent les noms des deux variables séparés par un signe plus (<code>+</code>) et précédés par un tilde (<code>~</code>).</p>
<div class="sourceCode" id="cb15"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb15-1" title="1"><span class="kw">svytable</span>(<span class="op">~</span>sexe, dw)</a></code></pre></div>
<pre><code>sexe
Homme Femme
5149382 5921844 </code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb17"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb17-1" title="1"><span class="kw">svytable</span>(<span class="op">~</span>sexe <span class="op">+</span><span class="st"> </span>clso, dw)</a></code></pre></div>
<pre><code> clso
sexe Oui Non Ne sait pas
Homme 2658744.04 2418187.64 72450.75
Femme 2602031.76 3242389.36 77422.79</code></pre>
<p>La fonction <code data-pkg="questionr">freq</code> peut être utilisée si on lui passe en argument non pas la variable elle-même, mais son tri à plat obtenu avec <code data-pkg="survey">svytable</code> :</p>
<div class="sourceCode" id="cb19"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb19-1" title="1">tab <-<span class="st"> </span><span class="kw">svytable</span>(<span class="op">~</span>peche.chasse, dw)</a>
<a class="sourceLine" id="cb19-2" title="2"><span class="kw">freq</span>(tab, <span class="dt">total =</span> <span class="ot">TRUE</span>)</a></code></pre></div>
<div data-pagedtable="false">
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</script>
</div>
<p>On peut également récupérer le tableau issu de <code data-pkg="survey">svytable</code> dans un objet et le réutiliser ensuite comme n’importe quel tableau croisé :</p>
<div class="sourceCode" id="cb20"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb20-1" title="1">tab <-<span class="st"> </span><span class="kw">svytable</span>(<span class="op">~</span>sexe <span class="op">+</span><span class="st"> </span>clso, dw)</a>
<a class="sourceLine" id="cb20-2" title="2">tab</a></code></pre></div>
<pre><code> clso
sexe Oui Non Ne sait pas
Homme 2658744.04 2418187.64 72450.75
Femme 2602031.76 3242389.36 77422.79</code></pre>
<p>Les fonctions <code data-pkg="questionr" data-rdoc="rprop">lprop</code> et <code data-pkg="questionr">cprop</code> de <code class="pkg">questionr</code> sont donc tout à fait compatibles avec l’utilisation de <code class="pkg">survey</code>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb22"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb22-1" title="1"><span class="kw">lprop</span>(tab)</a></code></pre></div>
<pre><code> clso
sexe Oui Non Ne sait pas Total
Homme 51.6 47.0 1.4 100.0
Femme 43.9 54.8 1.3 100.0
Ensemble 47.5 51.1 1.4 100.0</code></pre>
<p>Le principe de la fonction <code data-pkg="survey">svyby</code> est similaire à celui de <code data-pkg="base">tapply</code><a href="#fn7" class="footnote-ref" id="fnref7"><sup>7</sup></a>. Elle permet de calculer des statistiques selon plusieurs sous-groupes définis par un facteur. Par exemple :</p>
<div class="sourceCode" id="cb24"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb24-1" title="1"><span class="kw">svyby</span>(<span class="op">~</span>age, <span class="op">~</span>sexe, dw, svymean)</a></code></pre></div>
<div data-pagedtable="false">
<script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":[""],"name":["_rn_"],"type":[""],"align":["left"]},{"label":["sexe"],"name":[1],"type":["fctr"],"align":["left"]},{"label":["age"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["se"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"Homme","2":"45.20200","3":"0.7419450","_rn_":"Homme"},{"1":"Femme","2":"47.34313","3":"0.7420836","_rn_":"Femme"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
</script>
</div>
<p><code class="pkg">survey</code> est également capable de produire des graphiques à partir des données pondérées. Quelques exemples :</p>
<figure>
<div class="sourceCode" id="cb25"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb25-1" title="1"><span class="kw">par</span>(<span class="dt">mfrow =</span> <span class="kw">c</span>(<span class="dv">2</span>, <span class="dv">2</span>))</a>
<a class="sourceLine" id="cb25-2" title="2"><span class="kw">svyplot</span>(<span class="op">~</span>age <span class="op">+</span><span class="st"> </span>heures.tv, dw, <span class="dt">col =</span> <span class="st">"red"</span>, <span class="dt">main =</span> <span class="st">"Bubble plot"</span>)</a>
