-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 21
/
atelecom.tex
7266 lines (5855 loc) · 303 KB
/
atelecom.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\documentclass[11pt,a4paper,notitlepage,fleqn,final]{article}
\input{preamble.tex}
\title{Αναλογικές Τηλεπικοινωνίες
\\
{
\normalsize Σημειώσεις από τις παραδόσεις
}}
\date{Οκτώβριος-Ιανουάριος 2017-2018
\\
{
\small Τελευταία ενημέρωση: \today
}
}
\author{
Για τον κώδικα σε \LaTeX, ενημερώσεις και προτάσεις:
\\
\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes}}
\setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Asana Math}
\setmainfont{Noto Serif}
\setsansfont{Ubuntu}
%\usepackage{unicode-math}
\usepackage{polyglossia}
\newfontfamily\greekfont[Script=Greek,Scale=0.95]{Noto Serif}
\setmathfont{XITS Math}
\hypersetup{pdftitle = {Αναλογικές Τηλεπικοινωνίες}}
\newacronym{am}{AM}{Amplitude Modulation}
\newacronym{dsb}{DSB}{Double Side-Band}
\newacronym{qam}{QAM}{Quadrature Amplitude Modulation}
\newacronym{dsbsc}{DSB-SC}{Double Side-Band \textendash\ Suppressed Carrier}
\newacronym{ssb}{SSB}{Single Side-Band}
\newacronym{lsb}{LSB}{Lower Side-Band}
\newacronym{usb}{USB}{Upper Side-Band}
\newacronym{vsb}{VSB}{Vestigial Side-Band}
\newacronym{pm}{PM}{Phase Modulation}
\newacronym{fm}{FM}{Frequency Modulation}
\newacronym{nbfm}{NBFM}{Narrow-Band Frequency Modulation}
\newacronym{pll}{PLL}{Phase-Locked Loop}
\newacronym{mf}{ΜF}{Μετασχηματισμός Fourier}
\newacronym{fdma}{FDMA}{Frequency-Division Multiple Access}
\newacronym{tdma}{TDMA}{Time-Division Multiple Access}
\newacronym{cdma}{CDMA}{Code-Division Multiple Access}
\makeglossaries
\begin{document}
\maketitle
\hrule
\vspace{50pt}
\begin{infobox}{Λάθη \& Διορθώσεις}
Οι τελευταίες εκδόσεις των σημειώσεων βρίσκονται στο Github
(\url{https://github.com/kongr45gpen/ece-notes/raw/master/atelecom.pdf}) ή
στη διεύθυνση \url{http://helit.org/ece-notes/atelecom.pdf}.
Περιέχουν διορθώσεις σε λάθη και τυχόν βελτιώσεις.
\tcblower
Μπορείτε να ενημερώνετε για οποιοδήποτε λάθος και πρόταση
μέσω PM στο forum, issue στο Github, ή οποιουδήποτε άλλου τρόπου!
\end{infobox}
\begin{attnbox}{Εγγραφή στη λίστα}
Μήνυμα στο \href{mailto:[email protected]}{\texttt{[email protected]}} με θέμα
\textit{\textbf{Αναλογικές Τηλεπικοινωνίες}}.
\tcblower
Στη λίστα θα στέλνονται ασκήσεις χρήσιμες για τις εξετάσεις και λοιπές ανακοινώσεις.
\end{attnbox}
Εξετάσεις: Όλα ανοιχτά.
Το μάθημα γίνεται με βάση το βιβλίο του Haykin.
Ιστοσελίδα Ασκήσεων:
\url{http://genesis.ee.auth.gr/dimakis/greek/courses/telesysI}
\begin{attnbox}{Προσοχή στο συμβολισμό!}
Σε \textbf{αντίθεση} με τα ΣΑΕ, τα διαγράμματα των Αναλογικών Τηλεπικοινωνιών περιέχουν \textbf{αθροιστές}
και \textbf{πολλαπλασιαστές} που εκφράζονται ως εξής:
\begin{itemize}
\item
\textbf{Αθροιστής:}
\begin{circuitikz}[baseline]
\draw (0,0) node[circle,thick,draw] (s) {$\sum$};
\draw[<-] (s) -- (-1,0) node[left] {$i_2$};
\draw[<-] (s.north west) -- (-0.5,0.5) -- (-1,0.5) node[left] {$i_1$};
\draw[<-] (s.south west) -- (-0.5,-0.5) -- (-1,-0.5) node[left] {$i_3$};
\draw[gray,->] (s) -- ++(1,0) node[right] {$o$};
\end{circuitikz}
ή \begin{circuitikz}[baseline,scale=1.05]
\draw (0,0) node[circle,thick,draw] (s) {$+$};
\draw[<-] (s) -- (-1,0) node[left] {$i_2$};
\draw[<-] (s.north west) -- (-0.5,0.5) -- (-1,0.5) node[left] {$i_1$};
\draw[<-] (s.south west) -- (-0.5,-0.5) -- (-1,-0.5) node[left] {$i_3$};
\draw[gray,->] (s) -- ++(1,0) node[right] {$o$};
\end{circuitikz} \quad
\( o = i_1 + i_2 + i_3 \)
\item
\textbf{Πολλαπλασιαστής:}
\begin{circuitikz}[baseline,scale=.9]
\draw (0,0) node[mixer] (s) {};
\draw[<-] (s.west) -- (-1,0) node[left] {$i_2$};
\draw[<-] (s.north) |- (-1,0.8) node[left] {$i_1$};
\draw[<-] (s.south) |- (-1,-0.8) node[left] {$i_3$};
\draw[gray,->] (s.east) -- (1,0) node[right] {$o$};
\end{circuitikz}
\quad \( o = i_1\cdot i_2\cdot i_3 \)
\end{itemize}
\end{attnbox}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Εισαγωγή}
Επικοινωνία είναι η μεταφορά μηνυμάτων, που μπορεί να έχουν τη μορφή απλών συμβόλων / φθόγγων
ή πιο περίπλοκων μηνυμάτων.
