-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
12.html
478 lines (476 loc) · 29 KB
/
12.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | числовые промежутки</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Числовые промежутки. Геометрическая интерпретация числовых промежутков на координатной прямой. Системы и совокупности неравенств.</h1>
<section>
<h2>Числовые промежутки. Контекст. Определение</h2>
<!--<p>
В равенстве есть всего один возможный вариант - одно значение: так в уравнении его части по обе стороны от знака равенства одинаковы - их представляет одна точка на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел). Однако, с <a href="10.html">неравенствами</a> дело обстоит по-другому. В неравенствах на числовой прямой появляется точка или несколько точек, ограничивающих значение выражения с одной стороны. То есть, для строгих неравенств, конечно сами границы значением выражения быть не могут, а нестрогое является наиболее обобщённым случаем. Равенство же тогда является наиболее частным случаем нестрогих неравенств: <i>a=b ⇔ b≤a≤b</i>. Здесь обе ограничительные точки совпадают, но сами входят в интервал, т.е. у нас есть интервал единичной длины - множество значений из одного элемента.
</p>
<p>
Тут необходимо сделать поправку и сказать, что корней у уравнения может быть любое количество (в зависимости от количества переменных, степени и т.д.), но точка, отображающая результирующее уравнение с переменной на числовой прямой и справа, и слева от знака всегда будет одна (зависит от выбранного значения переменной и сделанных преобразований).
</p>-->
<p>Равенство (уравнение) имеет одну точку на числовой прямой (хотя это точка зависит от проделанных преобразований и выбранного корня). Само решение уравнения будет числовым множеством (иногда состоящим из одного числа). Однако, всё это на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел) будет отображаться лишь точечно, но существуют также более обобщённые типы отношений между двумя числами - <a href="10.html">неравенства</a>. В них числовая прямая разделяется некоторым числом и от неё отсекается определённая часть - значения выражения или числовой промежуток.</p>
<p>
Тему числовых промежутков логично обсуждать вместе с неравенствами, но это отнюдь не означает, что она связана лишь с ними. Числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) являются множеством значений переменной, удовлетворяющих некоему неравенству. То есть, по сути, это множество всех точек на числовой прямой, ограниченной какими-то рамками. Поэтому наиболее тесно связана тема числовых промежутков с понятием <i>переменной</i>. Там, где есть переменная, или произвольная точка x на числовой прямой, и её применяют, используют, есть и числовые промежутки, интервалы - значения x. Часто значение может быть любым, но это тоже числовой промежуток, охватывающий всю числовую прямую.
</p>
<p>
Введём понятие <i>числового промежутка</i>. Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.
</p>
<p>
<dfn>Числовой промежуток</dfn> - это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).
</p>
<p>
Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).
</p>
<p>
Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.
