Suite Géométrique.ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Ceci est un notebook qui permet d'exécuter du code python. Les cellules qui contiennent du code peuvent être exécuter en cliquant sur **Exécuter** ou bien avec les touches **Shift+Entrée** du clavier.\n\n**A CHAQUE MODIFICATION, NE PAS OUBLIER DE CLIQUER SUR SAUVER**.\n\nQuand votre travail est terminé, cliquer sur **Rendre la copie**"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![35meme_algo.jpeg](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgU5TY_VUR_wDbwnvrPxkBpvgwf5EYYRLfbjPk230k9ahVjr2AsR-jiQlfHJu9bCzh-2P11G5SNc3gUkna5SrKOLE3AXhU4Xhza_xWl2ZARqUiyii07AT0ZtIlhr2aN-n8pZ08-Vc8ZLkrPpIlnXxm3yqCOasWNFR9uTyxDfL2IS3ZRPTE8WoqG42agyg=s320)\n\n# Pourquoi cette blague bobesque?\n$x=x+1$ n'a pas le même sans en mathématique et dans le langage Python.\n## Affectation:\nDans le langage Python, le symbole **=** ne signifie pas égal ou équivalent, c'est un symbole d'affectation:\n```Python\nx=4\n```\nsignifie accrocher la valeur 4 à la variable $x$.\n```Python\nx=4\nx=x+1\n```\nSignifie\n   * accrocher 4 à la variable $x$\n   * augmenter x de 1. On aurait put coder:\n      ```Python\n      x = 4\n      x+=1\n      ```\n      \n## Coefficient multiplicateur\n\nOn choisit une valeur initiale, $x=4$, que l'on souhaite augmenter de **50%**.\nCette valeur, sera la nouvelle valeur de $x$.\n\nCommençons par multiplier $x$ par $1.50$, c'est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 50%\n\n$$4 \\times 1.50=6$$\n\ncette multiplication  donne le même résultat que:\n\n$$4 + \\frac{50}{100}\\times4= 4+2=6$$\n\n### Coefficient multiplicateur associé à une augmentation de p%: \n\nPour augmenter une quantité de $p\\%$, il faut la multiplier par un **cm** égal à:\n\n$$cm = \\dfrac{100+p}{100}$$\n\n### Coefficient multiplicateur associé à une diminution  de p%: \n\nPour diminuer une quantité de $p\\%$, il faut la multiplier par un **cm** égal à:\n\n$$cm = \\dfrac{100-p}{100}$$\n\n### Exemple de calcul en python\n\nChoisissons une valeur initiale que l'on va augmenter de 50%, pour cela on va écrire:\n\n```Python\nu = 200\nprint(\"La valeur initiale de u est:\", u)\nu = 1.5*u\nprint(\"La nouvelle valeur de u est:\", u)\n```\n### Application\nEcrire un code qui affiche une valeur initiale égale à **80** stockée dans une variable $u$, puis augmenter cette valeur initiale de **10%** stocker le résultat dans une variable et afficher le."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Quelques super pouvoirs:\nAvant de commencer, exécuter la cellule ci-dessous. Elle permet d'importer le module *Fraction*."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from fractions import Fraction","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Suite géométrique:\nUne suite géométrique est une suite de nombres définie par un premier terme $U_0$ ou $U_1$ (le plus souvent) et une raison $q$\n\n\n$$\n\\left( U_n \\right) = \\left\\{\n    \\begin{array}{ll}\n        U_1 \\\\\n        U_{n+1}=q \\times U_{n}\n    \\end{array}\n\\right.\n$$\navec:\n$$\n\\begin{array}{ll}\n        U_1=4 \\\\\n        q=1.5\n    \\end{array}\n$$\n\nComment calculer le terme suivant avec python ? On va faire les choses suivantes:\n\n   * Dans un premier temps on **affecte** la valeur 4 à la variable $U$ ou encore on attache l'étiquette $U$ au nombre 4.\n\n   * **=** signifie *affecter*\n   \n   * Ensuite on a itéré (répété) la réaffectation de la variable $U$ en utilisant l'ancienne valeur de $U$ augmentée de 50%.\n\n```Python\nU = 4\nq = Fraction(\"1.5\")\nprint(\"valeur initiale de U:\",U)\nU = q*U\nprint(\"valeur de U après une première augmentation:\",U)\nU = q*U\nprint(\"valeur de U après une deuxième augmentation:\",U)\n```"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Recopier le code dans la cellule comme indiqué ci-dessus:\nU = 4\n\n\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"   * Quel est le premier terme de la suite géométrique ci-dessus?