-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
4.html
351 lines (351 loc) · 22.2 KB
/
4.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | квадратный корень</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Квадратный корень. Арифметический квадратный корень. Понятие об иррациональном числе.</h1>
<section>
<h2>Квадратный корень, применяемый для решения уравнений (алгебраический)</h2>
<figure>
<img src="Wikimedia/Square%20root%20function%20-%20y=%E2%88%9Ax.svg" alt="Визуализация квадратного корня Wikipedia">
<figcaption>Визуализация квадратного корня в прямоугольной системе координат из <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square-root_function.svg">Wikimedia</a></figcaption>
</figure>
<p><dfn title="алгебраический квадратный корень">Квадратный корень</dfn> - это корень 2-ой степени, решение уравнения x² = a, т.е. квадратный корень из числа - это число, которое в квадрате (2-ой степени - см. <a href="13.html">свойства и определение степени</a>) даёт исходное подкоренное выражение. Записывается: <i>√x</i>. Операцию по нахождению квадратного корня называют его <i>извлечением</i>. Корень, применяемый для решения <a href="7.html">квадратных уравнений</a>, имеет два противоположных значения.</p>
Например, найдём корни уравнения x² = 16: x = √16 ⇒
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mfenced open="[" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable columnalign="left">
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mn>4</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>
<p>
Корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании.
</p>
</section>
<section>
<h2>Арифметический квадратный корень</h2>
<figure>
<img src="Square_root_function.svg" alt="График функции арифметического квадратного корня">
<figcaption>График функции арифметического квадратного корня</figcaption>
</figure>
<p>
Чтобы сделать значение корня однозначным в математике вводится понятие арифметических корней. Арифметический квадратный корень обозначается также как и обычный (алгебраический) - знаком радикала (√). Таким образом, арифметический корень, в отличие от ранее определённого (алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа 4 имеет два значения: 2 и -2, из них арифметическим является первое.</p>
<p>
Проще говоря, <dfn title="арифметический квадратный корень из числа m">арифметическим квадратным корнем из числа m</dfn> называется неотрицательное число, квадрат которого равен m.
</p>
<p>
Арифметический корень имеет <a href="5.html">ряд полезных свойств</a>. Его подкоренное выражение не может являться отрицательным, иначе запись не будет иметь смысла.
</p>
</section>
<section>
<p>
Следует упомянуть о геометрическом значении извлечения квадратного корня: это нахождение стороны квадрата по его известной площади.
</p>
</section>
<section>
<p>
Итак, как видно из текста выше, есть два конфликтующих определения квадратного корня, которые люди подразумевают под этим словосочетанием в определённых контекстах, и их очень важно различать. Так, при решении уравнений люди имеют в виду первое определение, а если корень уже присутствует в уравнении, то это второе определение. Вообще при однозначности, работе с функциями (да и чаще всего) имеется в виду (так удобнее) арифметический квадратный корень. И конечно, квадратный корень можно обозначить как плюс-минус арифметический квадратный корень: ±√x (если нужно им воспользоваться).
</p>
</section>
<hr>
<section>
<figure>
<img src="Wikimedia/Square_root_of_2.svg" alt="Геометрическое представление корня из 2 - Wikipedia">
<figcaption>Геометрическое представление √2 (взято из <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square_root_of_2_triangle.svg">Wikimedia Commons</a>)</figcaption>
</figure>
<p>
При обсуждении квадратного корня имеет смысл затронуть тему иррациональных чисел, так как корень из большей части чисел будет именно иррациональным.
</p>
<p>
<dfn>Иррациональное число</dfn> - это действительное число за пределами поля рациональных чисел, иначе, число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби m/n, где числитель - целое число, а знаменатель - натуральное. Поэтому при десятичной записи иррациональные числа не заканчиваются, а их дробная часть - не переодична. Необходимо также добавить, что большая часть действительных чисел (почти все) иррациональна (это вытекает из принципа Кантора, его диагонального метода, и нескольких теорем). В отличие от остальных числовых множеств, множество иррациональных чисел не имеет общепринятого обозначения; однако, иногда его можно обозначить так:
<math display="inline">
<mrow>
<mover accent="true">
<mi>ℚ</mi>
<mo>¯</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>ℝ</mi>
<mo>∖</mo>
<mi>ℚ</mi>
</mrow>
</math>.