</p>
</section>
<section>
<h2>Виды числовых промежутков</h2>
<p>
Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: <i>(a;b) ⇔]a;b[</i>
</p>
<table>
<tr>
<th>
Вид промежутка (название)
</th>
<th>
Геометрическое изображение (на числовой прямой)
</th>
<th>
Обозначение
</th>
<th>
Запись с помощью неравенств (для краткости всегда цепочками)
</th>
</tr>
<tr>
<td>
Интервал (открытый)
</td>
<td>
<a href="segment.svg" title="Увеличить"><img src="segment.svg" alt="Отрезок на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>(a;b)</i>
</td>
<td>
<i>a < <var>x</var> < b</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Сегмент (отрезок)
</td>
<td>
<a href="interval.svg" title="Увеличить"><img src="interval.svg" alt="Интервал на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>[a;b]</i>
</td>
<td>
<i>a ≤ <var>x</var> ≤ b</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Полуинтервал (полусегмент)
</td>
<td>
<a href="half-interval1.svg" title="Увеличить"><img src="half-interval1.svg" alt="Полуинтервал на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>[a;b)</i>
</td>
<td>
<i>a ≤ <var>x</var> < b</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Полуинтервал (полусегмент)
</td>
<td>
<a href="half-interval2.svg" title="Увеличить"><img src="half-interval2.svg" alt="Полуинтервал на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>(a;b]</i>
</td>
<td>
<i>a < <var>x</var> ≤ b</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Луч
</td>
<td>
<a href="ray1.svg" title="Увеличить"><img src="ray1.svg" alt="Луч на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>[a;+∞)</i>
</td>
<td>
<i><var>x</var> ≥ a</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Луч
</td>
<td>
<a href="ray2.svg" title="Увеличить"><img src="ray2.svg" alt="Луч на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>(-∞;b]</i>
</td>
<td>
<i><var>x</var> ≤ b</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Открытый луч
</td>
<td>
<a href="open_ray1.svg" title="Увеличить"><img src="open_ray1.svg" alt="Открытый луч на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>(a;+∞)</i>
</td>
<td>
<i><var>x</var> > a</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Открытый луч
</td>
<td>
<a href="open_ray2.svg" title="Увеличить"><img src="open_ray2.svg" alt="Открытый луч на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>(-∞;b)</i>
</td>
<td>
<i><var>x</var> < b</i>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Множество всех чисел (на координатной прямой)
</td>
<td>
<a href="all_numbers_interval.svg" title="Увеличить"><img src="all_numbers_interval.svg" alt="Вся числовая прямая"></a>
</td>
<td>
<i>(-∞;+∞)</i>, хотя здесь следует указать конкретное множество-носитель алгебры, с которым производится работа; пример: ℝ
</td>
<td>
<i><var>x</var> ∈ ℝ</i> (обычно говорят о множестве вещественных чисел, для представления комплексных чисел используют уже комплексную плоскость, а не прямую)
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Равенство
</td>
<td>
<a href="eq.svg" title="Увеличить"><img src="eq.svg" alt="Точка на числовой прямой"></a>
</td>
<td>
<i>[a;a]</i> или x=a
</td>
<td>
<i><var>x</var> = a</i> (частный случай нестрогого неравенства: <i>a ≤ x ≤ a</i> - интервал длины 1, где оба конца совпадают - отрезок, состоящий из одной точки)
</td>
</tr>
<tr>
<td>
Пустое множество
</td>
<td>
<a href="nox.svg" title="Увеличить"><img src="nox.svg" alt="Числовая прямая - нет значений"></a>
</td>
<td>
∅
</td>
<td>
Пустое множество тоже является промежутком - у переменной x нет значений (пустое множество). Обозначение: <i>x∈∅⇔x∈{ }</i>.
</td>
</tr>
</table>
<p>
С названиями промежутков может возникнуть путаница: есть огромное количество вариантов. Поэтому лучше всегда точно их указывать. В англоязычной литературе используется только термин <i>интервал</i> (<i>"interval"</i>) - открытый, замкнутый, полуоткрытый (полузамкнутый). Вариаций много.
</p>
</section>
<section>
<p>
С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при <a href="15.html">при исследовании функции</a> её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть <i>теорема Больцано — Коши</i> (можно узнать больше в "Википедии").
</p>
</section>
<section>
<h2>Системы и совокупности неравенств</h2>
<h3>Система неравенств</h3>
<p>
Итак, переменную x или значение некоторого выражения можно сравнить с какой-то постоянной величиной - это неравенство, но можно сравнивать это выражение с несколькими величинами - двойное неравенство, цепочка неравенств и т. д. Именно это было показано выше - как интервал и отрезок. И то, и то является <i>системой неравенств</i>.
</p>
<p>
Итак, если ставится задача найти множество общих решений двух или больше неравенств, то можно говорить о <dfn title="система неравенств и её решение">решении системы неравенств</dfn> (также как с уравнениями — хотя можно сказать, что уравнения - это частный случай).
</p>
<p>
Тогда очевидно, что значение переменной, использованной в неравенствах, при котором каждое из них обращается в верное, называется <dfn>решение системы неравенств</dfn>.