<a class="sourceLine" id="cb25-3" title="3"><span class="kw">svyhist</span>(<span class="op">~</span>heures.tv, dw, <span class="dt">col =</span> <span class="st">"peachpuff"</span>, <span class="dt">main =</span> <span class="st">"Histogramme"</span>)</a>
<a class="sourceLine" id="cb25-4" title="4"><span class="kw">svyboxplot</span>(age <span class="op">~</span><span class="st"> </span><span class="dv">1</span>, dw, <span class="dt">main =</span> <span class="st">"Boxplot simple"</span>, <span class="dt">ylab =</span> <span class="st">"Âge"</span>)</a>
<a class="sourceLine" id="cb25-5" title="5"><span class="kw">svyboxplot</span>(age <span class="op">~</span><span class="st"> </span>sexe, dw, <span class="dt">main =</span> <span class="st">"Boxplot double"</span>, <span class="dt">ylab =</span> <span class="st">"Âge"</span>, </a>
<a class="sourceLine" id="cb25-6" title="6"> <span class="dt">xlab =</span> <span class="st">"Sexe"</span>)</a></code></pre></div>
<img src="graphs/donnees-ponderees/unnamed-chunk-11-1.png" width="1050" />
<figcaption>
Fonctions graphiques de l’extension survey
</figcaption>
</figure>
<div id="graphiques-ggplot2" class="section level3">
<h3>Graphiques ggplot2</h3>
<p><code class="pkg">ggplot2</code> accepte une esthétique <code>weight</code> pour indiquer des poids à prendre en compte dans les différents graphiques. La fonction <code data-pkg="survey" data-rdoc="weights.survei.design">weights</code> permets justement de récupérer les poids d’un objet <code>survey</code>. La fonction <code data-pkg="ggplot2">ggplot</code> n’accepte pas d’objet <code>survey</code> mais a besoin d’un tableau de données. Ce dernier peut être récupéré avec <code>$variables</code>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb26"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb26-1" title="1"><span class="kw">library</span>(ggplot2)</a>
<a class="sourceLine" id="cb26-2" title="2"><span class="kw">ggplot</span>(dw<span class="op">$</span>variables) <span class="op">+</span><span class="st"> </span><span class="kw">aes</span>(<span class="dt">weight =</span> <span class="kw">weights</span>(dw), <span class="dt">x =</span> sexe, <span class="dt">fill =</span> clso) <span class="op">+</span><span class="st"> </span></a>
<a class="sourceLine" id="cb26-3" title="3"><span class="st"> </span><span class="kw">geom_bar</span>(<span class="dt">position =</span> <span class="st">"fill"</span>)</a></code></pre></div>
<p><img src="graphs/donnees-ponderees/unnamed-chunk-12-1.png" width="1050" /></p>
<p><strong>ATTENTION :</strong> les graphiques obtenus ne sont corrects qu’à la condition que seuls les poids soient nécessaires pour les construire, ce qui est le cas d’un nuage de points ou d’un diagramme en barres. Par contre, si le calcul du graphique implique le calcul de variance, la représentation sera incorrecte. Par exemple, avec <code data-pkg="ggplot2">geom_smooth</code>, les aires de confiance affichées ne prendront pas correctement en compte le plan d’échantillonnage.</p>
<div class="note">
<p>L’extenstion <code>JLutils</code> propose une fonction <code data-pkg="JLutils">ggsurvey</code> pour faciliter les choses. Elle prend un objet <code>survey</code>, extrait le tableau de données et les poids, associe les poids à l’esthétique correspondante et appelle <code data-pkg="ggplot2">ggplot</code>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb27"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb27-1" title="1"><span class="kw">library</span>(JLutils)</a>
<a class="sourceLine" id="cb27-2" title="2"><span class="kw">ggsurvey</span>(dw) <span class="op">+</span><span class="st"> </span><span class="kw">aes</span>(<span class="dt">x =</span> sexe, <span class="dt">fill =</span> clso) <span class="op">+</span><span class="st"> </span><span class="kw">geom_bar</span>(<span class="dt">position =</span> <span class="st">"fill"</span>)</a></code></pre></div>
<p><img src="graphs/donnees-ponderees/unnamed-chunk-13-1.png" width="1050" /></p>
<p><code class="pkg">JLutils</code> n’est disponible que sur GitHub. Pour l’installer, on pourra utiliser la commande suivante :</p>
<div class="sourceCode" id="cb28"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb28-1" title="1"><span class="cf">if</span> (<span class="op">!</span><span class="kw">require</span>(devtools)) {</a>
<a class="sourceLine" id="cb28-2" title="2"> <span class="kw">install.packages</span>(<span class="st">"devtools"</span>)</a>
<a class="sourceLine" id="cb28-3" title="3"> <span class="kw">library</span>(devtools)</a>
<a class="sourceLine" id="cb28-4" title="4">}</a>