Για τον μηχανικό, επικοινωνία είναι η μετάδοση ή μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο \( A \) σε ένα σημείο \( B \) του χώρου.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thin,gray,dashed] (0,0) -- (2,0);
\filldraw (0,0) circle (2pt) node[left] {$A$};
\filldraw (2,0) circle (2pt) node[right] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Την πληροφορία μπορούμε να την ορίσουμε ως ένα σύνολο ταξινομημένων συμβόλων, που μαζί ίσως
σχηματίζουν μια λέξη, μια πρόταση, ή ένα νόημα. Ένας καλύτερος ορισμός έχει δοθεί από τον
Shannon στη Θεωρία Πληροφοριών.
Μία ακόμα παράμετρος είναι ο χρόνος μεταφοράς της πληροφορίας, αν και συνήθως δεν μας
ενδιαφέρει στις αναλογικές τηλεπικοινωνίες (δεδομένης της ταχύτητας του φωτός), εκτός
αν προσπαθούμε να επικοινωνήσουμε με κάτι εκτός του πλανήτη.
Τα σήματα αυτά μπορούν να μεταφέρουν αριθμούς, κείμενο, εικόνα, ήχο, βίντεο, αρχεία κ.ά, και
βρίσκονται σε σχετικά χαμηλές συχνότητες (\textbf{baseband}). Για παράδειγμα, το εύρος της ανθρώπινης φωνής που
απαιτείται για να είναι καταληπτή είναι \( 300 \ \mathrm{Hz} \)-\( 3300\ \mathrm{Hz} \), ενώ
τα τηλεοπτικά σήματα κωδικοποιούνται σε συχνότητες έως \( 6 \ \mathrm{MHz} \). Τέτοιες
συχνότητες όμως είναι δύσκολο να μεταδοθούν (αν π.χ. σκεφτούμε ότι οι συχνότητες αρκετών
ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων ή του ορατού φωτός είναι της τάξης των \( \mathrm{GHz} \) και
\( \mathrm{THz} \)). Επομένως, για να επιτύχει η επικοινωνία απαιτείται η αύξηση της
συχνότητας του σήματος, μέσω μιας διαδικασίας που λέγεται \textbf{διαμόρφωση}.
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def\h{0.6}
\filldraw (-0.5,0) circle(1.5pt) node[left] {$A$};
\draw (0,-\h/2) rectangle ++(1.5,\h) node[midway] {Πηγή};
\draw (1.5,0) -- (1.95,0);
\node[cloud, cloud puffs=15.7, cloud ignores aspect,
rotate=90,minimum width=3cm, minimum height=1.2cm, align=center, draw]
(cloud) at (2.63cm, 0cm) {Διαμόρφωση};
\draw (3.3,0) -- (3.7,0);
\draw (3.7,-\h/2) rectangle ++(1.5,\h) node[midway] {Πομπός};
\draw[->] (5.2,0) -- ++ (0.2,0) -- ++(0,-1) -- ++(0.3,0);
\draw
(5.7,-1-2*\h/2) rectangle ++(3,2*\h) node[midway,align=center,rectangle] {Κανάλι\\Μέσο διάδοσης};
\draw (8.7,-1) -- ++(0.3,0) -- ++(0,1) -- ++(0.2,0);
\draw (9.2,-\h/2) rectangle ++(1.5,\h) node[midway] {Δέκτης};
\draw (10.7,0) -- ++(0.35,0);
\node[cloud, cloud puffs=15.7, cloud ignores aspect,
rotate=90,minimum width=3cm, minimum height=1.6cm, align=center, draw]
(cloud) at (11.85cm, 0cm) {Αποδιαμόρφωση};
\draw (12.6,0) -- (13,0);
\draw (13,-\h/2) rectangle ++(1.8,\h) node[midway,scale=.9] {Αποδέκτης};
\filldraw (14.8+0.5,0) circle(1.5pt) node[right] {$B$};
\end{tikzpicture}
Η επιλογή της κατάλληλης συχνότητας του σήματος που θα στείλουμε από την κεραία, εξαρτάται
από τα χαρακτηριστικά του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Για παράδειγμα, πιο χαμηλές συχνότητες
(π.χ. AM) μπορούν να περάσουν μέσα από βουνά και εμπόδια, φτάνοντας σε μεγάλες αποστάσεις
στον πλανήτη, και ακολουθώντας την καμπύλη της γης. Τα βραχέα μπορούν να χτυπήσουν στην
ιονόσφαιρα και να ανακλαστούν για ακόμα μεγαλύτερη κάλυψη. Αντιθέτως, οι υψηλές συχνότητες
(π.χ. FM) επιτρέπουν υψηλότερη ποιότητα μετάδοσης.
\begin{wrapfigure}{r}{0.3\textwidth}\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.5,every node/.style={scale=.7}]
\def\l{1}
\def\h{3.5}
\def\N{7}
\begin{scope}[every node/.style={midway,above,scale=.4}]
\draw[->] (0,1) -- (0,0) node[midway,right] {user};
\draw (-\l,0) rectangle (\l,-\h);
\draw(-\l,-1*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Application};
\draw(-\l,-2*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Presentation};
\draw(-\l,-3*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Session};
\draw(-\l,-4*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Transport};
\draw(-\l,-5*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Network};
\draw(-\l,-6*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Data Link};
\draw(-\l,-7*\h/7) -- ++(2*\l,0) node[scale=1.3,yshift=-1mm] {Physical};
\end{scope}
\begin{scope}[every node/.style={midway,above,scale=.4,baseline},xshift=5cm]
\draw[<-] (0,1) -- (0,0) node[midway,right] {user};
\draw (-\l,0) rectangle (\l,-\h);
\draw(-\l,-1*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Application};
\draw(-\l,-2*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Presentation};
\draw(-\l,-3*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Session};
\draw(-\l,-4*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Transport};
\draw(-\l,-5*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Network};
\draw(-\l,-6*\h/7) -- ++(2*\l,0) node {Data Link};
\draw(-\l,-7*\h/7) -- ++(2*\l,0) node[scale=1.3,yshift=-1mm] {Physical};
\end{scope}
\draw (0,-\h) -- ++(0,-1) -- ++(1.5,0);
\draw (1.5,-\h-1+0.4) rectangle ++(2,-0.8) node[midway] {Κανάλι};
\draw (3.5,-\h-1) -- ++(1.5,0) -- ++(0,1);
\draw[<->,thick,gray] (1.5,-1.7) to[bend left] node[midway,above] {Peer} ++(2,0);
\draw (current bounding box.north) node[rectangle,align=center]
{OSI\\7 επιπέδων};
\end{tikzpicture}
\end{wrapfigure}
Για την κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση των δεδομένων, πρέπει ο πομπός και ο δέκτης να
συμφωνήσουν σε ένα κοινό πρότυπο, για παράδειγμα στο TCP/IP ή το OSI 7 επιπέδων.
Σε αυτό το μάθημα μας ενδιαφέρει το φυσικό επίπεδο μόνο.
Οι ψηφιακές επικοινωνίες αναφέρονται σε ψηφιακά δεδομένα, αλλά πρακτικά η μετάδοση
του σήματος μέσω των καναλιών (π.χ ηλεκτρομαγνητικά κύματα) είναι αναλογική, αφού δεν γίνεται
να έχουμε άμεση μετάβαση της κατάστασης από 0 ως 1:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (6,0);
\draw[very thick,black!70!blue] plot[const plot]
coordinates {(0,1) (1,-1) (3,1) (4,-1) (5.5,1) (6,1)};
\draw[very thick,black!20!cyan!80!blue] plot[const plot,smooth,tension=0.8]
coordinates {(0,0.8) (0.8,0.7) (1.5,-1.4) (2.7,-0.8) (3.5,1) (4.9,-1.2) (5.5,1) (6,1.2)};
\filldraw[fill=black!70!blue] (7,-0.3) rectangle ++(0.2,0.2) node[midway,right,xshift=1mm] {ψηφιακό σήμα};
\filldraw[fill=black!20!cyan!80!blue] (7,-0.8) rectangle ++(0.2,0.2) node[midway,right,xshift=1mm] {πραγματικό σήμα};
\end{tikzpicture}
Πρακτικά οι αναλογικές τηλεπικοινωνίες χρησιμοποιούνται πλέον μόνο στους ραδιοφωνικούς
σταθμούς FM (που αρχίζουν και αυτοί να καταργούνται), αλλά συνεχίζουμε να τις μελετάμε για
λόγους ιστορικούς, διδακτικούς, και επειδή το σήμα όπως αναφέρθηκε παραπάνω είναι εν γένει
αναλογικό. Στο νέο πρόγραμμα σπουδών δεν υπάρχει ακριβώς αυτό το μάθημα.
\subsection{Βασικές έννοιες}
\paragraph{Σήμα βασικής συχνότητας (baseband)}
Τα σήματα βασικής συχνότητας (\textbf{baseband}) προέρχονται από το αρχικό σήμα σε
"χαμηλές" συχνότητες όπως αναφέρθηκε παραπάνω (συνήθως από 0 μέχρι π.χ. 20 \( \mathrm{kHz} \)
ή 6 \( \mathrm{MHz} \)):
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def\s{ (0,0) (0.5,1) (0.7,1.2+0.1*rand) (1,1.5) (1.2,1.2+0.1*rand) (1.4,1+0.1*rand)
(1.6, 0.7+0.2*rand) (1.8,0.4+0.15*rand) (2,0)}
\pgfmathsetseed{15}
\draw[very thick, orange] plot [smooth] coordinates \s;
\pgfmathsetseed{15}
\draw (2,0) node[below] {$w$};
\draw (0,0) node[below left] {$0$};
\draw (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$\mathrm{Hz}$};
\draw (0,-0.2) -- (0,2);
\end{tikzpicture}
Ή, επειδή χρησιμοποιούμε \textit{δίπλευρα} φάσματα:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def\s{ (0,0) (0.5,1) (0.7,1.2+0.1*rand) (1,1.5) (1.2,1.2+0.1*rand) (1.4,1+0.1*rand)
(1.6, 0.7+0.2*rand) (1.8,0.4+0.15*rand) (2,0)}
\pgfmathsetseed{15}
\draw[very thick, orange] plot [smooth] coordinates \s;
\pgfmathsetseed{15}
\draw[very thick, orange!90!brown, xscale=-1] plot [smooth] coordinates \s;
\draw (2,0) node[below] {$w$};
\draw (-2,0) node[below] {$-w$};
\draw (0,0) node[below left] {$0$};
\draw (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$\mathrm{Hz}$};
\draw (0,-0.2) -- (0,2);
\end{tikzpicture}
Η μέγιστη θετική συχνότητα \( w \) ορίζει το \textbf{εύρος ζώνης (bandwidth)} του σήματος.
Η διαδικασία που θα χρησιμοποιήσουμε για να αυξήσουμε τη συχνότητα του σήματος ονομάζεται
\textbf{διαμόρφωση (modulation)}.
Συνήθως έχουμε μια \textbf{φέρουσα συχνότητα}:
\[
c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)
\]
και πρέπει να βρούμε έναν τρόπο να προσθέσουμε σε αυτήν τις πληροφορίες του αρχικού σήματος.
Στην παραπάνω εξίσωση έχουμε τρεις παραμέτρους που μπορούμε να επηρεάσουμε: το πλάτος,
τη συχνότητα και τη φάση:
\[
c(t) =
\underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{A_c(t)}}}{A_c}
\cos(2\pi
\underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{f_c(t)}}}{f_c}
t
+
\underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{\phi(t)}}}{\phi}
)
\]
Έτσι έχουμε τρία είδη διαμόρφωσης:
\begin{description}
\item[AM] Διαμόρφωση Πλάτους (Amplitude Modulation)
\item[FM] Διαμόρφωση Συχνότητας (Frequency Modulation)
\item[PM] Διαμόρφωση Φάσης (Phase Modulation)
\end{description}
\newpage
\section{Διαμόρφωση Πλάτους}
\subsection{AM}
Έστω το \emph{φέρον}:
\[
c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)
\]
και θέλουμε να μεταφέρουμε ένα σήμα:
\[
m(t) \qquad \text{στη βασική ζώνη}
\]
Θεωρούμε, για λόγους που θα δούμε παρακάτω, ότι το φέρον έχει συχνότητα πολύ μεγαλύτερη
από το εύρος ζώνης της πληροφορίας:
\[
f_c \gg w
\]
Το σήμα που εκπέμπουμε κατά AM είναι το εξής:
\[
\mathlarger{
\mathlarger{
\mathlarger{
s(t) = A_c\left[ 1 + k_a \cdot m(t) \right]\cos(2\pi f_c t)
}
}
}
\]
το οποίο μπορεί να εκφράζεται σε Volt ή Ampere και ίσως εκπέμπεται από κάποια κεραία.
