-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
10.html
782 lines (781 loc) · 33.7 KB
/
10.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | числовые неравенства</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.</h1>
<section>
<h2>Числовые неравенства</h2>
<figure>
<img src="Defining_variable_by_comparison.svg" alt="Равенства и неравенства">
<figcaption>Сравнение величин</figcaption>
</figure>
<p>
Как в науке, так и в реальной жизни часто приходится сравнивать два каких-то числа. Иногда без этого нельзя даже говорить о значении вычислений. Допустим, используя числовые неравенства, <a href="6.html">можно найти приближённое значение иррациональных квадратных корней</a>, оценить значение переменной. Говоря о числовых неравенствах, следует прежде всего указать, что между двумя числами есть всего три рода возможных взаимосвязей - соотношений: они могут быть равны (<i>a = b</i>), a может быть меньше b (<i>a < b</i>), a может быть больше b (<i>a > b</i>) (конечно, при <i>a≠b</i> можно также говорить о разнице между величинами: например, если a сильно (на несколько порядков) больше чем b, то это даже можно обозначить специальным символом <i>»</i>, что показывает интерес людей именно к разнице, хотя, конечно, обычно уже интересует именно конкретная величина). Результат сравнения и записывают в виде равенств или неравенств. Для нескольких чисел можно использовать последовательность (цепочку неравенств) в порядке убывания, возрастания или <a href="12.html">системы неравенств</a>. Вообще, неравенства часто используются в математике, и также важны как и равенства. Примером их использования также будет неравенство треугольника в геометрии, по которому можно оценить, существует ли треугольник с данными сторонами.
</p>
<p>
<span>Фактически, <dfn>неравенства</dfn> - это утверждения об относительной величине какой-либо переменной, числа.</span> Неравенства, которые разобраны выше подразумевают, что оцениваемая величина не может быть равна числу, относительно которого оценивается, но это, явно, не всегда верно.
</p>
<p>
Также нужно заметить, что кроме <i>строгих</i> неравенств (говорят, a строго больше b, a строго меньше b), есть и <i>нестрогие</i> неравенства (a меньше или равно b, a больше или равно b). Они используются, когда доподлинно неизвестно равны величины или меньше друг друга, равны величины или больше друг друга и т.д. Например, когда нужно купить, что-то в магазине, очевидно, можно купить продуктов на сумму меньшую или равную деньгам, которые взяты с собой (S≤M). Кроме <i>больше или равно</i> и <i>меньше или равно</i>, что является и названиями знаков, можно также говорить <i>не меньше чем</i> и <i>не больше чем</i>.
</p>
<p>
Здесь ещё можно добавить, что если использовать нестрогие неравенства там, где можно использовать строгие, не доводить расчёты до конца, оставлять, например, <i><var>x</var> > 2</i>, когда известно, что <i><var>x</var> > 3</i>, то подобные неравенства будут <i>неточными</i>. <dfn title="точное неравенство">Точным неравенством</dfn> называется неравенство, которое нельзя "улучшить", т.е. использующее и учитывающее всю доступную информацию. Конечно, логичнее всегда делать свои неравенства точными.
</p>
<p>
Последний случай, который следует разобрать - это <a href="12.html"><i>совокупность неравенств</i></a>, когда есть несколько возможных вариантов для одной величины и выполняется либо один, либо другой.
</p>
</section>
<section>
<p>
К слову о доказательстве неравенств и об определении знака в неравенстве, определить больше одно число другого, меньше или равно ему, можно используя понятия чисел и их визуализаций на координатной прямой (она является наглядным образом множества всех вещественных чисел ℝ).