<a class="sourceLine" id="cb28-5" title="5"><span class="kw">install_github</span>(<span class="st">"larmarange/JLutils"</span>)</a></code></pre></div>
</div>
</div>
<div id="extraire-un-sous-échantillon" class="section level3">
<h3>Extraire un sous-échantillon</h3>
<p>Si l’on souhaite travailler sur un <dfn>sous-échantillon</dfn> tout en gardant les informations d’échantillonnage, on utilisera la fonction <code data-pkg="survey" data-rdoc="subset.survey.design">subset</code> présentée en détail dans le chapitre <a href="sous-ensembles.html">Sous-ensembles</a>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb29"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><a class="sourceLine" id="cb29-1" title="1">sous <-<span class="st"> </span><span class="kw">subset</span>(dw, sexe <span class="op">==</span><span class="st"> "Femme"</span> <span class="op">&</span><span class="st"> </span>age <span class="op">>=</span><span class="st"> </span><span class="dv">40</span>)</a></code></pre></div>
</div>
<div id="modèles-logistiques" class="section level3">
<h3>Modèles logistiques</h3>
<p>Pour réaliser des modèles logistiques (binaires, multinomiaux ou ordinaux) avec prise en compte d’un plan d’échantillonnage, on pourra se référer à la <a href="regression-logistique.html#survey">sous-section dédiée du chapitre Régression logistique</a>.</p>
</div>
<div id="dplyr-et-survey" class="section level3">
<h3>dplyr et survey</h3>
<p>L’extension <code class="pkg">srvyr</code> vise à permettre d’utiliser les verbes de <code class="pkg">dplyr</code> avec <code class="pkg">survey</code>. Le fonctionnement de cette extension est expliqué dans une vignette dédiée : <a href="https://cran.r-project.org/web/packages/srvyr/vignettes/srvyr-vs-survey.html" class="uri">https://cran.r-project.org/web/packages/srvyr/vignettes/srvyr-vs-survey.html</a>.</p>
</div>
</div>
<div id="conclusion" class="section level2">
<h2>Conclusion</h2>
<p>Si, la gestion de la pondération sous <strong>R</strong> n’est sans doute pas ce qui se fait de plus pratique et de plus simple, on pourra quand même donner les conseils suivants :</p>
<ul>
<li>utiliser les options de pondération des fonctions usuelles ou les fonctions d’extensions comme <code class="pkg">questionr</code> pour les cas les plus simples ;</li>
<li>si on utilise <code class="pkg">survey</code>, effectuer autant que possible tous les recodages et manipulations sur les données non pondérées ;</li>
<li>une fois les recodages effectués, on déclare le design et on fait les analyses en tenant compte de la pondération ;</li>
<li>surtout ne jamais modifier les variables du design. Toujours effectuer recodages et manipulations sur les données non pondérées, puis redéclarer le design pour que les mises à jour effectuées soient disponibles pour l’analyse.</li>
</ul>
</div>
<div class="footnotes">
<hr />
<ol>
<li id="fn1"><p>On notera que cette variable est utilisée à titre purement illustratif. Le jeu de données étant un extrait d’enquête et la variable de pondération n’ayant pas été recalculée, elle n’a ici à proprement parler aucun sens.<a href="#fnref1" class="footnote-back">↩</a></p></li>
<li id="fn2"><p>Voir le chapitre <a href="regression-lineaire.html">régression linéaire</a>.<a href="#fnref2" class="footnote-back">↩</a></p></li>
<li id="fn3"><p>Voir le chapitre sur la <a href="regression-logistique.html">régression logistique</a>.<a href="#fnref3" class="footnote-back">↩</a></p></li>
<li id="fn4"><p>Voir le chapitre dédié à l’<a href="analyse-des-correspondances-multiples.html">analyse des correspondances</a>.<a href="#fnref4" class="footnote-back">↩</a></p></li>
<li id="fn5"><p>Pour plus de détails sur les formules, voir le <a href="formules.html">chapitre dédié</a>.<a href="#fnref5" class="footnote-back">↩</a></p></li>
<li id="fn6"><p>Pour d’autres exemples, voir <a href="http://www.ats.ucla.edu/stat/r/faq/svy_r_oscluster.htm" class="uri">http://www.ats.ucla.edu/stat/r/faq/svy_r_oscluster.htm</a> (en anglais).<a href="#fnref6" class="footnote-back">↩</a></p></li>
<li id="fn7"><p>La fonction <code data-pkg="base">tapply</code> est présentée plus en détails dans le chapitre <a href="pem_manipulation.html#tapply">Manipulation de données</a>.<a href="#fnref7" class="footnote-back">↩</a></p></li>
</ol>
</div>
</article>
</div>
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</div>
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// Ajout liens rdocumentation et tooltip
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