Γραφικά: \\* {\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.2,xscale=1.3]
\def\f{1.3+0.30362*\x-6.94276*\x^2+5.23511*\x^3-0.0466465*\x^4-0.696833*\x^5+0.128634*\x^6}
%coordinates {(0,1.5) (0.7,0) (1.2,-0.5) (1.5,0) (2,1.5) (3,1.5) (3.2,1.5)}
\draw (0,-1.5) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (3,0);
\draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3]
plot ({\x},{\f}) (0,1.3) node[left] {$m(t)$};
\begin{scope}[yshift=-4cm]
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (3,0);
\draw[thick,blue!70!black,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3,smooth] plot ({\x},{(1.5*sin(\x r*40))}) (0,1.5) node[above right] {$c(t)$};
\draw (0,-1.5) node[left] {$-A_c$};
\draw (0,1.5) node[left] {$A_c$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw (0,-0.5) -- (0,3);
\draw (0,0) -- (3,0);
\draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples={\gsamples/2},domain=0:3,opacity=.05]
plot ({\x},{\f}) (0,1.3);
\draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3,smooth]
plot ({\x},{\f+1}) (0,1.3+1) node[left] {$\left[1+k_am(t)\right]$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-4cm]
\draw[thin,dashed,cyan!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3]
plot ({\x},{\f+1}) (0,1.3+1);
\draw[very thick,green!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3]
plot ({\x},{(\f+1)*sin(\x r*40)}) (1.3+1,0);
\draw[->,cyan!70!blue] (2.65,3) to[bend left] ++(1,1) node[above right] {Περιβάλλουσα};
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw (0,0) -- (3,0);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
}
Η περιβάλλουσα του διαμορφωμένου σήματος περιέχει την πληροφορία που θέλουμε.
Η σταθερά \( k_a \) ονομάζεται \textbf{ευαισθησία πλάτους} του διαμορφωτή, και θέλουμε
να είναι τέτοια ώστε \( \left[1 + k_a m(t)\right] > 0 \), διότι σε διαφορετική περίπτωση:
\begin{tikzpicture}[scale=1,xscale=1.3]
\def\f{1.3+0.30362*\x-6.94276*\x^2+5.23511*\x^3-0.0466465*\x^4-0.696833*\x^5+0.128634*\x^6}
%coordinates {(0,1.5) (0.7,0) (1.2,-0.5) (1.5,0) (2,1.5) (3,1.5) (3.2,1.5)}
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (3,0);
\draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3]
plot ({\x},{\f}) (0,1.3);
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw[very thick,green!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3]
plot ({\x},{(\f)*sin(\x r*40)}) (1.3+1,0);
\draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:3]
plot ({\x},{abs(\f)}) (0,1.3);
\draw (0,-2) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (3,0);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
Επειδή ο αποδιαμορφωτής βλέπει μόνο τις θετικές κορυφές του σήματος, εδώ δεν έχει μεταφέρει
σωστά την πληροφορία στα σημεία όπου \( \left[1 + k_a m(t)\right] < 0 \), αλλά την έχει
μεταφέρει ανεστραμμένη. Αυτό ονομάζεται \textbf{υπερδιαμόρφωση}.
Επομένως, θέλουμε:
\begin{align*}
1+ k_a m(t) &\geq 0 \implies \\
\Aboxed{\left\lvert k_a m(t) \right\rvert &\leq 1} \implies \\
-1 \leq k_a m(t) &\leq 1
\end{align*}
Παρατηρούμε ότι για να μην έχουμε υπερδιαμόρφωση, το σήμα μας δεν μπορεί να αποκτά πολύ
μεγάλο πλάτος.
\begin{defn}{Ποσοστό διαμόρφωσης}{}
Ως \textbf{ποσοστό διαμόρφωσης} ορίζουμε:
\[
\left\lvert
\max k_a m(t)
\right\rvert \cdot 100
\]
\end{defn}
\paragraph{}
Ξαναγράφουμε το σήμα και παίρνουμε το μετασχηματισμό Fourier:
\begin{align*}
s(t) &= A_c \cos 2\pi f_c t + Ak_a m(t) \cos 2\pi f_c (t) \\
S(f) &=
\frac{A_c}{2}\left[ δ(f-f_c)+δ(f+f_c) \right]
+ \frac{k_aA_c}{2}\left[ M(f-f_c) + M(f+f_c) \right]
\end{align*}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[draw=orange!50!brown,very thick]
(-1.2,0) node[below] {$-w$}
-- (0,1.8) node[right] {$M(0)$}
-- (1.2,0) node[below] {$w$}
;
\draw (-2,0) -- (2,0);
\draw (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$M(f)$};
\begin{scope}[yshift=-4.5cm]
\draw[xshift=-2cm,draw=black!50!orange,dashed,very thick,every node/.style={scale=.9}]
(-1.2,0) node[below] {$-f_c-w$}
-- (0,1.8)
-- (1.2,0) node[below] {$-f_c+w$}
(0,0) node[below] {$-f_c$}
;
\draw[xshift=2cm,draw=black!50!orange,dashed,very thick,every node/.style={scale=.9}]
(-1.2,0) node[below] {$f_c-w$}
-- (0,1.8)
-- (1.2,0) node[below] {$f_c+w$}
(0,0) node[below] {$f_c$}
;
\draw[ultra thick,->] (-2,0) -- ++(0,2.5)
node[above] {$\sfrac{A_c}{2}$};
\draw[ultra thick,->] (2,0) -- ++(0,2.5);
\draw (-4,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$S(f)$};
\draw[dashed] (-2.1,2.5) --++(4.2,0);
\draw[dashed] (-2.1,1.8) --++(4.2,0);
\draw (0,1.8) node[above right,scale=.7] {$\sfrac{1}{2}k_aA_cM(0)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
Βλέπουμε ότι το φάσμα του σήματος μετακινήθηκε στη συχνότητα.
Παρατηρούμε επίσης ότι το φάσμα είναι δίπλευρο, και θυμόμαστε από το αναλογικό σήμα ότι
η αρνητική συχνότητα δεν έχει φυσική σημασία, αλλά εκφράζει τον αρνητικό εκθέτη στην
έκφραση του συνημιτόνου \(
\mathrm{Re}\left[
\frac{e^{jωt}+e^{-jωt}}{2}
\right]
\).
Αν έχουμε \textbf{μικρή συχνότητα} \( f_c \), τότε το φάσμα του σήματος περνάει το 0:
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[dashed] (0.7,0) -- ++(0,1.8);
\draw[xshift=-0.7cm,draw=orange!50!brown,,very thick,every node/.style={scale=.9}]
(-1.2,0)
-- (0,1.8)
-- (1.2,0)
(0,0)
;
\draw[xshift=0.7cm,draw=blue!50!brown,very thick,every node/.style={scale=.9}]
(-1.2,0) node[below] {$f_c-w$}
-- (0,1.8)
-- (1.2,0) node[below] {$f_c+w$}
(0,0) node[below] {$f_c$}
;
\draw[draw=gray!70!black,thin] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->,draw=gray!70!black,thin] (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$S(f)$};
\draw[very thick,black!70!gray,->] (0,-0.75) -- ++(0,-0.5);
\begin{scope}[yshift=-4.5cm]
\draw[->,draw=gray!70!black,thin] (0,-0.5) -- (0,3) node[right] {$S(f)$};
\draw[very thick,orange!50!brown] (-1.9,0) -- (-0.7,1.8) -- (-0.5,1.5) -- (-0.49,1.5);
\draw[very thick,blue!50!brown]
(-0.5,1.5) -- (0.5,1.5);
\draw[very thick,path fading=east,orange!50!brown]
(-0.5,1.5) -- (0.5,1.5);
\draw[very thick,blue!50!brown] (0.49,1.5) -- (0.5,1.5) -- (0.7,1.8) -- (1.9,0);
\draw[draw=gray!70!black,thin] (-3,0) -- (3,0);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
και το αποτέλεσμα είναι παραμορφωμένο και μακριά από το επιθυμητό.
Το εύρος φάσματος του σήματος είναι \( 2w \) (από \( f_c-w \) μέχρι \( f_c+w \)), το οποίο
είναι περισσότερο απ' όσο χρειάζεται (αφού το αριστερό του μέρος είναι ίδιο με το δεξί),
ενώ το σήμα είναι και ενεργειοβόρο, αφού τα \( \sfrac{2}{3} \) της ενέργειας καταναλώνονται
στον όρο \( δ \) και όχι στην πληροφορία.
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[xshift=-3cm,fill=gray,fill opacity=0.04]
(-1.6,0) -- ++(0,3) -- ++(1.6*2,0) -- ++(0,-3);
\draw[xshift=3cm,fill=gray,fill opacity=0.04]
(-1.6,0) -- ++(0,3) -- ++(1.6*2,0) -- ++(0,-3);
\draw[xshift=-3cm,draw=black!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.8}]
(-1.2,0) node[below] {$-f_c-w$}
-- (0,1.8)
-- (1.2,0) node[below] {$-f_c+w$}
(0,0) node[below] {$-f_c$}
;
\draw[xshift=3cm,draw=black!50!orange,very thick,every node/.style={scale=.8,opacity=1},
fill=lime!60!green,fill opacity=.5]
(-1.2,0) node[below] {$f_c-w$}
-- (0,1.8)
-- (1.2,0) node[below] {$f_c+w$}
(0,0) node[below] {$f_c$}
;
\draw[ultra thick,->] (-3,0) -- ++(0,2.5);
\draw[ultra thick,->] (3,0) -- ++(0,2.5);
\draw (-5.5,0) -- (5.5,0);
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4) node[right] {$S(f)$};
\draw[xshift=-3cm]
(-1.6,0) -- ++(0,3) -- ++(1.6*2,0) -- ++(0,-3);
\end{tikzpicture}
\subsubsection{Για ημιτονοειδή είσοδο}
Έστω ένα αρχικά ημιτονοειδές σήμα:
\[
m(t) = A_m\cos(2\pi f_mt)
\]
Τότε το διαμορφωμένο σήμα AM γίνεται:
\begin{align*}
s(t) &= A_c \left[
1 + \overbrace{μ}^{\mathclap{μ = k_aA_m}}
\cdot \cos(2\pi \cdot f_m t)
\right]\cos(2\pi f_c t)
\hspace{200pt}
\boxed{
μ \leq 1
}
\\
&= A_c\cos(2\pi f_c t) + A_c μ\cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_mt)
\\ &=
A_c\cos2πf_ct + \frac{1}{2}μA_c \cos\left[2π(f_c+f_m)t\right]
+\frac{1}{2} μA_c\cos\left[
2π(f_c-f_m)t
\right]
\\
\updownarrow &\quad \text{Μ. F}
\\
S(f) &= \mathsmaller{\mathsmaller{\frac{1}{2} A_c \left[
δ(f-f_c)+δ(f+f_c) \right]
+ \frac{1}{4}μA_c \left[
δ(f-f_c-f_m)+δ(f-f_c+f_m)
\right]
+ \frac{1}{4} μA_c\left[
δ(f+f_c+f_m)+δ(f+f_c-f_m)
\right]}}
\end{align*}
όπου \( \mu \) είναι ουσιαστικά το \textbf{ποσοστό διαμόρφωσης} του σήματος.
