switch to new version of qqmbr: h1 -> chapter

Author: ischurov

chapter01.qq

@@ -1,11 +1,11 @@
-\h1 Понятие дифференциального уравнения \label chap:notion_of_ODE
+\chapter Понятие дифференциального уравнения \label chap:notion_of_ODE
 
-\h2 Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям 
+\section Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям 
 
 Прежде чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудим
 несколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом.
 
-\h3 Рост населения. Мальтузианская модель \label par:1:Malthus
+\subsection Рост населения. Мальтузианская модель \label par:1:Malthus
 
 Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или
 бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей
@@ -32,7 +32,7 @@ $x(t)$. Тогда мгновенная скорость роста равна $
 величиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и не
 вектор (как в линейной алгебре), а функция $x(t)$.
 
-\h3 Рост экономики. Модель Солоу 
+\subsection Рост экономики. Модель Солоу 
 \snippet \label snip:Solow \flabel Модель Солоу
     Согласно \em{модели Солоу}, скорость прироста капиталовооруженности экономики
     (количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в
@@ -43,7 +43,7 @@ $x(t)$. Тогда мгновенная скорость роста равна $
     где $k=k(t)$ — капиталовооруженность экономики в момент времени $t$, $s$ —
     норма сбережения, $\delta$ — норма выбытия капитала.
 
-\h3 Механическая система. Падающий шарик 
+\subsection Механическая система. Падающий шарик 
     \label par:1:freefall
 
 Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его
@@ -72,12 +72,12 @@ $x(t)$. Тогда мгновенная скорость роста равна $
 \eq
     \ddot y=-g.
 
-\h2 Простейшие дифференциальные уравнения 
+\section Простейшие дифференциальные уравнения 
 
 Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём с
 относительно общего определения.
 
-\h3 Дифференциальное уравнение общего вида 
+\subsection Дифференциальное уравнение общего вида 
 
 Дифференциальным уравнением называется соотношение вида
 \equation \label{eq:1:general}
@@ -107,7 +107,7 @@ $x=\ph(t)$, такая, что при подстановке её в уравн
 
 Рассмотрим несколько примеров.
 
-\h3 Нулевая правая часть 
+\subsection Нулевая правая часть 
 
 Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид
 \eq
@@ -118,7 +118,7 @@ $x=\ph(t)$, такая, что при подстановке её в уравн
 в таком простейшем случае мы имеем не одно, а сразу целое семейство решений.
 Аналогичная ситуация будет и в более сложных примерах.
 
-\h3 Постоянная правая часть 
+\subsection Постоянная правая часть 
 
 Чуть более сложное уравнение:
 \eq
@@ -130,7 +130,7 @@ $x=\ph(t)$, такая, что при подстановке её в уравн
 Заметим, что в этом случае константа $C$ задаёт значение функции в начальный
 момент времени $t=0$.
 
-\h3 Правая часть, зависящая только от времени 
+\subsection Правая часть, зависящая только от времени 
     \label{par:1:onlytime}
 
 Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция $f(t,x)$ в правой части
@@ -153,7 +153,7 @@ $x=\ph(t)$, такая, что при подстановке её в уравн
 его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать
 константу интегрирования явным образом.
 
-\h3 Начальные условия. Задача Коши \label{par:1:Cauchy_problem}
+\subsection Начальные условия. Задача Коши \label{par:1:Cauchy_problem}
 
 \idx{Задача Коши}
 
@@ -202,7 +202,7 @@ $x(5)=\int_5^5 f(\tau)d\tau = 0$, то есть начальное услови
         \choice $x(t)=\int_t^t f(\tau)d\tau + 1$
             \comment Неверно, обратите внимание на пределы интегрирования.
 
-\h3 Простейшее линейное уравнение \label par:1:xdotx
+\subsection Простейшее линейное уравнение \label par:1:xdotx
 
 Положим в уравнении роста населения $k=1$. Получим следующее уравнение:
 \equation
@@ -242,7 +242,7 @@ $x(t)=e^t$. Нетрудно видеть, что если умножить эк
     будем обсуждать существование и единственность решений дифференциальных
     уравнений. 
 
-\h2 Геометрические объекты \label{par:1:geoms}
+\section Геометрические объекты \label{par:1:geoms}
 
 В рассмотренных выше примерах неизвестная функция $x(t)$ принимала значения во
 множестве вещественных чисел. В общем случае функция $x(t)$ может принимать
@@ -379,7 +379,7 @@ $(t, x)$ (декартово произведение фазового прос
 
 Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.
 
