-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
2.html
416 lines (416 loc) · 15.9 KB
/
2.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | алгебраическая дробь и её свойства</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Деление дробей.</h1>
<p>
Дробь - есть число вида <math display="inline"><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, где a - целое число, и b - натуральное число. Также и алгебраическая дробь - число вида <math display="inline"><mrow><mfrac><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>Q</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, где P и Q - многочлены, и P является знаменателем, а Q - числителем дроби. Является частным случаем <a href="1.html">рационального выражения</a>.
Пример алгебраической дроби:
<math display="inline">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
</p>
Смотреть также <a href="1.html">деление многочленов</a>.
<section>
<h2>Основное свойство дроби</h2>
<p>Пожалуй, самым важным свойством дроби является записанное ниже. Именно оно позволяет проделывать практически любые известные операции и преобразования над дробями.</p>
<p>Свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (отличное от 0), то значение дроби не изменится.</p>
<p>Иначе говоря:
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>×</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>∀</mo>
<mi>n</mi>
<mo>≠</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
.</p>
<p>То же, очевидно, применимо и к алгебраическим дробям, т.к. ясно, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число эквивалентно умножению числа на число, а потом делению на то же число, что является взаимно-обратными действиями ∴ взаимно уничтожают друг друга. Конечно, применение этого свойства к алгебраическим дробям является их тождественным преобразованием, что важно ∴ этим свойством всегда можно спокойно пользоваться.</p>
</section>
<section>
<h3>Сокращение дробей</h3>
<p>Важным вытекающим из основного свойства алгебраической дроби свойством является возможность её сокращения, т.е. деление числителя и знаменателя на число.</p>
Пример:
<math display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>/</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfenced>
<mo>/</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
</section>
<section>
<h3>Приведение дробей к общему знаменателю</h3>
<p>Алгебраические дроби (как и обычные) можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство.</p>
</section>
<section>
<h3>Сложение и вычитание алгебраических дробей</h3>
<p>
Приведённые к общему знаменателю дроби можно складывать и вычитать.
<math display="inline">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
</p>
<p>
Это достаточно легко доказывается, если потребуется: обозначим две складывающиеся дроби <i>l</i> и <i>m</i>, тогда по определению частного: a=cl; b=cm и a+b = cl+cm=c(l+m). Подводя итог, имеем выражение <i>a+b = c(l+m)</i>, тогда получается: <i>(a+b)/c=l+m</i>, Q.E.D.
</p>
</section>
<section>
<h3>Умножение дробей</h3>
<p>
Умножать дроби очень легко, перемножая числитель с числителем и знаменатель с знаменателем.
<math display="inline">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>×</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
</p>
<p>
Опять же для быстрого исчерпывающего доказательства без каких-либо неинтуитивных понятий можно воспользоваться тем же трюком, что и для сложения дробей: обозначить дроби <i>k</i> и <i>l</i>. По определению частного: a=bk и c=nl. Теперь можно, перемножив левые и правые части данных равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, получить: ac = (bk)×(nl) = (nb)(kl) ∴ исходное перемножение дробей kl = ac⁄bn Q.E.D.
</p>
</section>
<section>
<h3>Возведение дроби в степень</h3>
<p>
Последовательное умножение дроби саму на себя - возведение в степень. Оно также возможно. Как именно возводить дробь в n-ую степень, легко понять, пользуясь правилом умножения дробей (возведение в степень есть последовательное умножение числа, переменной, многочлена самого на себя - см. <a href="13.html">свойства степени с целым показателем</a>).
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>b</mi>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
</p>
</section>
<section>
<h3>Деление дробей</h3>
<p>
Делить дроби тоже можно. Деление на дробь эквивалентно умножению на ту же дробь, где числитель и знаменатель поменяли местами. Деление на дробь - это умножение на дробь ей обратную.
<math display="inline">
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>÷</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>×</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
</p>
<p>
Для быстрого доказательства этого тождества (для всех чисел кроме 0 в знаменателе, конечно) можно уже даже обойтись без трюка, использованного выше (а просто воспользоваться остальными доказанными тождествами). <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mi>d</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>×</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mi>d</mi>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>b</mi>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math> (значит, по определению частного изначальное выражение является тождеством).
</p>
</section>
<hr>
<section>
<p>
Также одно очевидное свойство: если у дроби изменить знак числителя (или знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь ей тождественно равная. Однако этим иногда удобно пользоваться при различного рода преобразованиях, поэтому об этом не следует забывать.
</p>
</section>
<section>
<p>
При работе с рациональными дробями не обязательно обращаться к математическим выражениям другого рода, так как результаты всех перечисленных выше действий можно представить в виде рациональной дроби (что выше и показано).
</p>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>