Γραφικά:\nopagebreak
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw (0,-1.8) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (6,0);
\draw[very thick,black!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6]
plot ({\x},{1.4*cos(1.5*\x r)}) (1.1,1) node[] {$m(t)$};
\draw (0,1.4) node[left] {$A_m$};
\draw (0,-1.4) node[left] {$-A_m$};
\draw[dashed] (2/1.5*pi,0) node[below] {$T_m=\frac{1}{f_m}$} -- ++(0,1.4);
\begin{scope}[yshift=-5cm]
\draw (0,-1.8) -- (0,2);
\draw (0,0) -- (6,0);
\draw[very thick,blue!70!cyan,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6,smooth]
plot ({\x},{1.2*sin(26*\x r)}) (1,1.2) node[above] {$c(t)$};
\draw (0,1.2) node[left] {$A_c$};
\draw (0,-1.2) node[left] {$-A_c$};
\draw[dashed] (0,1.2) -- ++(6,0);
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-10cm]
\draw (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw (0,0) -- (6,0);
\draw[dashed,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6]
plot ({\x},{1+0.7*cos(1.5*\x r)});
\draw[dashed,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6]
plot ({\x},{-1-0.7*cos(1.5*\x r)});
\draw[very thick,green!70!blue,variable=\x,samples=\gsamples,domain=0:6,smooth]
plot ({\x},{(1+0.7*cos(1.5*\x r))*sin(26*\x r)}) (1.2,1.2) node[above] {$s(t)$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=10cm]
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$M(f)$};
\draw[black!70!blue,ultra thick,->] (-0.7,0) node[below] {$-f_m$}-- ++(0,1.5);
\draw[black!70!blue,ultra thick,->] (0.7,0) node[below] {$f_m$}-- ++(0,1.5);
\begin{scope}[yshift=-5cm]
\draw (-3,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$C(f)$};
\draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (-2.5,0) node[below] {$-f_c$}-- ++(0,1.5);
\draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (2.5,0) node[below] {$f_c$}-- ++(0,1.5);
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-10cm]
\draw (-3,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[right] {$S(f)$};
\draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (-2.5,0) node[below] {$-f_c$}-- ++(0,1.5);
\draw[black!70!blue,very thick,->] (-2.8,0) -- ++(0,0.7);
\draw[black!70!blue,very thick,->] (-2.2,0) -- ++(0,0.7);
\draw[blue!70!cyan,ultra thick,->] (2.5,0) node[below,scale=1] {$f_c$}-- ++(0,1.5);
\draw[black!70!blue,very thick,->] (2.2,0) node[below left,scale=.9] {$f_c-f_m$}-- ++(0,0.7);
\draw[black!70!blue,very thick,->] (2.8,0) node[below right,scale=.9] {$f_c+f_m$}-- ++(0,0.7);
\end{scope}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\underset{\substack{\downarrow\\\mathclap{\text{Bandwidth}}}}{\mathrm{B_T}}
=2f_m = 2w
\]
Επίσης προκύπτει ότι:
\begin{align*}
\frac{A_{\max}}{A_{\min}} &= \frac{A_c(1+μ)}{A_c(1-μ)} \implies \\
μ &= \frac{A_{\max} -A_{\min} }{A_{\max} + A_{\min}}
\end{align*}
\subsubsection{Ισχύς}
\label{am.power}
Αν μας ζητούνταν η ισχύς του σήματος, θα απαντούσαμε \( \frac{1}{2}A_c^2R \), αν θεωρήσουμε
ότι το σήμα είναι μια ένταση ρεύματος που διαρρέει κάποια αντίσταση \( R \). Στα σήματα
όμως θεωρούμε ότι η αντίσταση αυτή είναι 1, άρα παίρνουμε ίδιο αποτέλεσμα, είτε θεωρούμε ότι
το σήμα αναπαριστά ρεύμα, είτε τάση.
Επομένως η ισχύς π.χ. του φέροντος είναι:
\[
\boxed{
\frac{1}{2}A_c^2
}
\]
Το πλευρικό σήμα για ημιτονοειδή είσοδο έχει ενέργεια:
\[
2\times \frac{1}{8}μ^2A_c^2
\]
και ο λόγος του με τη συνολική ενέργεια είναι:
\[
\frac{2\cdot \frac{1}{8} μ^2A_c^2}{\frac{1}{2}A_c^2+2\cdot\frac{1}{8}μ^2A_c^2}
= \frac{μ^2}{2+μ^2}
\]
Γραφικά:
\begin{tikzpicture}
\def\c{gray!50!black}
\draw (0,0) -- (4,0) node[below] {$μ$};
\draw (0,-0.5) -- (0,4) node[left] {Ισχύς \%};
\draw[\c,thin] (3,-0.5) -- (3,4);
\draw (0,0) node [below left] {$0$};
\draw (3,0) node [below left] {$1$};
\draw[\c,thin] (0,1) node[left] {$\sfrac{1}{3}$} -- (4,1);
\draw[\c,thin] (0,2) node[left] {$\sfrac{2}{3}$} -- (4,2);
\draw[\c,thin] (0,3) node[left] {$\sfrac{3}{3}$} -- (4,3);
\draw[gray,dashed] (0.2*3,-0.4) node[right,scale=.8] {$0.2=20\%$} -- (0.2*3,4);
\draw[gray,dashed] (0.2*3,{3*0.2^2/(2+0.2^2)}) -- ++(-0.2*3,0)
node[scale=0.6,left] {$2\%$};
\draw[->,black!80!brown] (1.51,2.67) to[bend left=20] ++(0.5,1.5) node[above right] {Ισχύς φέροντος};
\draw[->,black!80!brown] (2.61,0.82) to[bend right=20] ++(0.8,-0.5) node[right] {
Ισχύς πλευρικών συνιστωσών};
\draw[very thick,black!50!brown,variable=\m,domain=0:3,samples=\gsamples]
plot ({\m}, {3*(\m/3)^2/(2+(\m/3)^2)});
\draw[very thick,black!50!brown,variable=\m,domain=0:3,samples=\gsamples]
plot ({\m}, {3-3*(\m/3)^2/(2+(\m/3)^2)});
\end{tikzpicture}
Όσο αυξάνουμε το \( μ \), αυξάνεται το ποσοστό της ισχύος που καταναλώνεται για τη μετάδοση
του σήματος και όχι του φέροντος, αλλά η ισχύς του φέροντος συνεχίζει να είναι μεγάλη.
\subsubsection{Διαμορφωτής AM}
Ένα ερώτημα που προκύπτει είναι ποιό κύκλωμα θα πραγματοποιήσει τον πολλαπλασιασμό του
σήματος με το φέρον. Για αυτό παρουσιάζεται το παρακάτω κύκλωμα, που λειτουργεί
ως \textbf{διαμορφωτής AM (διακοπτικός - switching modulator)}:
\begin{circuitikz}[american,scale=1.3]
\draw (0,0) to[esource,label=$m(t)$] (0,2)
to[sV,label={$c(t)\equals A_c\cos(2πf_ct)$}] (2,2)
to[D] (4,2)
to[R=$R_L$] (4,0)
-- (0,0);
\draw (2,2) to[open,v=$u_1(t)$,*-*] (2,0);
\draw (4,2) -- (5,2) to[open,v^=$u_2(t)$,o-o] (5,0) -- (4,0);
\end{circuitikz}
Επίσης απαιτούμε το σήμα \( m(t) \) να έχει \textbf{αρκετά μικρότερο πλάτος} από το φέρον:
\[
\left\lvert m(t) \right\rvert \ll A_c
\]
Τότε, η τάση \( v_1 \) \textit{πριν τη δίοδο} γίνεται:
\[
v_1(t) = m(t)+A_c \cos(2πf_ct)
\]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (6,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,3) node[left] {$u_1(t)$};
\draw[very thick,blue!50!black] plot
[variable=\t,domain=0:5,samples=\gsamples,smooth]
(\t,{2*cos(2*\t r)+0.2*cos(43.7*\t r)})
;
\draw[dashed] (2*pi/2,0) node[below] {$\sfrac{1}{f_c}$} -- ++(0,2);
\end{tikzpicture}
Και, αφού θυμηθούμε την καμπύλη λειτουργίας της διόδου, \begin{tikzpicture}[baseline,scale=0.4,every node/.style={scale=.7}]
\draw (-2,0) -- (2,0) node[below] {$u_1(t)$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[above] {$u_2(t)$};
\draw[very thick,blue!50!black] (-2,0) -- (0,0) -- (2,2);
\end{tikzpicture}, ισχύει:
\[
u_2(t) \simeq \begin{cases}
u_1(t), &\quad \text{όταν } c(t) > 0 \\
0,&\quad \text{όταν } c(t) < 0
\end{cases}
\]
Εναλλακτικά, μπορούμε να εκφράσουμε την \( u_2(t) \) στο χρόνο ως γινόμενο της
εισόδου \( u_1(t) \) και μιας συνάρτησης \( g_{T_0} \) που μηδενίζεται για \( c(t) <0 \) και
είναι μονάδα για \( c(t) > 0 \), δηλαδή μιας παλμοσειράς:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-4.2,0) node[left] {$\cdots$} -- (4.2,0) node[right] {$\cdots$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,2) node[right] {$g_{T_0}(t)$};
\draw[blue!70!cyan,ultra thick,opacity=.1]
plot[variable=\t,domain=-4.2:4.2,samples=\gsamples]
(\t,{cos(2*pi/3*\t r}) (0,1) node[above left] {$u_1(t)$};
\draw[very thick,draw=teal] (-0.75,0) node[below] {$-\sfrac{T_0}{4}$} -- ++(0,0.8) -- ++(1.5,0) -- ++(0,-0.8) node[below] {$\sfrac{T_0}{4}$} ;
\draw[very thick,draw=teal] (2+0.25,0) node[below] {$\sfrac{3T_0}{4}$} -- ++(0,0.8) -- ++(1.5,0) -- ++(0,-0.8) node[below] {$\sfrac{5T_0}{4}$};
\draw[very thick,draw=teal] (-4+0.25,0) -- ++(0,0.8) -- ++(1.5,0) -- ++(0,-0.8);
\draw (0,0) node[below right] {$0$};
\draw[dashed] (3,0) node[below] {$T_0$} -- ++(0,0.8);
\draw[dashed] (-3,0) node[below] {$-T_0$} -- ++(0,0.8);
\draw (0,0.8) node[above right] {$1$};
\draw (current bounding box.east) node[above right] {$T_0 = \frac{1}{f_c}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{align*}
u_2(t) &\simeq
\left[
A_c\cos 2π f_c t + m(t)
\right] \cdot g_{T_0}(t) \\
g_{T_0(t)} &= \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\cos[2πf_ct(2n-1)]
\intertext{Άρα}
u_2(t) &\simeq
\left(
A_c\cos 2πf_ct +m(t
\right) \cdot \left[
\frac{1}{2} + \frac{2}{π} \cos\left(
2πf_ct
\right)-\frac{2}{π}\frac{1}{3}\cos(2π3f_ct)
+ \frac{2}{π}\frac{1}{5}\cos(5f_ct)+\dots
\right]
\\
&=
\frac{A_c}{2}\cos 2 π f_ct
+ \frac{1}{2}m(t)
\\ &\hphantom{=}
+ \frac{2}{π}A_c\cos 2πf_ct + \infoboxed{\frac{2}{π}m(t)\cos 2πf_c t}
\\ &\hphantom{=}
-\frac{2}{3π}A_c\cos 2π (3f_c) \cos 2πf_ct - \frac{2}{3π}
m(t)\cos 2π(3f_ct)+\dots
\end{align*}
Αν σχεδιάσουμε τις συχνότητες που δίνει ο τύπος σε ένα διάγραμμα φάσματος:
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$U_2(f)$}; % y axis
\draw[orange!40!brown] (-0.5,0) -- (0,0.8) -- (0.5,0);
\draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) -- ++(0,1);
\draw[blue!50!green,fill opacity=0.9,fill=green!5!white,blur shadow,shadow xshift=0cm,shadow yshift=0.3mm]
(0.8,0) -- ++(0,1.2) -- ++(1+2*0.2,0) -- ++(0,-1.2);