</p>
<figure>
<img src="greater_than.svg" alt="Визуализация к a больше b на числовой прямой">
<figcaption>Иллюстрация к a > b</figcaption>
</figure>
<p>
Пусть <var>a</var> больше <var>b</var>, тогда очевидно, что на координатной (числовой) прямой (обычной, с положительным направлением слева на право) точка, представляющая число <i>a</i>, будет правее точки, представляющей число <i>b</i>. Это значит, что <i>a = b + c</i>, и <i>c</i> является положительным числом (продвижение по числовой прямой вправо соответствует прибавлению положительного числа). Получается (по определению разности), <i>a-b = c</i>.
</p>
<figure>
<img src="less_than.svg" alt="Визуализация к a меньше b на числовой прямой">
<figcaption>Иллюстрация к a < b</figcaption>
</figure>
<p>
Пусть <var>a</var> меньше <var>b</var>, тогда поступаем аналогично - на координатной прямой точка <i>a</i> лежит левее точки <i>b</i>. Значит, также <i>b = a + c</i> (c положительным <i>c</i>). Следовательно, при вычитании получаем: <i>a-b = -c</i>. Т.е. <i>a-b = p</i>, где p - отрицательное число.
</p>
Можно на основе этих рассуждений определить:
<math display="block">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>></mo>
<mi>b</mi>
<mo>⇔</mo>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>c</mi>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>
и
<math display="block">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo><</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⇔</mo>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>c</mi>
<mo><</mo>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mfenced>
</mrow>
</math>
Также, конечно, равенство определяется так:
<math display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
<p>
Тогда для нестрогих неравенств знаки сменятся на знаки нестрогого равенства (добавится возможность для <i>c</i> быть равным 0).
</p>
<p>Подобный способ решения неравенств (где разность чисел сравнивают с нулём) можно называть <i>метод оценки знака разности</i>. Он основан на определениях <i>a<b</i> и <i>a>b</i>, записанных выше.</p>
</section>
<section>
<h2>Свойства неравенств</h2>
<ol style="text-align: left;">
<li>
Если <i>a ≥ b</i>, то <i>b ≤ a</i> и наоборот (обратное отношение, которое понятно уже интуитивно).
Доказательство: ◽ a ≥ b ⇒ a-b ≥ 0; b-a= -(-b+a) = -(a-b) и (a-b) ≥ 0 ⇒ -(a-b) ≤ 0 ⇒ b ≤ a Q.E.D. (обратное утверждение и свойство для строгих равенств доказываются аналогично) ◽
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b</i> и <i>b ≥ c</i>, то a ≥ c (<i>свойство транзитивности</i> - один из основных приёмов при работе с неравенствами, равенствами как строгими, так и нестрогими; опять же, интуитивно и известно каждому, можно применять как математическую индукцию и для записи цепочки неравенств). Если хотя бы одно из начальных условий строгое неравенство, то выводом будет строгое неравенство.
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>+</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>,</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>где</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>(по условию)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>(по условию)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>c</mi>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
(доказательство для других знаков аналогично; нужно помнить, что равенства - это особый случай нестрогих неравенств).
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b</i> и <i>c ∈ ℝ</i>, то <i>a+c ≥ b+c</i> (для неравенств определено и прибавление к, и вычитание из обеих частей; то же для знака меньше и нестрогих неравенств с аналогичным доказательством).
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mo>></mo>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b</i> и <i>c > 0</i>, то <i>ac ≥ bc</i> (возможно умножение и деление на ненулевое <i>c</i>; аналогично для других знаков неравенств).
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>,</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>где</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>c</mi>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b</i> и <i>c < 0</i>, то <i>ac ≤ bc</i> (свойство противоположных чисел, например (такое же свойство работает для ненулевых обратных чисел одинакового знака); кроме аналогично для других знаков заменяется на противоположный).
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>⁢</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>,</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>где</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>c</mi>
<mo><</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b</i> и <i>c ≥ d</i>, то <i>a+c ≥ b+d</i> (возможность почленного сложения двух неравенств одинакового смысла; аналогично для других знаков).
