NEWTON

NEWTON

Newton-Verfahren zur iterativen Lösung von nicht-linearen Gleichungssystemen der Form F(x) = 0 mit x ∈ ℝ².

Setup

Folgende Felder können im Voraus belegt oder beim Start des Programms eingegeben werden:

Feld	Belegung
Y₁	Erste Komponente F1(X,Y)
Y₂	Zweite Komponente F2(X,Y)
[A]	Startvektor x0

Ablauf

• Die folgenden Berechnungen werden zunächst für k = 0 ausgegeben:
  • Funktionsauswertung F(x_k)
  • Jacobi-Matrix ∇F(x_k)
  • Inverse der Jacobi-Matrix ∇F^-1(x_k)
  • Korrektur s_k = ∇F^-1(x_k) F(x_k)
  • Norm der Korrektur ||s_k||₂
  • Neue Iterierte x_k+1 = x_k - s_k
• Das Programm fordert zur Wahl einer der im Folgenden beschriebenen Aktionen auf.

Aktion: iterieren

• Der Iterationszähler k wird um eins erhöht und die Berechnungen auf Grundlage der letzten Iterierten wiederholt.

Aktion: Konvergenzord. (ab k=2)

• Das Programm prüft, ob F eine Kontraktion ist.
• Falls ja, wird eine Schätzung der Konvergenzordnung ausgegeben.

Aktion: beenden

• Das Programm wird beendet.

Beispielsetup

• F₁(X,Y)=X^2+Y^2+0.6Y-0.16
• F₂(X,Y)=X^2-Y^2+X-1.6Y-0.14
• x₀=[[-0.4][-0.4]]

Arbeitsspeicher

Feld	Belegung
K	Iterationszähler k
R	Norm der letzten Korrektur ||sk-1||
S	Norm der aktuellen Korrektur ||sk||
X	Erste Komponente des Funktionsparameters
Y	Zweite Komponente des Funktionsparameters
[B]	Aktuelle Iterierte xk
[G]	Korrektur s
[H]	Funktionsauswertung F(xk)
[I]	Inverse der Jacobi-Matrix ∇F-1(xk)
[J]	Jacobi-Matrix ∇F(xk)
Str8	Index k-1
Str9	Index k
Str0	Index k+1