</p>
<figure>
<img src="Wikimedia/Spiral_of_Theodorus.svg" alt="Спираль Феодора Киренского">
<figcaption>Спираль Феодора (Киренского) - картинка взята из <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spiral_of_Theodorus.svg">Wikimedia Commons</a>. Автор: Pbroks13</figcaption>
</figure>
<p>
Здесь для развития темы иррациональных чисел следует прибавить, что они, определённо, менее интуитивны и знакомы, чем обычные натуральные, целые и даже все рациональные (целые и дроби, которые изучаются с детства, и представить которые достаточно легко - отношения целых). Всем обычно лишь известно знаменитое иррациональное число π (часто встречающеюся в расчётах). Однако к иррациональным числам можно "прикоснуться": их можно представить, они встречаются в реальной жизни, а особенно квадратные корни. А, например, <a href="9.html">комплексные числа</a> уже гораздо менее интуитивны, их нельзя так найти в реальном мире (к ним можно "прикоснуться", например, скорее на уровне микромира в квантовой механике). Чтобы лучше понять квадратные корни можно начать с того же квадрата со стороной 1 и его диагонали: он сразу открывает интересное свойство квадратных корней, которым многие иррациональные числа не обладают: отрезок, длина которого равна квадратному корню из двойки, можно <i>построить с помощью циркуля и линейки</i>. Казалось бы, что в этом занимательного? Задача построения фигур <i>с помощью циркуля и линейки</i> вообще является очень известной и интересует геометров уже очень долгое время. Возможность точного построения чего-либо — доказательство его существования и повышение удобства использования. А также корень из двух вовсе несоизмерим с другими числами - иррационален, поэтому может показаться, что это невозможно, но в действительности лишь с помощью циркуля и линейки можно легко построить отрезок длинной в квадратный корень <strong>из любого натурального числа</strong>. Все квадратные корни, а не только пресловутый <i>√2</i>, связаны с длинами и пропорциями геометрических фигур. Известная во всём мире теорема Пифагора позволяет обнаруживать квадратные корни во множестве природных форм (от кристаллов и до растений). В течение долгого времени корень из двух был единственным известным иррациональным числом. Лишь примерно в 425 году до нашей эры в диалоге "Теэтет" Платон рассказывает, что его учитель впервые доказал иррациональность других корней (для сравнения доказательство иррациональности корня из двух приписывают пифагорийцам - приблизительно в 500х (может быть, где-то в 540-520) до нашей эры), а затем было придумано универсальное доказательство, приписываемое его другому ученику - Теэтету Афинскому. В честь этого самого учителя названа очень необычная геометрическая структура – <i>спираль Феодора Киренского</i>. Начиная с того же единичного квадрата с диагональю - возьмём его половину - прямоугольный треугольник со сторонами 1, 1 и корень из 2. Тогда корень из трёх будет диагональю треугольника со сторонами корень из 2 и 1 и т.д. Ряд чисел √n растёт в определённом порядке. Пропорции √n являются динамическими. У всех корней вообще много интересных геометрических свойств и применений. Этот параграф показывает, что корни и иррациональные числа очень "реальны", удобны и даже будничны. Ещё хотелось бы заострить внимание на том, что для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (отрезка длины 1), а извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки, что ставит квадратные корни в особое положение.
</p>
<p>
Квадратные корни всех натуральных чисел кроме <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE">точных квадратов</a> являются иррациональными. Вообще, если квадратный корень не извлекается нацело, то он иррационален (Таэтет, как уже было сказано ранее).
</p>
Докажем теперь иррациональность корня из 2 (√2).<br>
Доказательство.<br>
Воспользуемся методом от противного:
<math display="block">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mtable columnalign="left" groupalign="{left left}">
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mo>◽</mo>
<mtext>Пусть</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<msqrt>
<mi>x</mi>
</msqrt>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>m</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mfrac>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mn>2</mn>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<msup>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<msup>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<msup>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>|</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>m</mi>
<mo>|</mo>
<mn>2</mn>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mtext>Можно представить</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>k</mi>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mtext>Тогда</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mn>4</mn>
<mo>⁢</mo>
<msup>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<msup>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mn>2</mn>
<msup>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<msup>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>|</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>n</mi>
<mo>|</mo>
<mn>2</mn>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mi>n</mi>
<mtext>,</mtext>
<mi>m</mi>
<mo>|</mo>
<mn>2</mn>
<maligngroup/>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mo>∴</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>m</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>k</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>∴</mo>
<msqrt>
<mn>2</mn>
</msqrt>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>нельзя представить в виде</mtext>
<maligngroup/>
<mfrac>
<mrow>
<mi>m</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>◽</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
<p>
Так как точное значение корней из неквадратов в привычном виде не записать, следует иметь представление об <a href="6.html">их приближённом значении</a>.
</p>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>