\n\n   * Quelle est la raison de cette suite?\n\n   * Quel est le rang du dernier terme affiché"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"markdown","source":"**Double cliquer sur les pointillés du texte et compléter les valeurs ci-dessous:**\n\npremier_terme = ....................\n\nraison = ................\n\nrang = ..........."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Somme des termes\nCalculons la somme des termes d'une suite, ici une suite géométrique:\n\n$$\n\\left( U_n \\right) = \\left\\{\n    \\begin{array}{ll}\n        U_0=1 \\\\\n        U_{n+1}=2 \\times U_{n}\n    \\end{array}\n\\right.\n$$\n\nSans formule mathématique spécifique, pour calculer la somme des quatre premiers termes, on écrit:\n\n$$ S_4 = U_1 + U_2 + U_3 +U_4= 1+2+4+8=15$$\n\nMais comme:\n$$ S_3 = U_1 + U_2 + U_3 = 1+2+4=7$$\n\non remarque que:\n$$ S_4 = S_3 +U_4= 7+8=15$$\n\nOn va donc utiliser en python la suprême astuce qui consiste à réaffecter la variable $S$:\n\n```python\nU = 1\nS = U\nU = 2 * U\nS = S + U\nU = 2 * U\nS = S + U\nU = 2 * U\nS = S + U\n```\n\n\nExécuter le code de la cellule ci dessous:"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"U = 1\nq = Fraction(2,1)\nS = U\nprint(\"Le premier terme est:\",U,\" . La somme des termes est S = U = \", str(S))\nU = q*U\nprint(\"Le deuxième terme est:\",U,\" . La somme des deux premiers termes est S = S + U = \", str(S)+\" + \"+str(U),\" = \",S+U)\nS = S+U\nU = q*U\nprint(\"Le troisième terme est:\",U,\" . La somme des trois premiers termes est S = S + U = \", str(S)+\" + \"+str(U),\" = \",S+U)\nS = S+U\nU = q*U\nprint(\"Le quatrième terme est:\",U,\" . La somme des quatre premiers termes est S = S + U = \", str(S)+\" + \"+str(U),\" = \",S+U)\nS = S+U","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Vérifier que la formule suivante donne le même résultat:\n\n$$S_n = (premier~terme) \\times \\dfrac{1-q^{nombre~de~termes}}{1-q}$$\n\nCompléter le code ci-dessou sachant que:\n\n   * U_1:premier terme\n   * q: raison\n   * n:rang du dermier terme"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"U_1 = \nq = \nn =\n\nS = ()* (1-q**n )/()\nprint(\"la somme des \",n ,\" premiers termes de la suite est \", S)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Boucle:\nPour éviter de recopier comme précédemment, utilisons une boucle **for**:\n```python\nU = 1\nS = U\nq = 2\nN = 4\nprint(\"terme:\", U,\"  sommme:\",S)\nfor n in range(0, N):\n    U = q*U\n    S = S+U\n    print(\"terme:\", U,\"  sommme:\",S)\n```"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#recopier le code ici\n\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Modifier le code pour aborder le problème de l'échiquier et des grains de riz:\n\n*« On place un grain de riz (ou de blé) sur la première case d'un échiquier. Si on fait en sorte de doubler à chaque case le nombre de grains de la case précédente (un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, etc.), combien de grains de riz obtient-on au total ? »*\n\nSimplifions un peu le problème en ne considérant que les dix premières cases de l'échiquier:\n\n   * Quel est le nombre de grains, $R$, de riz sur la dixième case?\n   * Quel est alors le total $T$ du nombre de grains de riz (de la case 1 à 10)?\n   \nEn utilisant le résultat du code de la cellule ci-dessus, vous donnerez les valeurs de R et T:\n```python\nprint(R)\nprint(T)\n```"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"print(R)\nprint(T)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Calcul du terme d'une suite géométrique sans l'usage d'une boucle:\nOn utilise une fonction, reconnaissable par :\n```python\ndef\n```\n\nOn définit ci-dessous une suite $\\left(U_n \\right)$ avec une fonction python récursive (qui s'appelle elle même).