</p>
<p>
Все неравенства, входящие в систему объединяют фигурной скобкой - "{". Иногда их записывают в виде <i>двойного неравенства</i> (как показано выше) или даже <i>цепочкой неравенств</i>. Пример типичной записи: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>f</mi><mo>⁡</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≤</mo>
<mn>30</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>g</mi><mo>⁡</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>5</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>.
</p>
<p>
Решение систем линейных неравенств с одной переменной в общем случае сводится к вот этим 4 видам:
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mtable align="center" columnalign="center" groupalign="{left left left left}">
<mtr>
<mtd><maligngroup/>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo>></mo>
<mi>a</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo>></mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>(1)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<maligngroup/>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo>></mo>
<mi>a</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo><</mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>(2)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<maligngroup/>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo><</mo>
<mi>a</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo>></mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>(3)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<maligngroup/>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo><</mo>
<mi>a</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
<mo><</mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>(4)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>. Здесь предполагается, что <i>b > a</i>.
</p>
<p>
Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.
</p>
<p>
Представим для каждого случая графическое решение.
</p>
<figure class="center_pic">
<img src="sys1.svg" alt="x is greater than b">
<figcaption>(1) x>b</figcaption>
</figure>
<figure class="center_pic">
<img src="sys2.svg" alt="x is between a and b">
<figcaption>(2) a<x<b</figcaption>
</figure>
<figure class="center_pic">
<img src="sys3.svg" alt="x is less than a">
<figcaption>(3) x<a</figcaption>
</figure>
<figure class="center_pic">
<img src="sys4.svg" alt="x does not exist">
<figcaption>(4) x∈∅</figcaption>
</figure>
<p>
Итак, что же получается? В случае (1) решением является промежуток <i>(a;+∞)</i>. В случае (2) решение - промежуток <i>(a;b)</i>. Случай (3) - это пример открытого луча <i>(-∞;a)</i>. В случае (4) же решения отдельных неравенств не пересекаются - система не имеет решений.
</p>
<p>
Далее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).
</p>
<p>
Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза "<i>И</i>" для неравенств
</p>
<h3>Совокупность неравенств</h3>
<p>
Однако, бывают и другие случаи. Так кроме пересечения множеств решений бывает их объединение: если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо <dfn title="решение совокупности неравенств">решить совокупность неравенств</dfn>.
</p>
<p>
Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности "[". Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).
</p>
<p>
Если фигурная скобка - <i>и</i>, то скобка совокупности - это, условно, говоря простым языком, эквивалент союза "<i>ИЛИ</i>" для неравенств (хотя это, конечно, будет логическое или, включающее случай, удовлетворяющий обоим условиям).
</p>
<p>
Итак, <dfn title="решение совокупности неравенств">решение совокупности неравенств</dfn> - это значение переменной, при котором хотя бы одно неравенство, обращается в верное.
</p>
</section>
<section>
<hr>
<p>
Множество решений, как совокупности, так и системы неравенств, можно определить через две основные бинарные операции для работы с множествами - пересечение и объединение. Множество решений системы неравенств - это <em>пересечение</em> множеств решений неравенств, её составляющих. Множество решений совокупности неравенств - это <em>объединение</em> множеств решений неравенств, её составляющих. Это тоже можно проиллюстрировать. Допустим у нас есть система и совокупность из двух неравенств. Множество решений первого обозначим <i>A</i>, а множество решений второго обозначим <i>B</i>. Прекрасной иллюстрацией будет диаграмма Эйлера-Венна.
</p>
<figure class="center_pic">
<img src="Union.svg" alt="объединение множеств">
<figcaption>A ∪ B - решение системы неравенств</figcaption>
</figure>
<figure class="center_pic">
<img src="Intersection.svg" alt="пересечение множеств">
<figcaption>A ∩ B - решение совокупности неравенств</figcaption>
</figure>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>