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>+</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>,</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>где</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b > 0</i> и <i>c ≥ d > 0</i>, то <i>ac ≥ bd</i> (возможность почленного перемножения двух положительных неравенств одинакового смысла; аналогично можно складывать со всеми знаками: меньше (или равно) и больше).
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>d</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>⁢</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mtext>,</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>где</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>c</mi>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mtext>;</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>b</mi>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mtext>;</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mtext>;</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>c</mi>
<mo>⁢</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>-</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>≥</mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇒</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>d</mi>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>
Если <i>a ≥ b > 0</i> и <i>n ∈ ℕ</i>, то <i>a<sup>n</sup> ≥ b<sup>n</sup></i> (как и для всех других правил и свойств, здесь разобранных, знак больше или равно можно заменять на другие; из доказательства можно увидеть, что обратное тоже верно; см. также <a href="13.html">свойства степеней с целым показателем</a>).
Доказательство: <math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<msup>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>≥</mo>
<msup>
<mi>b</mi>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mo>⇔</mo>
<mfenced open="{" close=" " separators=",">
<mrow>
<mtext>n раз</mtext>
<mo>(</mo>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>a</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>a</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>…</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>a</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>b</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>|</mo>
<mo>∗</mo>
</mrow>
</mfenced>
<mover>
<mo>→</mo>
<mtext>по свойству 7</mtext>
</mover>
<mtext>при</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>a</mi>
<mo>≥</mo>
<mi>b</mi>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>и</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mi>n</mi>
<mo>∈</mo>
<mi>ℕ</mi>
<mspace width="0.5em" />
<msup>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>≥</mo>
<msup>
<mi>b</mi>
<mi>n</mi>
</msup>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>(и наоборот)</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>
Если <i>a<sup>n</sup> ≥ b<sup>n</sup></i> при <i>a > 0</i> и <i>b > 0</i> и <i>n ∈ ℕ</i>, то <i>a ≥ b</i>.
Доказательство: <math>
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mtext>см. предыдущее доказательство</mtext>
<mspace width="0.5em" />
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
</li>
<li>Два предыдущих свойства были для натуральных степеней, но для дробных степеней тоже есть подобные свойства: см. <a href="6.html">свойства квадратного корня</a> (обратное данной там теореме тоже верно).</li>
</ol>
Большая часть доказательств здесь приводилась для неравенств со знаком больше или равно, однако, его можно заменить на любой другой (в номере 5 следует после преобразования (умножения) брать противоположный изначальному знак (конечно, знак равно на противоположный менять не следует); также знаки отличные от больше либо равно менять нельзя (там, где используется строго больше 0, остаётся строго больше 0)).
<p>
Вообще, здесь нужно сказать о том, что в общем случае при применении монотонной функции к обеим частям неравенства, если она возрастающая, то неравенство держится, иначе, неравенство меняет знак на противоположный. В свойствах примером этой смены знака были обратные и противоположные числа для положительных a и b (<i>ƒ(<var>x</var>)=-<var>x</var></i> и <i>g(<var>x</var>)=1/<var>x</var></i>). Поэтому, на самом деле, возведение в натуральную степень - это строго возрастающая функция, а возведение в отрицательную целую - это строго убывающая функция (подпадающие под данное здесь правило). Хотя, конечно, со многим из этого и из свойств есть сложности, поэтому лучше всего применять всё это для положительных чисел.
</p>
<p>
Также допустим при <a href="7.html">решении квадратных уравнений</a>, а точнее при <a href="8.html">определении дискриминанта квадратного трёхчлена и оценке корней по нему</a>, были упомянуты комплексные числа. Для комплексных чисел нельзя определить соотношение <i>≤</i> так, чтобы их поле стало упорядоченным.
</p>
Также при работе с неравенствами можно пользоваться некоторыми <a href="11.html">опорными неравенствами</a>, числовыми осями. Неравенства задают <a href="12.html">числовые промежутки своими системами</a>.
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>