\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"def U( n, premier_terme =5, raison=1):\n    if n <=1:\n        return premier_terme\n    return raison*U(n-1, premier_terme, raison)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Modifier les arguments de la fonction Python $U$, *ci-dessous*, pour que la fonction calcule le terme $U_{20}$ de la suite:\n\n$$\n\\left( U_n \\right) = \\left\\{\n    \\begin{array}{ll}\n        U_0=1 \\\\\n        U_{n+1}=2 \\times U_{n}\n    \\end{array}\n\\right.\n$$"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"U(n=10, premier_terme=0, raison = 1)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"markdown","source":"### Ecrire une fonction Python $V$ en Python qui calcule le terme $V_{20}$ avec la relation explicite:\n\n$$\n    \\begin{array}{ll}\n        V_{n}=1 \\times 2^n\n    \\end{array}\n$$\n\nModifier le code de la fonction $V$ ci-dessous, en remplaçant **xxx** par ce qui est nécessaire. Remarque, en python, pour calculer $2^3$, on écrit:\n```python\n2**3\n```\n\nCette fonction n'aura qu'un seul argument (la valeur qu'on lui donne) qui sera **n*:\n```python\ndef V(n)\n    return xxx\n```\n\nvous pourrez vérifier que $2^3= 2 \\times 2 \\times 2 =8$."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"def V(n):\n    return xxx","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"print(V(xxx))","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Calculer 2**3\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Sens de variation d'une suite géométrique\nDe manière générale:\n   * Une suite $\\left( U_n \\right)$ est strictement croissante si:\n\n$$U_{n+1}>U_n$$\n   * Une suite $\\left( U_n \\right)$ est strictement décroissante si:\n\n$$U_{n+1}<U_n$$\n\nUne **suite géométrique** de premier terme strictement **positif** est:\n   * croissante si $q>1$\n   * décroissante si $q <1$\n\n### Exécuter la cellule ci-dessous pour jouer l'applet geogebra (il faut aussi cliquer dedans):"},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"from IPython.display import IFrame\nIFrame(\"https://www.geogebra.org/m/r4wsazar\",780,780)","execution_count":1,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":1,"data":{"text/plain":"<IPython.display.IFrame object at 0x10c8d30>","text/html":"<iframe src=\"https://www.geogebra.org/m/r4wsazar\" allowfullscreen=\"\" width=\"780\" height=\"780\" frameborder=\"0\"></iframe>"},"metadata":{}}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Questions sur le sens de variation de deux suites:  \n  * Quel est le sens de variation de la suite $\\left( V_n \\right)$ définie par $V_n=8 \\times 0.87^n$ ?\n  * Quel est le sens de variation de la suite $\\left( W_n \\right)$ définie par $W_n=2 \\times 1.04^n$ ?\n\n\nRemplacer les ................ par votre réponse."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"\"V est ..............\"\n\"W est ..............\"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Doublement et période d'une suite:\nAvec l'applet, choisir la suite de premier terme $U_1=3$ et de raison $q=1.05$ . Quelle est la valeur de **n** pour que $U_n$ double, c'est à dire $U_n \\geq 6$"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"n = ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Avec l'applet, choisir la suite de premier terme $U_1=8$ et de raison $q=0.92$ . Quelle est la valeur de **n** pour que $U_n$ diminue de moitié, c'est à dire $U_n \\leq 4$ ?"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"n = ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Cette valeur de n, dépend-t-elle du premier terme? Répondre:\n```python\nréponse = \"oui\"\n```\nou\n\n```python\nréponse = \"non\"\n```\n\nci-dessous:"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"réponse = \"....\"","execution_count":null,"outputs":[]}],"metadata":{"kernelspec":{"name":"python3","display_name":"Python 3","language":"python"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}