\begin{scope}[xshift=1.5cm]
\draw[draw=orange!50!brown,thick,every node/.style={scale=.7}]
(-0.5,0) node[below] {$f_c-w$} -- (0,0.8) -- (0.5,0) node[below] {$f_c+w$} ;
\draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) node[below,black] {$f_c$} -- ++(0,1);
\end{scope}
\foreach \i in {3,5}
{
\begin{scope}[xshift={\i*1.5cm}]
\draw[orange!50!brown,thick] (-0.5,0) -- (0,0.8) -- (0.5,0);
\end{scope}
}
\foreach \i in {2,3,...,5}
{
\begin{scope}[xshift={\i*1.5cm}]
\draw[orange!20!brown!90!black,very thick,->] (0,0) node[below,black] {$\i f_c$} -- ++(0,1);
\end{scope}
}
\draw (-1,0) -- (9,0); % x axis
\draw (8.2,0.4) node[right] {$\cdots$};
\draw[gray,->,thick] (-1.75,0) to[bend right=20] ++(0.5,0);
\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
\draw (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (0,-2) -- (0,2) node[above] {$M(f)$};
\draw[draw=orange!50!brown,thick,scale=1.7]
(-0.5,0) node[below] {$-w$} -- (0,0.8) -- (0.5,0) node[below] {$w$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
Παρατηρούμε ότι στο φάσμα υπάρχει το επιθυμητό διαμορφωμένο AM σήμα, όπως και ο
πολλαπλασιασμός του \( m(t) \) με το φέρον. Επομένως, με ένα ζωνοπερατό φίλτρο, μπορούμε
να πάρουμε από τις άπειρες συχνότητες μόνο το τελικό φάσμα:
\begin{align*}
u(t) = &\frac{A_c}{2}\left[ 1+\frac{4}{πA_c}m(t) \right]\cos 2π f_c t
\intertext{που αντιστοιχεί στον τύπο:}
A_c\left[ 1+k_am(t) \right] \cos 2πf_c
\end{align*}
δηλαδή το κύκλωμα γίνεται:
\begin{circuitikz}[american,scale=1.3]
\draw (0,0) to[esource,label=$m(t)$] (0,2)
to[sV,label={$c(t)\equals A_c\cos(2πf_ct)$}] (2,2)
to[D] (4,2)
to[R=$R_L$] (4,0)
-- (0,0);
\draw (2,2) to[open,v=$v_1(t)$,*-*] (2,0);
\draw (4,2) -- (5,2) to[open] (5,0) -- (4,0);
% Rectangle
\draw (5,2.5) rectangle (7,-0.5) node[align=center] (A) at (6,1) {BPF\\{%
\footnotesize Band Pass Filter}};
\draw (7,2) -- (8,2) to[open,v^=$s(t)$,o-o] (8,0) -- (7,0);
\end{circuitikz}
όπου το Band Pass Filter πρέπει να έχει κέντρο τη συχνότητα \( f_c \) και εύρος ζώνης
από \( f_c - w \) μέχρι \( f_c + w \).
Αυτό ήταν ένα παράδειγμα χρήσης \textit{μη γραμμικών στοιχείων} (δίοδος) για spectral
spread.
\subsubsection{Φωρατής περιβάλλουσας / Αποδιαμορφωτής AM}
Ο φωρατής περιβάλλουσας είναι η συσκευή που μαζεύει τις κορυφές του διαμορφωμένου σήματος
AM ώστε να παράγει το αρχικό σήμα (θυμόμαστε ότι \( s(t) = A_c\left[
1+k_a m(t)
\right] \cos(2π f_c t) \)). Η διαδικασία ονομάζεται κορυφοφώραση, και το κύκλωμα του φωρατή
δεν είναι πολύ διαφορετικό από αυτό του διαμορφωτή:
\begin{circuitikz}[american,scale=1.3,yscale=0.8]
\draw (0,0) to[esource,l_={$s(t)$},n=sig]
(0,2) to[R=$R_j$] (0,4)
to [D={$z_f$},l_=$r_f$] (2,4)
to [C=$C$] (2,0)
-- (0,0)
(2,4) to[short] (4,4)
to[R=$R_l$] (4,0)
-- (2,0)
(4,4) to[short,-o] (6,4)
(4,0) to[short,-o] (6,0)
;
\draw (-1,1) node[rxantenna,xscale=-1] (antenna) {};
\draw(antenna.1) -- (sig.n);
\draw (6,4) to[open,v=$s(t)$] (6,0);
\end{circuitikz}
\textbf{Πώς λειτουργεί αυτό το κύκλωμα};
Θυμόμαστε ότι η συχνότητα του φέροντος είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με τη συχνότητα του
αρχικού σήματος (π.χ. 100 ή παραπάνω φορές μεγαλύτερη).
Η δίοδος αφήνει να περάσει ρεύμα μόνο όταν το σήμα είναι θετικό. Όταν φτάσουμε σε μία
κορυφή της διαμορφωμένης κυματομορφής, ο πυκνωτής φορτίζεται άμεσα, και ξεφορτίζεται πολύ
αργά με μία εκθετική καμπύλη, μέχρι να φτάσει στην επόμενη κορυφή:
\begin{tikzpicture}[scale=1.6]
\draw (0,-2) -- (0,2) node[right] {$s(t)$};
\draw (0,0) -- (6,0);
\def\f{2*3.14*0.22};
\def\fc{2*3.14*3};
\def\sc{1.4}
\draw[thick,green!50!cyan] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,samples=\gsamples,yscale=\sc]
(\t,{sin(\fc*(\t r))*(0.7+0.3*cos(\f*(\t r)))});
\draw[green!50!blue,dashed] plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc,yshift=0.5mm]
(\t,{(0.7+0.3*cos(\f*(\t r)))})
plot[smooth,domain=0:6,variable=\t,yscale=\sc,yshift=-0.5mm]
(\t,{-(0.7+0.3*cos(\f*(\t r)))});