-\h2 Выводы
+\section Выводы
 
 Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которых
 участвует время. Предмет рассмотрения нашего курса — обыкновенные дифференциальные уравнения, они имеют вид $\dot x = f(t, x)$, где $x=x(t)$ — неизвестная функция,

chapter02.qq

@@ -1,4 +1,4 @@
-\h1 Автономные дифференциальные уравнения на прямой
+\chapter Автономные дифференциальные уравнения на прямой
     \label chap:2:auto
 
 Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для
@@ -24,7 +24,7 @@
 Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических
 построений.
 
-\h2 Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера 
+\section Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера 
     \label sec:2:euler
 
 Пусть поставлена \snref[задача Коши][snip:Cauchy_problem]:
@@ -86,7 +86,7 @@ t$ с начальным условием $x(-3)=4$, а красным, розо
     дифференциального уравнения $\dot x = x$, удовлетворяюее начальному
     условию $x(0) = 1$. Отсюда найти одну из известных формул для числа $e$.
 
-\h2 Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой 
+\section Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой 
 
 Вернёмся к аналитическому поиску решений. В отличие от численных методов, даже
 для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а
@@ -111,7 +111,7 @@ t$ с начальным условием $x(-3)=4$, а красным, розо
 задаётся явной формулой (она называется \em{формулой Барроу}). Мы обсудим
 несколько способов её вывода и интерпретации.
 
-\h3 Геометрические соображения 
+\subsection Геометрические соображения 
 В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных
 уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида $\dot x = f(t)$,
 мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. \ref[параграф][par:1:onlytime]). Мы
@@ -157,7 +157,7 @@ t$ с начальным условием $x(-3)=4$, а красным, розо
 считать независимой переменной $x$, а неизвестной функцией — время. Ниже мы
 обсудим два способа реализации этого замысла.
 
-\h3 Механический подход \label{par:2:mech}
+\subsection Механический подход \label{par:2:mech}
 
 Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о
 том, где окажется решение в произвольный момент времени $t$, если в момент
@@ -205,7 +205,7 @@ $\frac{1}{f(x)}$! Равенство \ref{eq:2:T} является прибли
 выражение $x$ через $t$. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию
 $x(t)$ явно.
 
-\h3 Аналитический подход 
+\subsection Аналитический подход 
 Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический
 анализ.  Пусть функция $x=\ph(t)$ является решением уравнения \ref{eq:2:auto} и
 удовлетворяет начальному условию $\ph(t_0)=x_0$. Рассмотрим функцию $t=\psi(x)$,
@@ -229,7 +229,7 @@ $t_1 = \psi(x_1)$ и $\dot \ph(t_1)=f(x_1)$ (поскольку $\ph$ являе
     t-t_0=\int_{x_0}^{\ph(t)} \frac{dy}{f(y)}
 Мы снова получили формулу Барроу.
 
-\h3 Магия
+\subsection Магия
 Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись:
 
 \align

chapter03.qq

@@ -1,11 +1,11 @@
-\h1 Существование и единственность решений дифференциального уравнения
+\chapter Существование и единственность решений дифференциального уравнения
     \label chap:3:eu
 
 В этой главе мы обсудим главную теорему теории дифференциальных уравнений:
 теорему существования и единственности решений. Для начала мы сформулируем и
 докажем её в самом простом случае автономных уравнений на прямой.
 
-\h2 Автономные уравнения на прямой
+\section Автономные уравнения на прямой
 \theorem \label thm:3:exuniq_line
     В некоторой окрестности любой точки $t_0$ существует и единственно решение
     $x=x(t)$ задачи Коши
@@ -187,7 +187,7 @@ $f(x)=x^{2/3}$ не является гладкой функцией в точк
         \eq 
             \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {|f(x)|} \geq \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {C|x-x_1|} \to \infty\quad \text{при } x_1 \to 0^+
 
-\h2 Общий случай
+\section Общий случай
 Результат, аналогичный теореме \ref{thm:3:exuniq_line}, справедлив и в общем случае. Мы приведём здесь только формулировку: доказательство этого фундаментального факта выходит за рамки нашего курса.
 
 \theorem \label{thm:3:exuniq}
@@ -211,7 +211,7 @@ $f(x)=x^{2/3}$ не является гладкой функцией в точк
     x=x^2$). Глобальный результат о решениях дифференциальных уравнений также
     можно сформулировать — мы сделаем это чуть позже.
 
-\h2 Метод разделения переменных: магия продолжается \label sec:3:sep-var
+\section Метод разделения переменных: магия продолжается \label sec:3:sep-var
 
 В предыдущей главе мы обсудили, как решить уравнение вида $\dot x=f(x)$. Сейчас мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз.