From 00501f7cdf0851ce114f7720bcd788c9732035d2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yi Lu <zhiwudazhanjiangshi@gmail.com>
Date: Sun, 29 Jan 2017 18:53:12 +0800
Subject: [PATCH] update thesis

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 body/03_qzkLiegroup.tex   |  74 +++++++++----------
 body/04_symplecticWR.tex  |  99 ++++++++++++-------------
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@@ -9,33 +9,33 @@ \section{研究背景和现状}
 起到了决定性的核心作用.算法的计算速度快,实现简单,性能稳定和可并行性已经成为许多领域里
 的基本需求,拥有这些算法也就意味着拥有了国家的核心竞争力.在数学领域里,为工程应用中提供
 这些高效高性能的算法,其现实意义和重要性是十分明显的.在工程应用中,我们关注这样一类特殊的问题,此类
-问题对应具有守恒律的系统,也就对计算效果有特殊的要求.然而,方程的守恒律在通常的数值计算格式
-中往往无法直接体现.对于一个本身具有守恒性质的微分方程,只有合理地设计数值格式,才能达到
-高效稳定快速这些要求.
+问题对应具有守恒律的系统,因此对计算效果有特殊的要求.然而,方程的守恒律在常规的数值计算格式
+中往往无法直接体现.可见,对于一个本身具有守恒性质的微分方程,只有合理地设计数值格式,才能达到
+高效快速稳定这些要求.
 
-本论文对与方程守恒性质相关的一些高性能算法(包括具有守恒性质
-或者近似有守恒性质微分方程的辛方法,辛波形松弛方法),李群方法以及微分方程的李点对称方法展开研究,通过改进与创新,获得稳定的易于实现的数值
+本论文通过对与方程守恒性质相关的一些高性能算法(包括具有守恒性质
+或者近似有守恒性质微分方程的辛方法,辛波形松弛方法),李群方法以及微分方程的李点对称方法展开研究,进行改进与创新,获得了稳定的易于实现的数值
 方法,和微分方程的一些守恒性质.所涉及的方向包括电路模拟,哈密尔顿系统的计算,流形上
-的数值计算,和偏微分方程的约化和解析解.
+的数值计算以及偏微分方程的约化和解析解.
 
 \subsection{电报方程}
 \esubsection{Telegraph Equations}
 
-传输线主要用来描述传输无线电频率的交变电流,反映的是当电流频率高到一定程度时的波的性质.
+传输线主要用来传输无线电频率的交变电流,反映了当电流频率高到一定程度时的波的性质.
 传输线广泛应用在信号传输,产生脉冲和信号过滤等领域.常见的传输线主要有平行线、同轴电缆、
 带状线、微带线、波导管、介质波导和光纤,等等.电报方程,也称为传输线方程或电报员方程,
 来源于Maxwell方程组,是描述传输线中电流电压属性的一类方程.更具体地讲,电报方程来源于这样的问题,
-导体是无限个二端口元件连接而成,每一个元件都是很小的传输线元件.
+导体由无限个二端口元件连接而成,每一个元件都是很小的传输线元件.
 
-现有的关于电报方程的求解方法通常分为两大类,第一类是求精确解,第二类是求数值解.精确解只对部分
-方程有效,其他部分我们还需要用数值模拟来解决.求数值解的方法,从思想上可以分为两种,第一种是
-用解析的方法,将解的波形迭代起来求解,第二种则是离散方程之后的数值计算.解析方法通过迭代波形,
+现有的关于电报方程的求解方法通常分为两大类,第一类是求精确解,第二类是求数值解.精确解只对一少部分
+方程有效,其他问题我们还需要用数值模拟来解决.求数值解的方法,从思想上可以分为两种,第一种是
+用解析的方法,将解的波形迭代起来求解,第二种则是离散方程之后的数值计算,即离散方法.解析方法通过迭代波形,
 使得结果逐渐逼近真解.常见的解析方法有 Exp-函数方法~\cite{naher2011exp}, Adomian 分解
 方法~(ADM)~\cite{adomian1988areview,sheikholeslami2012analytical}, 变分迭代方
 法~(VIM)~\cite{wu2013variational} 和同伦摄动方法~(HPM)~\cite{sheikholeslami2012homotopy}. 电报
 方程的离散方法常见的有微分二次方法~(DQM)~\cite{jiwari2012numerical}, 交替迭代隐式
 方法~(ADI) \cite{cui2013convergence}, 和 WENO 方法 \cite{borges2008improved,shen2014improvement}.
-电报方程的系统能量随时间而指数衰减,不具有能量守恒律.经过研究,我们找到了这样一个变换 \cite{polyanin2001handbook}, 能够使电报方程变为
+电报方程的系统能量随时间而指数衰减,不具有能量守恒律.经过研究,我们发现了这样一个变换 \cite{polyanin2001handbook}, 能够使电报方程变为
 一个守恒的系统,而这种守恒性刚好能让我们利用辛方法进行求解.这样做的好处是能够有效地
 求解更长的时间区间,同时能够获得更容易实现的数值格式.
 
@@ -43,38 +43,38 @@ \subsection{拓展 QZK 方程}
 \esubsection{Extended QZK Equations}
 
 拓展 quantum Zakharov-Kuznetsov~(QZK) 方程描述了等离子体里的物理现象.对于拓展 QZK 方程的
-研究追溯到几年前, Zakharov 和 Kuznetsov \cite{abdou2011quant} 构造了描述由冷离子和热电子构成的
-磁等离子体的非线性离子波 (IAWs) 的方程.量子等离子体及其它们的性质获得了越来越多的从理论
-物理和实验物理角度的注意,主要由于它们在德布罗伊波长超过德拜波长接近费米波长时的带电载体特性 \cite{abdou2011quant,ahmed2013kinks,bhrawy2013soli,biswas20091soli,biswas2013soli,bluman2010appli,elganaini2011tra,godleswski2004the,guner2015bright,ibragimov2006inte}. 在均匀磁场里的弱非线性离子波的性质由量子 Zakharov-Kuznetsov 方程来刻画.这些年来,许多
-研究者的关注越来越多,在不同的量子等离子体模型中研究了磁场的影响 \cite{ibragimov2007anew,iwasaki1990cylin,johnpilai2011sym,khan2008linear,krishnan2010sol,leveque1992num,linares2009well,linares2011local,morris2013soli,moslem2007soli,mothibi2015con,moussa2001simi,munro2014con,munro2000sta,mushtaq2005non,olver2000app,peng2008exact,sabry2009non}.
+研究追溯到若干年前, Zakharov 和 Kuznetsov \cite{abdou2011quant} 构造了描述由冷离子和热电子构成的
+磁等离子体的非线性离子波 (IAWs) 的方程.量子等离子体及其它们的性质获得了越来越多的理论
+物理和实验物理研究者的注意,这是由于它们在德布罗伊波长超过德拜波长接近费米波长时的带电载体特性值得研究 \cite{abdou2011quant,ahmed2013kinks,bhrawy2013soli,biswas20091soli,biswas2013soli,bluman2010appli,elganaini2011tra,godleswski2004the,guner2015bright,ibragimov2006inte}. 在均匀磁场里的弱非线性离子波的性质由量子 Zakharov-Kuznetsov 方程来刻画.这些年来,许多
+研究者对该问题的关注越来越多,在不同的量子等离子体模型中研究了磁场的影响 \cite{ibragimov2007anew,iwasaki1990cylin,johnpilai2011sym,khan2008linear,krishnan2010sol,leveque1992num,linares2009well,linares2011local,morris2013soli,moslem2007soli,mothibi2015con,moussa2001simi,munro2014con,munro2000sta,mushtaq2005non,olver2000app,peng2008exact,sabry2009non}.
 
 (2+1) 维 Zakharov-Kuznetsov (ZK) 方程的主要研究手段有正弦余弦方法,拓展双曲正切方法,
 同伦分析方法 \cite{linares2009well}, 简化的 Hirota 方法 \cite{biswas2013soli,bluman2010appli}
 和映射方法 \cite{morris2013soli}, 等等.带有非线性扩散项和时间相关系数的 (2+1) 维广义
-Zakharov-Kuznetsov (gZK) 方程由孤立波拟设方法所研究 \cite{sabry2009non}. (3+1) 维 QZK
+Zakharov-Kuznetsov (GZK) 方程由孤立波拟设方法所研究 \cite{sabry2009non}. (3+1) 维 QZK
 方程可以通过辅助方程方法 \cite{ahmed2013kinks} 和拓展 F 展开 (EFE) 方法得到 \cite{munro2000sta}.
 在 \cite{ahmed2013kinks} 中作者使用了约化摄动方法正式地得到了拓展 quantum Zakharov-Kuznetsov (extended QZK) 方程
 ,该方程由广义拓展方法 \cite{guner2015bright}, Jacobi 椭圆正弦和余弦函数 \cite{biswas20091soli}
-所研究.李点对称方法和极简方程方法也可以用来研究 Zakharov-Kuznetsov 方程 \cite{leveque1992num}.
+所研究.同时,李点对称方法和极简方程方法也可以用来研究 Zakharov-Kuznetsov 方程 \cite{leveque1992num}.
 此外,对于一类广义 (2+1) 维 Zakharov-Kuznetsov 方程也有类似的工作 \cite{moslem2007soli}.
 
 \subsection{哈密尔顿系统}
 \esubsection{Hamiltonian Systems}
 
-在数学上, 哈密尔顿系统是由数学家 Hamilton 构造出来,用来描述物理系统的发展型方程.该系统
-的表示方法,巧妙地引入动量的概念,将一个二阶问题转化为维数加倍的一阶问题.该表示
-的优点是能够在无法求得该系统的解析解的情况下,阐明一些动力系统的性态.在工程应用中,包括
-动力学、分子动力学、流体力学、量子力学、图像处理、天体力学和核工程等领域中的问题,都可以表示成
+哈密尔顿系统是由数学家 Hamilton 构造出来,用来描述物理系统的发展型方程.该系统
+的表示,巧妙地引入动量的概念,将一个二阶问题转化为维数加倍的一阶问题.该表示
+的优点在于能够在无法求得该系统的解析解的情况下,阐明一些动力系统的性态.在工程应用中,包括
+动力学、分子动力学、流体力学、量子力学、图像处理、天体力学和核工程等领域在内的问题,都可以表示成
 相应的哈密尔顿系统的形式 \cite{arieh2009afirst}.
 
-对于哈密尔顿系统,有一类比较成熟的,适于计算较长时间区间的方法,即辛方法 \cite{feng2010symplectic}. 辛方法是求解
-较长时间区间的哈密尔顿系统的行之有效的方法.用辛方法求解哈密尔顿系统给予人们新的启迪,指引着人们去寻找好的优美的方法.辛方法起源于
+对于哈密尔顿系统,有一类比较成熟的,适于计算较长时间区间的方法,称为辛方法 \cite{feng2010symplectic}. 辛方法求解
+较长时间区间的哈密尔顿系统著称,用辛方法求解哈密尔顿系统给予人们新的启迪,指引着人们去寻找好的优美的方法.辛方法起源于
 de Vogelaere (1956), Ruth (1983)和 冯康 (1985) 的工作 \cite{hairer2006geometric}, 其基本
-思想是避开盲目对精度的要求,巧妙地利用哈密尔顿系统的辛结构,将保持该结构作为目标,构造
+思想是避开盲目对精度的要求,巧妙地利用哈密尔顿系统的辛结构,改为以保持该结构作为目标,构造
 数值格式.近些年的理论和数值算例都验证了该方法的优越性,系统的数值能量能够保持在系统的
 真实值附近波动.
 
-数十年来,辛方法迅速发展起来,方法得到了不断地发扬光大 \cite{calvo1994numerical,leimkuhler2004simulating,hong2006multi,yang2009extended,monovasilis2013exponentially,xin2016birkhoffian,michalas2016numerical,liao2016multi}. 该方法数值结果证实了辛数值积分格式比非辛格式的优越性.因此辛方法在处理多体问题和
+数十年来,辛方法迅速发展起来,并且得到了不断地发扬光大 \cite{calvo1994numerical,leimkuhler2004simulating,hong2006multi,yang2009extended,monovasilis2013exponentially,xin2016birkhoffian,michalas2016numerical,liao2016multi}. 辛方法数值结果证实了辛数值积分格式比非辛格式的优越性,因此辛方法在处理多体问题和
 其他哈密尔顿系统问题上,有着较好的应用.常用的辛方法有辛欧拉方法,辛 Runge-Kutta 方法,
 辛 Runge-Kutta-Nystr{\"o}m 方法 \cite{kalogiratou2014fourth,kalogiratou2015}, 辛 ERKN
 方法 \cite{wang2014ahigh}, 哈密尔顿 BVM \cite{brugnano2014multi}, 等等.此外,
@@ -82,47 +82,47 @@ \subsection{哈密尔顿系统}
 哈密尔顿系统的方法 \cite{hong2000numerical,zhang2010anote}, 随机哈密尔顿方程的
 方法 \cite{burrage2014structure,ma2015sto,fan2015using}, 多辛方法 \cite{wang2013multi} 和
 最有控制系统的研究 \cite{li2015asym}, 等等.这些方法都直接或间接地利用了辛方法的特性,构造
-出了较好的数值格式.我们还知道,辛 Runge-Kutta 方法均为隐式方法 \cite{sanz1988runge}, 即
+出了较好的数值格式.我们还知道,辛 Runge-Kutta 方法均为隐式格式 \cite{sanz1988runge}, 即
 没有显式的保辛的 Runge-Kutta 法.
 
 \section{主要方法}
 \esection{Main Methods}
-在本小节,我们对本文中所用到的基本方法做出总结与简单介绍,这些方法包括辛方法,李群方法和波形松弛方法.
+在本小节,我们对本文中所用到的基本方法做出简单介绍与总结,这些方法包括辛方法,李群方法和波形松弛方法.
 
 \subsection{辛方法}
 \esubsection{The Symplectic Method}
 
 辛方法是求解哈密尔顿系统的一类特殊的数值方法,该方法结合哈密尔顿系统的辛结构而提出,在计算过程中有着优秀的特性.
 
-辛方法的定义是基于哈密尔顿系统的特性提出的.为了在数值计算上得到很好的效果,将辛格式定义为在
-每个数值时间点上保持 $q$ 与 $p$ 的外微分二形式 $dq_{n+1}\wedge dp_{n+1}=dq_n\wedge dp_n$, 这里含有下指标的 $q$ 和 $p$
-分别是在不同离散时间点上的广义位移和广义动量.为了使验证变得容易,有一个与之等价的易于进行验证
-操作的定义,即对于一个单步的数值方法 $z_{n+1}=\Phi_h(z_n)$, 保持 $(\nabla\Phi_h)^TJ^{-1}(\nabla\Phi_h)=J^{-1}$.
+辛方法的定义是基于哈密尔顿系统的辛结构给出的.为了在数值计算上得到很好的效果,辛格式要求在
+每个数值时间点上保持 $q$ 与 $p$ 的外微分二形式 $dq_{n+1}\wedge dp_{n+1}=dq_n\wedge dp_n$ 不变, 这里含有下指标的 $q$ 和 $p$
+分别是在不同离散时间点上的广义位移和广义动量.在设计数值格式时,为了使验证变得容易,我们采用一个与之等价的易于进行验证
+的定义,即对于一个单步的数值方法 $z_{n+1}=\Phi_h(z_n)$, 保持 $(\nabla\Phi_h)^TJ^{-1}(\nabla\Phi_h)=J^{-1}$.
 
-辛格式的数值格式有很多,最简单的是隐式中点法,辛欧拉法, St\"{o}rmer-Verlet 方法,辛 Runge-Kutta 方法等等.
-构造辛格式的方法也有很多,辛 Runge-Kutta 方法就是其中一种,还有基于生成函数的方法,多级单步格式等等.
-并且基于保辛格式和保结构的数值方法的研究一直在不断发展.
+辛格式的数值格式有很多,最常用的是隐式中点法,辛欧拉法, St\"{o}rmer-Verlet 方法,辛 Runge-Kutta 方法,等等.
+构造辛格式的方法也有很多,辛 Runge-Kutta 方法就是其中一大类,还有基于生成函数的方法,多级单步格式,等等.
+并且基于保辛格式和保结构的数值方法的研究一直在不断推进.
 
 关于辛方法的理论研究主要有辛 Runge-Kutta 方法的阶数分析,包括根树理论和 B 级数理论；保辛和保能量
 的研究及其相互之间的关系研究；反相误差分析理论；哈密尔顿摄动理论；高震荡方程的辛方法；多步法理论；
-数值格式的长时间性态理论等等.
+数值格式的长时间性态理论,等等.
 
 \subsection{李群方法}
 \esubsection{The Lie Group Method}
 
 李群 \cite{wanner1983fun} 是包含群结构的微分流形.作为群,李群有两个代数运算,乘法和逆.同时作为
-微分流形我们要求李群的两个代数作用是光滑映射.李群对应的李代数是李群在单位元处的切空间,李代数
-作为一个线性空间,其上包含一个双线性映射,称为李括号,满足反对称交换律和 Jacobi 恒等式.
+微分流形我们要求李群的两个代数运算是光滑映射.李群对应的李代数是李群在单位元处的切空间,
+作为一个线性空间,李代数上包含一个双线性映射,称为李括号,满足反对称交换律和 Jacobi 恒等式.
 
-指数映射是连接李群和李代数的一个纽带,其定义为 $\mathrm{exp}: \mathfrak{g}\to \mathcal{G}$,
+指数映射是连接李群和李代数的纽带,其定义为 $\mathrm{exp}: \mathfrak{g}\to \mathcal{G}$,
 式中 $\mathfrak{g}=T\mathcal{G}$ 为 $\mathcal{G}$ 的切空间.这里我们要求有如下关系成立 $\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)=\mathrm{exp}(xy)$.
 矩阵李群是李群的一个特例,其群元素均为矩阵,对应的指数映射即为矩阵的指数函数
 \begin{equation*}
-	\mbox{expm}(A)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^j}{j!},
+	\mbox{expm}(A)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^j}{j!}.
 \end{equation*}}
-由于其形式和指数函数的定义相同,这也是指数映射得名的原因.
+指数映射由于其形式和指数函数的定义相同而得名.
 
-本文中的李群方法是指使用李群作为工具的一系列方法的统称.所涉及的方法有流形上的李群方法和李点对称方法.
+本文中的李群方法是指使用李群作为工具的一系列方法的统称,主要包含流形上的李群方法和李点对称方法.
 
 \subsubsection*{\textbf{流形上的李群方法}}
 
@@ -132,35 +132,35 @@ \subsubsection*{\textbf{流形上的李群方法}}
 \end{equation*}
 式中 $Y_0\in G $, $A:\mathbb{R}^+\times G\to \mathfrak{g}$, 这里的 $Y$ 和 $A(t,Y)$ 都是时间相关的 $N\times N$ 的矩阵.
 
-对于流形上的李群方程,我们知道其解的流随着时间依然保持在流形上.
+对于流形上的李群方程,我们知道初始值在流形上的解的流随着时间依然保持在流形上.
 通常来说,我们的数值计算都是在一个空间上进行的,常用的空间是平直的线性欧氏空间.
-然而,有些方程具有特殊的意义,这些问题的解存在在一个流形上.可是,在全空间上数值计算的
-误差存在会导致计算结果并不在该流形上.为了解决这一类问题,有一类流形上的李群算法被
-设计出来,这些算法能够很好地保证数值解落在流形上. Runge-Kutta Munthe-Kaas(RK-MK) 算法就是这样一类方法.李群
+然而,有些方程具有特殊的意义,这些问题的解在一个流形上演化.在全空间上数值计算的
+误差存在会导致计算结果并不在该流形上.为了解决这一类问题,有一类流形上的李群方法被
+设计出来,这些方法能够很好地保证数值解落在流形上. Runge-Kutta Munthe-Kaas(RK-MK) 算法就是这样一类方法.李群
 方法起初是由 Crouch 和 Grossman \cite{crouch1993numerical} 提出来的,即所谓
 的 Crouch-Grossman 方法,该方法得到了一系列地推广
 \cite{faleinsen2001multi,zaletkin2010numerical,bulychev2001numerical,buono2003numerical,billo1992numerical}.
 后来,在 1996 到 1999 年, Munthe-Kaas  等人提出了该方法的一个改进方法
-\cite{mk1996lie,mk1997numerical,mk1998runge,mk1999high}, 即 MK-RK 方法,以及后面的一些推广 \cite{ostermann2010exponential,owren2000the,bruls2012lie,munthe2013onpost,garcla2011onalg}.
+\cite{mk1996lie,mk1997numerical,mk1998runge,mk1999high}, 即 MK-RK 方法,以及随后做的一些推广 \cite{ostermann2010exponential,owren2000the,bruls2012lie,munthe2013onpost,garcla2011onalg}.
 Crouch-Grossman 方法和 MK-RK 方法都用到了李群的指数映射,联结了李群这个流形和
-李代数之间的关系,并且都利用了 Runge-Kutta 方法这种数值结构,使得阶数可以适当地提高,
+李代数,并且都利用了 Runge-Kutta 方法这种数值结构,使得阶数可以设计得很高.
 而且常规意义下的李群方法均为显式方法,计算较为简便.
 
 \subsubsection*{\textbf{李点对称方法}}
 
-李点对称方法 \cite{olver2000app} 是基于单参数李群,将李群作用在微分方程上的一类方法.起初,该方法根据
-李的三个定理,发现可以把常微分方程从高阶化成较低阶,或者求出一些特解.后来逐渐演变为对偏微分方程的约减,
-从较高阶化为较低阶,或者从多元化为单元等.该方法是一种求解微分方程特解
+李点对称方法 \cite{olver2000app} 是基于单参数李群,并将李群作用在微分方程上的一类方法.起初,该方法根据
+李的三个定理,用来把常微分方程从高阶化成较低阶,或者求出一些特解.后来逐渐演变为对偏微分方程的约化,
+从较高阶化为较低阶,或者从多元化为一元,等等.该方法是一种求解微分方程特解
 或者约化微分方程的方法.其思想是将微分方程放到 Jet 空间中研究,该空间的自变量是原方程的自变量,因
-变量和因变量的各阶导数或偏导数.将李群作用到该空间,我们通过某种设计变换的形式,可以程式化地得到
-单参数李群,据此经过一系列计算,我们得到一些关于方程的性质或者方程解的性质.
+变量和因变量的各阶导数或偏导数.将李群作用到该空间,我们通过某种设计变换的模式,可以程式化地得到
+单参数李群,据此经过一系列计算,我们得到一些关于方程的性质或者方程的解.
 
-本文中,我们基于 \cite{sjoberg2007dou} 进一步研究拓展 QZK 方程.守恒律在研究微分
+本文中,我们基于文献 \cite{sjoberg2007dou} 进一步研究拓展 QZK 方程.守恒律在研究微分
 方程中扮演了重要角色,因为守恒律往往对应着物理中的守恒律,比如质量守恒、能量守恒、
 动量守恒、角动量守恒、电荷守恒或其他运动的约束 \cite{mushtaq2005non,song2013top,song2013dom}.
 守恒律可以用来研究非线性偏微分方程解的存在唯一性和解的稳定性 \cite{wang2014soli}, 此外
 也有关于数值解的研究 \cite{wazwaz2005exact,wazwaz2008the}. 因此,我们对拓展 QZK 方程研究了
-偏微分方程的守恒性质,我们证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是严格自共轭的,并且构造了其守恒律.
+偏微分方程的守恒性质,证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是严格自共轭的,并且构造了其守恒律.
 接着,我们给出了一维子代数最优系统.通过相应的相似不变量的相似变换, (2+1) 维拓展 QZK 方程
 变为线性的偏微分方程.说明了李点对称方法对于拓展 QZK 方程是有效的,该结果对研究该方程
 起到了积极的指导作用.
@@ -168,40 +168,40 @@ \subsubsection*{\textbf{李点对称方法}}
 \subsection{波形松弛方法}
 \esubsection{The WR Method}
 
-波形松弛方法来源于对大规模集成电路系统的研究 \cite{lelarasmee1982waveform}. 电路中,我们知道,
-有许多电路定理,和等效电路定理,可以将大规模电路转化成若干个等效电路.基于这个思想,才有了波形松弛方法
-的雏形,分裂电路系统,迭代求解的过程.我们认为
-波形松弛方法主要分为两个部分,选取分裂函数对系统分裂和对分裂后的系统迭代直至收敛
+波形松弛方法来源于对大规模集成电路系统的研究 \cite{lelarasmee1982waveform}. 在电路分析中,我们知道,
+有许多电路定理和等效电路定理,可以将大规模电路转化成若干个等效电路.基于这个思想,有了波形松弛方法
+的雏形,即分裂电路系统,迭代求解的过程.我们认为
+波形松弛方法主要分为两个部分,选取分裂函数对系统分裂和对分裂后的系统迭代
  \cite{jiang2009wr,burrage1995parallel,jacob1985waveform}. 首先,我们需要使用分裂函数
- 将规模大的系统划分为较小规模的子系统,这些分裂之后的子系统之间可以是解耦的,因此可以
- 并行求解.接下来是迭代,迭代的过程先分别求解子系统,再在系统之间交换信息,进行下一次迭代,
-直到收敛.由此可见,波形松弛方法的显著特性是问题解耦和潜在的可并行性.波形松弛方法给我们
-指出了一种不同的求解微分方程的迭代方式.它不是简简单单的通过求解离散过后的代数方程组的
+ 将规模大的系统划分为较小规模的子系统,这些分裂之后的子系统之间可以是解耦的,因此可能进行
+ 并行求解.最后是迭代,迭代的过程先分别求解子系统,再在系统之间交换信息,进行下一次迭代,
+直到达到中止条件.由此可见,波形松弛方法的显著特性是问题解耦和潜在的可并行性.波形松弛方法给我们
+指出了一种不同的求解微分方程的方式.它不是简简单单的通过求解离散过后的代数方程组的
 松弛方法,而是通过对方程分裂而构造出来的一种函数迭代方法,是``波形''的迭代.波形松弛方法的
-一个优点是能够把耦合的系统,通过分裂,在迭代过程中化为非耦合的系统,即解耦,对于一些问题
-来讲,这为算法的并行计算提供了条件.同时,我们注意到,在我们计算的过程中,波形松弛方法能够
+一个优点是能够把耦合的系统,通过分裂,在迭代过程中化为非耦合的系统,即解耦.对于一些问题
+来讲,这为算法的并行计算提供了条件.此外,我们注意到,在我们计算的过程中,波形松弛方法能够
 将一些只能隐式格式求解的问题,化为显式或者半隐式的格式即可求解的问题.
 
 简而言之,波形松弛方法 \cite{jiang2009wr} 作为一个数学工具,思想起源于大规模集成电路的
-求解方法.当系统的规模大到一定程度的时候,使用现有的计算资源求解该问题就变得困难,我们
-可以通过分裂成更易于求解的小型系统来做.为了达到这个目标,我们选取分裂函数 $F(z,y)$ 使
+求解.当系统的规模大到一定程度的时候,使用现有的计算资源求解该问题就变得困难,我们
+可以把大型系统分裂成更易于求解的小型系统来做.为了达到这个目标,我们选取分裂函数 $F(z,y)$ 使
 得 $F(z,z)=f(z)$, 然后将方程中的 $f(z)$ 替换为 $F(z,y)$. 接下来为每一个子
 系统选择一个合适的初始迭代,我们将 $F(z,y)$ 中的 $y$ 作为已知函数, $z$ 作为未知函数,这样
-每次迭代的计算量就降低了.然而这样的一步计算不会得到系统的真实解,这是由于初值的选取和格式
-的设计引起的.这要求我们要通过迭代来保证收敛到方程的真解.通常我们将其
+每次迭代的计算量就降低了.然而这样的一步计算不会得到系统的真实解,这可以由初值的选取和格式
+的看出来.因此我们要通过迭代来保证收敛到方程的真解.通常我们将其
 记作 $\dot{z}^{k+1}=F(z^{k+1},z^{k})$, 式中 $k=0,1,\cdots$ 是迭代次数.
 
 \section{论文的主要内容和组织结构}
 \esection{Main Results and Organizations of the Dissertation}
 
-本文主要涉及了三部分内容,研究了一类电报方程的辛方法,辛波形松弛方法,流形上改进的李群方法
-和李点对称对偏微分方程的约化,主要研究内容和创新点如下:
+本文主要涉及了三部分内容,研究了一类电报方程的辛方法,提出了辛波形松弛方法,流形上改进的李群方法
+并利用李点对称对偏微分方程进行了约化,主要研究内容和创新点如下:
 
-(一) 在第~2~章,我们提出了一种新的求解带有齐次边界条件的电报方程的方法.该方法有效地利用了一个将非哈密尔顿系统化为哈密尔顿系统的变换,结合了辛方法的特性,得到了较好的效果.本章中,我们讨论了该算法的阶条件,~CFL 条件,长时间性质和局限性.在空间离散上我们取了二阶的离散格式,得到了 $O(\Delta x^2+ \Delta
+(一) 我们提出了一种新的求解带有齐次边界条件的电报方程的方法.该方法巧妙地利用了一个将非哈密尔顿系统化为哈密尔顿系统的变换,结合了辛方法的特性,得到了较好的效果.本章中,我们讨论了该算法的阶条件,~CFL 条件,长时间性质和局限性.在空间离散上我们取了二阶的离散格式,得到了 $O(\Delta x^2+ \Delta
 t^k)$ 的误差界. 该方法的一个优点是利用了辛方法长时间求解的好的性质.另外, 我们的解可以看作一个很优美的哈密尔顿系统乘以一个函数的结果.我们方法的基本思想是先变换,再求解,再逆变换,和傅立叶变换的思想比较类似.数值结果展示了阶条件,算法的有效性和长时间性质.该方法不局限于使用文中提及的辛格式,其他合适的辛格式也可以使用进来.非齐次的问题,需要增加两个分量来求解,该部分在文中注解部分有所提及.
 
-(二) 在第~3~章, 我们将复合变分准则应用到了 (2+1) 维拓展 QZK 方程.应用这些李点对称,我们证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是自共轭的,并且构造了其守恒律.接着,我们给出了一维子代数最优系统.通过相应的相似不变量的相似变换, (2+1) 维拓展 QZK 方程约化为线性的偏微分方程.
+(二) 我们将复合变分准则应用到了 (2+1) 维拓展 QZK 方程.应用这些李点对称,我们证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是严格自共轭的,并且构造了其守恒律.接着,我们给出了一维子代数最优系统.最后,通过相应的相似不变量的相似变换,将 (2+1) 维拓展 QZK 方程约化为线性的偏微分方程.
 
-(三) 在第~4~章,我们提出了求解哈密尔顿系统的辛波形松弛方法.该方法指明了针对该系统应该如何选择分裂函数的问题.我们使用窗口加速技术来加速该方法.我们给出了系统哈密尔顿量在迭代下收敛到守恒的量的性质,并在数值结果中验证了这一点.在此基础上,我们对李群方法做出了详细的介绍,分析了其优点和不足,并对隐式的 RK-MK 方法提出了一种改进方法,即用波形松弛方法进行修正.该方法能够缓解隐式 RK-MK 方法的复杂性计算问题,把隐式的计算化为较为简单的显式或者半隐式问题,同时利用窗口计算进行加速.我们还给出了算法的基本流程,通过数值结果说明了该方法的有效性.
+(三) 我们提出了求解哈密尔顿系统的辛波形松弛方法.该方法给出了针对哈密尔顿系统应该如何选择分裂函数的一个可行性建议.我们使用窗口加速技术来加速该方法.我们给出了系统哈密尔顿量在迭代下收敛到守恒的量的性质,并在数值结果中验证了这一点.在此基础上,我们对李群方法做出了讨论,分析了其优点和不足,并对隐式的 RK-MK 方法提出了一种改进方法,用波形松弛方法进行修正.该方法能够缓解隐式 RK-MK 方法的复杂性计算问题,把隐式的计算化为较为简单的显式或者半隐式问题,同时利用窗口计算进行加速.我们还给出了算法的基本流程,通过数值结果说明了该方法的有效性.
 
 在本文的最后,我们总结概括了本文的创新点,并对进一步的研究工作进行了展望.
diff --git a/body/02_telegraph.tex b/body/02_telegraph.tex
index 896c097..1227e31 100644
--- a/body/02_telegraph.tex
+++ b/body/02_telegraph.tex
@@ -1,16 +1,16 @@
 \chapter{一类电报方程的辛方法研究}
 \echapter{Study on Symplectic Method for Telegraph Equations}
 
-本章介绍一类含有齐次初边值条件电报方程的辛方法,该方法的思想是利用了一个基本的变换,把不具有守恒性的电报方程,变为 Klein-Gordon 方程进行求解.利用变换后的守恒结构,结合辛方法进行求解之.
+本章介绍一类含有齐次初边值条件电报方程的辛方法,该方法的思想是利用一个特殊的变换,把不具有守恒性的电报方程,变为具有守恒性质的 Klein-Gordon 方程进行求解.对于变换后的守恒结构,我们结合辛方法进行求解.
 
-传输线主要用来描述传输无线电频率的交变电流,反映的是当电流频率高到一定程度时的波的性质.传输线广泛应用在信号传输,产生脉冲和信号过滤等领域.常见的传输线主要有平行线、同轴电缆、
-带状线、微带线、波导管、介质波导和光纤,等等.电报方程,也称为传输线方程或电报员方程,来源于Maxwell方程组,是描述传输线里电流电压属性的一类方程.更具体地讲,电报方程来源于这样的问题,导体是由无限个二端口元件连接而成,每一个元件都是很小的传输线元件.一般的传输线方程可以由图~\ref{fig:tele1} 中的等效模型,根据基尔霍夫电压和电流定律导出~\cite{ludwig2000rf}.
+传输线主要用来传输无线电频率的交变电流,反映了当电流频率高到一定程度时的波的性质.传输线广泛应用在信号传输,产生脉冲和信号过滤等领域.常见的传输线主要有平行线、同轴电缆、
+带状线、微带线、波导管、介质波导和光纤,等等.电报方程,也称为传输线方程或电报员方程,来源于Maxwell方程组,是描述传输线里电流电压属性的一类方程.更具体地讲,电报方程来源于这样的问题,导体由无限个二端口元件连接而成,每一个元件都是很小的传输线元件.一般的传输线方程可以由图~\ref{fig:tele1} 中的等效模型,其关系可根据基尔霍夫电压和电流定律导出~\cite{ludwig2000rf}.
 
-现有的关于求解电报方程的方法通常分为两大类,第一类是求精确解,第二类是求数值解.精确解只对部分方程有效,其他部分还需要用数值模拟来解决.求数值解的方法,从思想上可以分为两种,第一种是用解析的方法,将解的波形迭代起来求解,第二种则是离散方程之后的数值计算.解析方法通过迭代波形,使得结果逐渐逼近真解.常见的解析方法有 Exp-函数方法~\cite{naher2011exp}, Adomian 分解方法~(ADM)~\cite{adomian1988areview,sheikholeslami2012analytical}, 变分迭代方法~(VIM)~\cite{wu2013variational} 和同伦摄动方法~(HPM)~\cite{sheikholeslami2012homotopy}. 电报方程的离散方法常见的有微分二次方法~(DQM)~\cite{jiwari2012numerical}, 交替迭代隐式方法~(ADI) \cite{cui2013convergence}, 和 WENO 方法 \cite{borges2008improved,shen2014improvement}.
+现有的关于求解电报方程的方法通常分为两大类,第一类是求精确解,第二类是求数值解.精确解只对一小部分方程有效,其他问题还需要用数值模拟来解决.求数值解的方法,从思想上可以分为两种,第一种是用解析的方法,将解的波形迭代起来求解,第二种则是离散方程之后的数值计算,即离散求解.解析方法通过迭代波形,使得结果逐渐逼近真解.常见的解析方法有 Exp-函数方法~\cite{naher2011exp}, Adomian 分解方法~(ADM)~\cite{adomian1988areview,sheikholeslami2012analytical}, 变分迭代方法~(VIM)~\cite{wu2013variational} 和同伦摄动方法~(HPM)~\cite{sheikholeslami2012homotopy}. 电报方程的离散方法常见的有微分二次方法~(DQM)~\cite{jiwari2012numerical}, 交替迭代隐式方法~(ADI) \cite{cui2013convergence}, 和 WENO 方法 \cite{borges2008improved,shen2014improvement}.
 
-这里简要介绍各种解析方法的思想. Exp-函数方法是利用行波变换将偏微分方程转换为常微分方程,然后再将常微分方程的解用指数函数展成分式形式,其中有一些待定常数,最后求解待定常数. Adomian 分解方法是由 George Adomian 提出,该方法将算子的线性部分和非线性部分分裂开来,然后再设计迭代格式,得到一种逼近真解的解析方法.变分迭代方法的思想是这样的一种迭代方法,主要有三个部分,构造修正泛函,构造 Lagrange 乘子,确定初始迭代,其中第二步的是最重要的和最困难的.同伦摄动方法和 Adomian 分解方法开始的步骤类似,将算子的线性部分和非线性部分分裂开来,然后再利用摄动方法,构造一个同伦,摄动的极限就是方程的真解.
+这里简要介绍各种解析方法的思想. Exp-函数方法是利用行波变换将偏微分方程转换为常微分方程,然后再将常微分方程的解用指数函数展成分式形式,过程中产生了一些待定常数,最后求解待定常数. Adomian 分解方法由 George Adomian 提出,该方法将算子的线性部分和非线性部分分裂开来,再设计迭代格式,是一种逼近真解的解析方法.变分迭代方法是一种迭代方法,主要有三个步骤,构造修正泛函,构造 Lagrange 乘子,确定初始迭代,其中第二步的构造 Lagrange 乘子是最重要的也是最困难的.同伦摄动方法和 Adomian 分解方法开始的步骤类似,将算子的线性部分和非线性部分分裂开来,然后再利用摄动方法,构造一个同伦,摄动的极限就是方程的真解.
 
-常用的离散方法的基本思想如下.微分二次方法是通过对方程的每一项,包括函数值,及其各阶偏导数值,对于一组特殊的基进行展开,最后确定展开的系数,其衍生的方法有多项式微分二次方法等等.交替迭代隐式方法作为一种隐式差分数值格式,在高维问题的计算中有着较为好的效果,主要擅长计算热传导和扩散类方程.其思想是将一个有限差分格式沿着不同的空间方向分裂成两步,再进行计算,其优点是无条件稳定且时间空间二阶,也有更高阶的格式可以构造. WENO 方法是基于 ENO 方法提出来的,擅长于求解双曲型问题,比如交通流问题,波动类方程等等.该方法是一种加权求值方法,通过特殊的构造权值,对 ENO 方法进行了改进,对于分片光滑问题有着较好的效果.
+常用的离散方法的基本思想如下.微分二次方法是把方程的每一项,包括函数值,及其各阶偏导数值,对于一组特殊的基进行展开,最后确定展开的系数,其衍生的方法有多项式微分二次方法等等.交替迭代隐式方法作为一种隐式差分数值格式,在高维问题的计算中有着较为好的效果,主要擅长计算热传导和扩散类方程.其思想是将一个有限差分格式沿着不同的空间方向分裂成两步,再进行计算.其优点是无条件稳定且时间空间二阶,也有更高阶的格式可以构造. WENO 方法是基于 ENO 方法提出来的,擅长于求解双曲型问题,比如交通流问题,波动类方程,等等.该方法是一种加权求值方法,通过特殊的构造权值,对 ENO 方法进行了改进,该方法对于分片光滑问题有着较好的效果.
 
 本章所研究的是这样一类电报方程
 \begin{equation}\label{eq:tele}
@@ -26,7 +26,7 @@ \chapter{一类电报方程的辛方法研究}
 \end{aligned}
 \right.
 \end{equation}
-式中 $k > 0$, $a>0$ 和 $b < 0$ 是常数. $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$ 是光滑函数, 满足相容性条件 $g_1(0)=0$. $w(x,t) \in \mathbb{R}$ 为所求函数. 此方程对应于如下的一类传输线方程. 该问题的等效电路图如图~\ref{fig:tele1}. 图中,要求 $a^2 = \frac{1}{L_1C_1}, k= (\frac{R_2^{-1}}{C_1}+\frac{R_1}{L_1}), b =-\frac{R_1R_2^{-1}}{L_1C_1}$.
+式中 $k > 0$, $a>0$ 和 $b < 0$ 是常数. $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$ 是光滑函数, 满足相容性条件 $g_1(0)=0$. $w(x,t) \in \mathbb{R}$ 为所求函数. 此方程对应于如下的一类传输线方程,方程的等效电路图如图~\ref{fig:tele1}. 图中,要求 $a^2 = \frac{1}{L_1C_1}, k= (\frac{R_2^{-1}}{C_1}+\frac{R_1}{L_1}), b =-\frac{R_1R_2^{-1}}{L_1C_1}$.
 \begin{figure}[h]
     \centering
     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{02/Fig1.pdf}
@@ -34,13 +34,13 @@ \chapter{一类电报方程的辛方法研究}
     \label{fig:tele1}
 \end{figure}
 
-在本章中,我们针对具有齐次边界条件的电报方程 \eqref{eq:tele} 进行求解.该求解方法适用于一维和高维问题.本章的基本框架如下.首先在中 \ref{sec:02symplectic} 介绍辛方法.接下来,在 \ref{sec:02telegraph} 中逐步展开介绍我们的方法及其相关理论.数值结果将在 \ref{sec:02numerical} 中给出.最后一部分 \ref{sec:02conclusion} 是小结.
+在本章中,我们针对具有齐次边界条件的电报方程 \eqref{eq:tele} 进行求解.该求解方法适用于一维和高维问题.本章的基本框架如下.首先在 \ref{sec:02symplectic} 中介绍辛方法.接下来,在 \ref{sec:02telegraph} 中逐步展开介绍我们的方法及其相关理论,数值结果将在 \ref{sec:02numerical} 中给出.最后一部分 \ref{sec:02conclusion} 是小结.
 
 \section{辛的基本概念}\label{sec:02symplectic}
 \esection{Introduction to the Symplectic Method}
-辛方法 \cite{feng2010symplectic} 是求解较长时间区间的哈密尔顿系统的行之有效的方法.用辛方法求解哈密尔顿系统给予人们新的启迪,指引着人们去寻找好的优美的方法.辛方法起源于 de Vogelaere (1956), Ruth (1983)和 冯康 (1985) 的工作 \cite{hairer2006geometric}, 其基本思想是避开盲目对精度的要求,巧妙地利用哈密尔顿系统的辛结构,将保持该结构作为目标,构造数值格式.理论和数值算例都验证了该方法的优越性,系统的数值能量能够保持在系统的真实值附近波动.数十年来,辛方法迅速发展起来,方法得到了不断地发扬光大 \cite{calvo1994numerical,leimkuhler2004simulating,hong2006multi,yang2009extended,monovasilis2013exponentially,xin2016birkhoffian,michalas2016numerical,liao2016multi}. 该方法数值结果证实了辛数值积分格式比非辛格式的优越性.因此辛方法在处理多体问题和其他哈密尔顿系统问题上,有着较好的应用.
+辛方法 \cite{feng2010symplectic} 是求解较长时间区间的哈密尔顿系统的行之有效的方法.用辛方法求解哈密尔顿系统的做法给予人们新的启迪,指引着人们去寻找好的优美的方法.辛方法起源于 de Vogelaere (1956), Ruth (1983)和 冯康 (1985) 的工作 \cite{hairer2006geometric}, 其基本思想是避开盲目对精度的苛求,巧妙地利用哈密尔顿系统的辛结构,改为保持该结构作为目标,构造数值格式.理论和数值算例都验证了该方法的优越性,系统的数值能量能够保持在系统的真实值附近波动.数十年来,辛方法迅速发展起来,并且得到了不断地发扬光大 \cite{calvo1994numerical,leimkuhler2004simulating,hong2006multi,yang2009extended,monovasilis2013exponentially,xin2016birkhoffian,michalas2016numerical,liao2016multi}. 该方法数值算例证实了辛数值积分格式比非辛格式的优越性.因此,在处理多体问题和其他哈密尔顿系统问题上,有着较好的应用.
 
-在数学上,哈密尔顿系统是由数学家 Hamilton 构造出来,用来描述物理系统的发展型方程.该表示的优点是能够在无法求得该系统的解析解的情况下,阐明一些动力系统的性态.在工程应用中, 包括动力学、分子动力学、流体力学、量子力学、图像处理、天体力学、核工程等领域中的问题,都可以表示成如下的哈密尔顿系统的形式 \cite{arieh2009afirst}
+哈密尔顿系统是由数学家 Hamilton 构造出来,用来描述物理系统的发展型方程.该表示的优点是能够在无法求得该系统的解析解的情况下,阐明一些动力系统的性态.在工程应用中, 包括动力学、分子动力学、流体力学、量子力学、图像处理、天体力学、核工程等领域在内的问题,都可以表示成如下的哈密尔顿系统的形式 \cite{arieh2009afirst}
 \begin{equation}\label{eq:Hamiltonian}
 \left\lbrace
 \begin{aligned}
@@ -53,12 +53,12 @@ \section{辛的基本概念}\label{sec:02symplectic}
 \begin{equation*}
 \omega = \sum_{i=1}^d d q_i \wedge d p_i.
 \end{equation*}
-保持哈密尔顿系统辛结构的数值方法称之为辛方法.后面会给出更精确的定义.常用的辛方法有隐式中点法,交错显式格式,基于 Pad\'{e} 逼近的方法, St\"{o}rmer-Verlet 格式,辛 Runge-Kutta 方法,等等.
+保持哈密尔顿系统辛结构的数值方法称之为辛方法,在后面部分会给出准确的定义.常用的辛方法有隐式中点法,交错显式格式,基于 Pad\'{e} 逼近的方法, St\"{o}rmer-Verlet 格式,辛 Runge-Kutta 方法,等等.
 
-在本小节,我们列出了几种辛格式.哈密尔顿系统具有一个守恒的哈密尔顿量 $H(q,p)$, 其中 $q$ 表示位移 $p$ 表示动量.
+在本小节,我们列出了几种具有代表性的辛格式.哈密尔顿系统具有一个守恒的哈密尔顿量 $H(q,p)$, 其中 $q$ 表示位移 $p$ 表示动量.
 
 
-令 $\Phi_h : \mathbb{R}^{2d} \to \mathbb{R}^{2d}$ 表示时间步进的数值算法进行一步的函数, 其中 $d$ 为 $p$ 和 $q$ 的维数. $z_{n+1}=\Phi_h(z_n)$ 其中 $z_n$ 是在第 $n$ 步时间点上数值解.辛方法则是具有以下性质的一类方法.
+令 $\Phi_h : \mathbb{R}^{2d} \to \mathbb{R}^{2d}$ 表示时间步进的数值算法进行一步计算的函数, 其中 $d$ 为 $p$ 和 $q$ 的维数. $z_{n+1}=\Phi_h(z_n)$ 其中 $z_n$ 是在第 $n$ 步时间点上数值解.辛方法则是具有以下性质的一类方法.
 
 \begin{definition}[辛方法~\cite{hairer2006geometric}]
 \emph{一个单步的数值方法 $z_{n+1}=\Phi_h(z_n)$ 称为辛方法,如果该方法保持二形式
@@ -123,7 +123,7 @@ \section{辛的基本概念}\label{sec:02symplectic}
 
 \noindent \textbf{辛 Runge-Kutta 方法}
 
-对于 Runge-Kutta 方法,我们使用了一个将 Runge-Kutta 方法和波形松弛方法结合的策略 \cite{bellen1993use,bellen1994contractivity}. 可以知道, $\nu$ 步的 Runge-Kutta 方法可以写成
+对于 Runge-Kutta 方法,我们知道, $\nu$ 步的 Runge-Kutta 方法可以写成
 \begin{equation*}
   \left\lbrace
     \begin{aligned}
@@ -146,7 +146,7 @@ \section{辛的基本概念}\label{sec:02symplectic}
   \end{tabular}
 \end{center}
 
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}{辛 Runge-Kutta 方法\cite{sanz1988runge}}
 \emph{如果该 Runge-Kutta 的 Butcher 表满足
 \begin{equation*}
   b_ia_{ij}+b_ja_{ji}=b_ib_j,\quad \textrm{对所有}\,\, i,j=1,2,\cdots,\nu,
@@ -378,24 +378,24 @@ \section{辛的基本概念}\label{sec:02symplectic}
 \end{bmatrix}.
 \end{equation*}
 
-辛方法是一大类方法的总称.其延伸及其推广包括辛 Runge-Kutta 法 \cite{feng2010symplectic,burrage2014structure}, 辛 RKN 方法 \cite{monovasilis2013exponentially}, 辛 ERKN method \cite{yang2009extended} 等等.这些方法中一部分为隐式方法,另外,可以知道,辛 Runge-Kutta 方法均为隐式方法.
+辛方法是一大类方法的总称,其延伸及其推广包括辛 Runge-Kutta 法 \cite{feng2010symplectic,burrage2014structure}, 辛 RKN 方法 \cite{monovasilis2013exponentially}, 辛 ERKN 方法 \cite{yang2009extended}, 等等.这些方法中一部分为隐式方法,另外,辛 Runge-Kutta 方法均为隐式方法 \cite{sanz1988runge}.
 
 \section{电报方程的辛方法}\label{sec:02telegraph}
 \esection{Symplectic Methods for Telegraph Equations}
 
-电报方程的系统能量随时间而指数衰减.经过研究,找到了这样一个变换,能够使电报方程 \eqref{eq:tele} 变为一个守恒的系统.而这种守恒性刚好能让方程利用辛方法进行求解.这样做带来的好处是能够有效地求解更长的时间区间,同时能够获得更容易实现的数值格式.我们将在第 \ref{sec:02transform} 节中详细介绍这种变换.
+电报方程的系统能量随时间而指数衰减.经过研究,发现了这样一个变换,能够使电报方程 \eqref{eq:tele} 变为一个守恒的系统,而这种守恒性刚好能让方程利用辛方法进行求解.这样做带来的好处是能够有效地求解更长的时间区间,获得更容易实现的数值格式.我们将在 \ref{sec:02transform} 节中详细介绍这种变换.
 
-方程 \eqref{eq:tele} 的差分格式通常可以从两个角度来入手.一种是全离散,也就是说,对空间和时间进行等间距的网格的划分 $x_0=0<x_1<\cdots<x_N=1,~t_0=0<t_1<\cdots<t_n=T$. 之后,就能够得到全离散的结果
+方程 \eqref{eq:tele} 的差分格式通常可以从两个角度来入手.一种是全离散,也就是说,对空间和时间进行等间距的网格的划分 $x_0=0<x_1<\cdots<x_N=1,~t_0=0<t_1<\cdots<t_n=T$. 之后,能够得到全离散的结果
 \begin{equation}\label{eq:fulld}
 \frac{w_{i}^{j+1}-2w_{i}^{j}+w_{i}^{j-1}}{\Delta t^2}+k\frac{w_{i}^{j+1}-w_{i}^{j}}{\Delta t}=a^2
 \frac{w_{i+1}^{j+1}-2w_{i}^{j+1}+w_{i-1}^{j+1}}{\Delta x^2} + b w_{i}^{j+1},
 \end{equation}
-式中, $1 \le i \le N-1$ 和 $1 \le j \le n-1$. 式 $w_{i}^{j}$ 分别是空间和时间的格点,即$w(x_i,t_j)=w_{i}^{j}$.
+式中, $1 \le i \le N-1$ 和 $1 \le j \le n-1$. 式 $w_{i}^{j}$ 分别是在空间和时间格点上的数值,即$w(x_i,t_j)=w_{i}^{j}$.
 另外一种则是半离散.如果取等间距的空间网格划分 $x_0=0<x_1<\cdots<x_N=1$, 将得到一个常微分方程组 (ODEs),
 \begin{equation*}
 \frac{d^2 W_i}{d t^2}+k\frac{d W_i}{d t}=a^2 \frac{W_{i+1}-2W_{i}+W_{i-1}}{\Delta x^2} + b W_i,
 \end{equation*}
-式中, $1 \le i \le N-1$, 和 $W_i = W(x_i,t)$. 这里,采用了时间二阶离散.
+式中, $1 \le i \le N-1$, 和 $W_i = W(x_i,t)$. 这里,我们采用了时间二阶离散.
 
 令 $W=(W_1,W_2,\cdots,W_{N-1})^T$, 则有
 \begin{equation}\label{eq:fd}
@@ -412,7 +412,7 @@ \section{电报方程的辛方法}\label{sec:02telegraph}
 \end{pmatrix}.
 \end{equation}
 
-为了获得稳定的数值格式,在用差分方法求解方程 \eqref{eq:fd} 的时候,在时间离散上通常采用隐式格式.注意到如果方程 \eqref{eq:tele} 的边界条件适当,则可以将方程 \eqref{eq:fd} 写成哈密尔顿系统的形式.在此条件下,首先对方程 \eqref{eq:tele} 做一个变换,让这个变换把方程 \eqref{eq:fd} 中的阻尼项 $k\frac{d W}{d t}$ 去掉.该变换能把一个电报方程变换成 Klein-Gordon 方程.这样做的好处是能够得到更加容易求解的哈密尔顿系统.
+为了获得稳定的数值格式,在用差分方法求解方程 \eqref{eq:fd} 的时候,在时间离散上通常采用隐式格式.注意到如果方程 \eqref{eq:tele} 的边界条件适当,则可以将方程 \eqref{eq:fd} 写成哈密尔顿系统的形式.在此条件下,对方程 \eqref{eq:tele} 做一个变换,利用这个变换把方程 \eqref{eq:fd} 中的阻尼项 $k\frac{d W}{d t}$ 去掉.该变换能把一个电报方程变换成 Klein-Gordon 方程,因此能够得到更加容易求解的哈密尔顿系统.
 
 接下来,针对一维和高维两种情况来介绍我们的算法 \ref{alg:tele}. 算法基本分三个步骤,即做变换,离散求解哈密尔顿系统,做逆变换得到数值解.
 
@@ -471,7 +471,7 @@ \subsection{变换的选取}\label{sec:02transform}
 
 证毕.
 
-接下来,看看初值和边值条件在该变换下的形式. 通过一个简单的计算,能得到相应的新的初值和边值条件,
+接下来,需要知道初值和边值条件在该变换下的形式.通过一个简单的计算,即可得到相应的新的初值和边值条件,
 \begin{equation}\label{eq:kgfull}
 \left\lbrace
 \begin{aligned}
@@ -506,7 +506,7 @@ \subsection{哈密尔顿系统的辛方法}
 
 \subsubsection{Klein-Gordon 方程的离散}
 \esubsubsection{Discretization of Klein-Gordon Equations}
-首先选取等间距的空间格点来进行半离散.取 $0=x_0<x_1<\cdots<x_{N-1}<x_N=1$ 式中 $x_i=i\Delta x,~i = 1,2,\cdots,N$.
+选取等间距的空间格点来进行半离散.取 $0=x_0<x_1<\cdots<x_{N-1}<x_N=1$ 式中 $x_i=i\Delta x,~i = 1,2,\cdots,N$.
 
 令 $u_i(t)=u(x_i,t)$, $U=(u_1,u_2,\cdots,u_{N-1})^T$, 并取 $\frac{\partial u_n}{\partial
 x}=\frac{u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}}{\Delta x^2}$, 半离散的结果对应着如下的二阶系统
@@ -544,7 +544,7 @@ \subsubsection{Klein-Gordon 方程的离散}
 \right.
 \end{equation*}
 式中 $M=a^2 S-(b+\frac{1}{4}k^2)I$,
-$U(0)=(g_1(x_1),g_1(x_2),\cdots,g_1(x_{N-1}))^T$, 和
+$U(0)=(g_1(x_1),g_1(x_2),\cdots,g_1(x_{N-1}))^T$,
 $U_t(0)=(g_2(x_1)+\frac{1}{2}kg_1(x_1),g_2(x_2)+\frac{1}{2}kg_1(x_2),\cdots,g_2(x_{N-1})+\frac{1}{2}kg_1(x_{N-1}))^T$.
 
 可以看到, 方程 \eqref{eq:ode} 符合该形式的哈密尔顿系统 \eqref{eq:Hamiltonian}, 式中
@@ -572,9 +572,9 @@ \subsubsection{Klein-Gordon 方程的离散}
 
 \subsubsection{CFL 条件和阶条件分析}
 \esubsubsection{Analysis of the CFL Condition and Order Conditions}
-在数学上, Courant-Friedrichs-Lewy~(CFL) 条件是保证数值格式收敛的必要条件,尤其是对于双曲偏微分方程的有限差分格式. CFL 条件的研究源自于对时间相关方程的时间步进数值格式的研究.因此,时间步长必须取得足够小,才能保证计算过程中结果误差不会大得离谱.该条件由 Richard Courant, Kurt Friedrichs 和 Hans Lewy 在1928年的一篇文章中首次提出\cite{courant1967onthe}.在本小节,将给出 CFL 条件的选取方法,并且得出算法的阶.
+在数学上, Courant-Friedrichs-Lewy~(CFL) 条件是一种保证数值格式收敛的必要条件,尤其是适用于双曲偏微分方程的有限差分格式. CFL 条件的提出源自于对时间相关方程的时间步进数值格式的研究.该条件表明,时间步长必须取得足够小,才能保证计算过程中结果误差不会大得离谱.该条件由 Richard Courant, Kurt Friedrichs 和 Hans Lewy 在1928年的一篇文章中首次提出\cite{courant1967onthe}.在本小节,将给出 CFL 条件的选取方法,并且得出算法的阶.
 
-因为 Klein-Gordon 方程和波动方程有相似的类型,取波动方程的 CFL 条件作为 Klein-Gordon 方程的 CFL 条件
+对于本算法,因为 Klein-Gordon 方程和波动方程有相似的类型,所以取波动方程的 CFL 条件作为 Klein-Gordon 方程的 CFL 条件
 \begin{equation*}
 a^2\frac{\Delta t^2}{\Delta x^2}\le 1.
 \end{equation*}
@@ -600,7 +600,7 @@ \subsubsection{CFL 条件和阶条件分析}
 \end{equation*}
 式中 $M$ 在公式 \eqref{eq:ode}中定义.
 
-在时间方向,误差阶数取决于辛方法的数值阶数. 一个 $k$ 阶的时间步进格式能够获得如下的阶
+在时间方向,误差阶数取决于辛方法的数值阶数.一个 $k$ 阶的时间步进格式能够获得如下的阶
 \begin{equation*}
 \ddot{u}=Mu+O(\Delta t^k).
 \end{equation*}
@@ -611,7 +611,7 @@ \subsubsection{CFL 条件和阶条件分析}
 
 证毕.
 
-类似地,可以得到 $n$ 维电报方程 \eqref{eq:kg2d} 的阶条件, 如果取等间距的空间网格划分
+类似地,可以得到 $n$ 维电报方程 \eqref{eq:kg2d} 的阶条件,取等间距的空间网格划分
 $0=x_{i,0}<x_{i,1}<\cdots<x_{i,N-1}<x_{i,N}=1,~i=1,2,\cdots,n$ 其中
 $x_{i,j}=j\Delta x,~j = 1,2,\cdots,N$, 和二阶的空间离散
 \begin{equation*}
@@ -622,29 +622,29 @@ \subsubsection{CFL 条件和阶条件分析}
 \emph{算法 \ref{alg:tele} 在空间上是 $2$ 阶,时间上是 $k$ 阶,其中 $k$ 是辛格式的阶数.}
 \end{theorem}
 
-{\textbf{证明}} 证明的方法和定理 \ref{thm:tele}类似.
+{\textbf{证明}} 证明的方法和定理 \ref{thm:tele} 的证明方法类似.
 
 证毕.
 
-此处,可以知道,对于辛方法,如果时间步长取得稍微大一点,仍然可以保持辛结构.然而,这种自由是有约束的,受 CFL 条件约束.通常地,虽然时间步长理论上可以取得稍微大一些,但是还要考虑算法本身的计算的收敛性,尤其是显式格式.为了保证整体数值结果的阶,还要考虑空间阶数.因此可以看到, CFL 条件和阶条件是两个影响数值解的条件.
+此处,可以知道,对于辛方法,如果时间步长取得稍微大一点,仍然可以保持辛结构.然而,这种自由是有约束的,即受 CFL 条件约束.通常地,虽然时间步长理论中可以取得稍微大一些,但是还要考虑算法本身的计算的收敛性.为了保证整体数值结果的阶,还要考虑空间阶数.因此可以看到, CFL 条件和阶条件是两个影响数值解的条件.
 
-二阶的空间离散能够得到一个对称矩阵,这样能够得到性质更好的哈密尔顿系统.所以,其他能够离散成对称矩阵的格式都可以应用到此算法里.对于双线性的系统动能,即当广义位移的倒数是广义动量的线性关系时,可以知道,保辛和保能量是等价的,但是,其他情况,没有一种数值算法既保辛又保能量.选取对称的离散的一个原因是,这样的选取能够保证哈密尔顿量即为系统的能量,于是算法既能量守恒又保辛,保持了系统的优美性.然而,在我们的算法里,这种选取并不是必要的.
+二阶的空间离散能够得到一个对称矩阵,这样能够得到性质更好的哈密尔顿系统.所以,我们可以不限定离散格式的选取,其他能够离散成对称矩阵的格式都可以应用到此算法里.对于双线性的系统动能,即当广义位移的导数是广义动量的线性关系时,可以知道,保辛和保能量是等价的,但是,其他情况,没有一种数值算法既保辛又保能量.选取对称的离散的一个原因是,这样的选取能够保证哈密尔顿量即为系统的能量,于是算法既能量守恒又保辛,保持了系统的优美性.然而,在我们的算法里,这种选取并不是必要的.
 
 这样得到的系统可以认为是可分的哈密尔顿系统.也就是说,任何求解可分哈密尔顿系统的方法,均可以用来求解此问题.
 
 \subsection{辛方法的进一步讨论}
 \esubsection{Further Discussions on the Symplectic Method}
-我们的算法的主要思路是将辛方法这种性质优良的方法应用到电报方程上.然而,并不能直接这样做.原因是电报方程的阻尼项决定了系统不具有守恒性质.但是,一个将电报方程变为 Klein-Gordon 方程的变换,才能够得以下手.变换之后的是易于用辛方法求解的问题.鉴于这种变换的容易操作性,并且变换不会带来误差.这样,会得到比较优良的算法.而且,由于辛方法的保结构性质,可以计算相对长一点的时间区间.
+我们的算法的主要思路是将辛方法这种性质优良的方法应用到电报方程上.然而,并不能直接这样做.原因是电报方程的阻尼项决定了系统不具有守恒性质.通过观察发现,一个将电报方程变为 Klein-Gordon 方程的变换能够使之得以下手,变换之后得到的是易于用辛方法求解的问题.鉴于这种变换的容易操作性,并且变换不会带来误差,我们会得到比较优良的算法.而且,由于辛方法的保结构性质,可以计算相对长一点的时间区间.
 
-我们的算法思想是通过变换,变换成一个易于求解的问题,和逆变换,将求得的结果变回原方程的解.可以知道,傅立叶变换是将方程从时间域变换到频率域的算法.我们的算法和傅立叶变换方法有异曲同工之妙,可以看成在求解过程种做了一个从时间域到某个域的变换.只是使用的变换是一个简单的版本,因为变换和逆变换都很容易操作.
+我们的算法框架是通过变换,变换成一个易于求解的问题,和逆变换,将求得的结果变回原方程的解.可以知道,傅立叶变换是将方程从时间域变换到频率域的算法.我们的算法和傅立叶变换方法有异曲同工之妙,可以看成在求解过程种做了一个从时间域到某个域的变换.只是使用的变换是一个简单的版本,因为变换和逆变换都很容易操作.
 
 该算法的提出,一方面在于给出电报方法的一个新的解法,另一方面在于强调先变换,再求解,再逆变换的思想,这也是我们算法的核心和主要贡献.类似的方法有傅立叶变换的时域与频域的变换,李群方法的无穷小变换等等.
 
 电报方程属于双曲型方程,因此,通常需要更高阶的方法才能获得较长时间的解.然而,应用了辛方法,可以适当降低对阶数的要求.同时,我们的算法也可以根据需要,构造时间和空间层面相对高阶数的算法.
 
-此外,可以观察到,如果选取了显式的辛格式,那么求解的过程也是显式的,这对于时间相关的偏微分方程来说是有很高稳定性要求才能用的.同时可以知道,基于生成函数 \cite{feng2010symplectic} 的辛方法就有一类方法可以满足显式格式,这就为我们格式选取提供了便利.
+此外,可以观察到,如果选取了显式的辛格式,那么求解的过程也是显式的,这对于时间相关的偏微分方程来说是有很高稳定性要求才能用的.同时可以知道,基于生成函数 \cite{feng2010symplectic} 的辛方法就有一类方法可以满足显式格式,这为我们格式选取提供了便利.
 
-但是,我们的方法也有一些局限性,其中之一就是对方程的边界条件的制约.只有一部分问题能够使用我们的方法,另外的部分要用到非自治哈密尔顿系统的辛方法.基本思想就是对非自治哈密尔顿系统做个变换,增加两个分量,得到非自治哈密尔顿系统,再进行求解.
+但是,我们的方法也有一些局限性,其中之一来自于对方程的边界条件的制约.只有一部分问题能够使用我们的方法,另外的部分要用到非自治哈密尔顿系统的辛方法.基本思想就是对非自治哈密尔顿系统做个变换,增加两个分量,得到非自治哈密尔顿系统,再进行求解.
 
 考虑如下的非自治系统
 \begin{equation*}
@@ -696,17 +696,17 @@ \subsection{辛方法的进一步讨论}
 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}= e^{\frac{1}{2}Kt} M e^{-\frac{1}{2}Kt}\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +
 e^{\frac{1}{2}Kt}(N+\frac{1}{4}K^2)e^{-\frac{1}{2}Kt} u,
 \end{equation*}
-式中 $K,M,N$ 是矩阵. 所以,需要满足条件 $MK=KM$ 和 $NK=KN$ 才能使用该变换.
+式中 $K,M,N$ 是矩阵. 所以,可以知道需要满足条件 $MK=KM$ 和 $NK=KN$ 才能使用该变换.
 
 \section{数值实验}\label{sec:02numerical}
 \esection{Numerical Experiments}
 
-在本节我们将对几个电报方程的例子分别利用不同辛方法来求解.其中两个例子是一维的方程,另外一个是二维的方程.通过数值结果,可以看到阶条件的结果.由于 $a^2$ 较小的时候,数值结果较为容易求解,因此例子中的 $a^2$ 取的相对不那么小,这样能够更好地展示算法的有效性.在例子结尾将对其给出分析.
+在本节我们对几个电报方程的例子分别利用不同辛方法来求解.其中两个例子是一维的方程,一个是二维的方程.通过数值结果,可以看到阶条件的结果.由于 $a^2$ 较小的时候,数值结果较为容易求解,因而例子中的 $a^2$ 取的相对不那么小,这样能够更好地展示算法的有效性.在例子结尾将对其给出分析.
 
 \subsection{数值算例}
 \esubsection{Examples}
 
-\subsection*{例 1}
+\subsection*{算例 1}
 在此例子中,取方程 \eqref{eq:telegraph} 中的参数为 $k = 8\pi,~a = 2$ 和 $b
 = -3\pi^2$.
 
@@ -740,15 +740,15 @@ \subsection*{例 1}
 \end{aligned}
 \end{equation*}
 
-我们用了辛欧拉方法 (一阶),隐式中点法 (二阶) 和 St\"{o}rmer-Verlet 方法 (二阶).作为对比,采用隐式欧拉法来``直接''求解电报方程 \eqref{eq:telegraph}, 并称之为``直接方法''.直接方法使用的是全离散格式.针对这个问题,隐式中点法在实际计算过程中是显式求解的,见 \cite{feng2010symplectic}. 我们来检验结果的阶和长时间性质.
+我们用了辛欧拉方法 (一阶),隐式中点法 (二阶) 和 St\"{o}rmer-Verlet 方法 (二阶).作为对比,采用隐式欧拉法来``直接''求解电报方程 \eqref{eq:telegraph}, 并记为``直接方法''.直接方法使用的是全离散格式.针对这个问题,隐式中点法在实际计算过程中是显式求解的,见 \cite{feng2010symplectic}. 我们来检验结果的阶和长时间性质.
 
 \textbf{$\Delta x$ 的阶}
 
-为了得到 $\Delta x$ 的阶,固定一个较小的 $\Delta t$, 然后相应地变化 $\Delta x$. 结果在表 \ref{tab:dx1} 中给出. 这里取 $\Delta t=0.001$ 和 $T=2$.
+首先,为了得到 $\Delta x$ 的阶,固定一个较小的 $\Delta t$, 然后相应地变化 $\Delta x$. 结果在表 \ref{tab:dx1} 中给出. 这里取 $\Delta t=0.001$ 和 $T=2$,可以看到 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $\Delta x$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta t=0.001$ 和 $T=2$, 可以看到 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶}
+\caption{表中比较了随 $\Delta x$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta t=0.001$ 和 $T=2$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $\Delta x$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -765,14 +765,14 @@ \subsection*{例 1}
 
 \textbf{$\Delta t$ 的阶}
 
-类似地,固定一个较小的 $\Delta x$, 相应地变化 $\Delta t$. 得到表 \ref{tab:dt1} 的结果. 此处的参数 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 取值时比较困难. 一方面 CFL 条件要求 $\Delta t$ 取得相对于 $\Delta x$ 小一些. 然而,为了验证阶条件, $\Delta x$ 一定要比 $\Delta t$ 小才能看到 $\Delta t$ 的变化.
+其次,固定一个较小的 $\Delta x$, 相应地变化 $\Delta t$, 得到表 \ref{tab:dt1} 的结果. 此处的参数 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 取值时比较困难. 一方面 CFL 条件要求 $\Delta t$ 取得相对于 $\Delta x$ 小一些.另一方面,为了验证阶条件, $\Delta x$ 一定要比 $\Delta t$ 小才能看到 $\Delta t$ 的变化.
 
 然后我们看一下理论结果里的阶 $O(\Delta x^2+ \Delta t^k)$. 如果 $k =
-1$, 我们可以固定很小的 $\Delta x$, 通过变化 $\Delta t$ 来看阶数. 然而,当 $k \ge 2$, 这个阶数不是很容易得到检验. 取 $\Delta x = 0.01$, 结果在表 \ref{tab:dt1} 中给出.
+1$, 我们可以固定很小的 $\Delta x$, 通过变化 $\Delta t$ 来看阶数. 然而,当 $k \ge 2$, 这个阶数不是很容易得到检验. 取 $\Delta x = 0.01$, 结果在表 \ref{tab:dt1} 中给出,可以看到辛欧拉方法为一阶和 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $\Delta t$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta x=0.01$ 和 $T=2$, 可以看到辛欧拉方法为一阶和 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶}
+\caption{表中比较了随 $\Delta t$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta x=0.01$ 和 $T=2$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $\Delta t$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -789,11 +789,11 @@ \subsection*{例 1}
 
 \textbf{长时间性质}
 
-最后, 固定 $\Delta x$ 和 $\Delta t$, 变化时间区间 $T$ 来检验长时间的性质.得到表 \ref{tab:t1} 中的结果. 这里,步长分别取为 $\Delta x = 0.05$ 和 $\Delta t = 0.001$.
+最后, 固定 $\Delta x$ 和 $\Delta t$, 变化时间区间 $T$ 来检验长时间的性质,得到表 \ref{tab:t1} 中的结果. 这里,步长分别取为 $\Delta x = 0.05$ 和 $\Delta t = 0.001$, 可以看到所有方法长时间性质良好.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $T$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta x=0.05$ 和 $\Delta t=0.001$, 可以看到所有方法长时间性质良好}
+\caption{表中比较了随 $T$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta x=0.05$ 和 $\Delta t=0.001$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $T$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -820,9 +820,9 @@ \subsection*{例 1}
 \end{figure}
 
 
-\subsection*{例 2}
+\subsection*{算例 2}
 在此例子中,取方程中的参数为 $a = 100, b
-=-100\pi$ 和 $k =30\pi$. 并进行和例 1 中同样的计算.
+=-100\pi$ 和 $k =30\pi$. 并进行和算例 1 中同样的计算.
 精确解为 $e^{-10\pi t}\sin(\pi t)$. 初值和边值条件分别为
 \begin{equation*}
 \begin{aligned}
@@ -853,17 +853,17 @@ \subsection*{例 2}
 \end{aligned}
 \end{equation*}
 
-结果如下.
+数值结果如下.
 
 \textbf{$\Delta x$ 的阶}
 
-为了检验 $\Delta x$ 的阶, 固定比较小的 $\Delta
+首先,为了检验 $\Delta x$ 的阶, 固定比较小的 $\Delta
 t$, 通过相应地变化 $\Delta x$ 来得到. 取 $\Delta t = 0.0001$, 和 $T
-= 1$. 结果在表 \ref{tab:dx2} 中给出.
+= 1$, 结果在表 \ref{tab:dx2} 中给出,可以看到隐式中点法和 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $\Delta x$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta t=0.0001$ 和 $T=1$, 可以看到隐式中点法和 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶}
+\caption{表中比较了随 $\Delta x$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta t=0.0001$ 和 $T=1$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
 $\Delta x$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -880,11 +880,11 @@ \subsection*{例 2}
 
 \textbf{$\Delta t$ 的阶}
 
-类似地,固定较小地 $\Delta x = 0.01$, 相应地变化 $\Delta t$. 就得到表 \ref{tab:dt2} 的结果.
+其次,固定较小地 $\Delta x = 0.01$, 相应地变化 $\Delta t$, 得到表 \ref{tab:dt2} 的结果,可以看到直接方法为一阶.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $\Delta t$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta x=0.01$ 和 $T=2$, 可以看到直接方法为一阶}
+\caption{表中比较了随 $\Delta t$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta x=0.01$ 和 $T=2$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $\Delta t$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -901,11 +901,11 @@ \subsection*{例 2}
 
 \textbf{长时间性质}
 
-最后固定 $\Delta x = 0.01$ 和 $\Delta t = 0.001$, 改变时间区间 $T$ 来查看长时间性质.得到表 \ref{tab:t2} 中的结果.
+最后,固定 $\Delta x = 0.01$ 和 $\Delta t = 0.001$, 改变时间区间 $T$ 来查看长时间性质,得到表 \ref{tab:t2} 中的结果,可以看到所有方法长时间性质良好.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $T$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta x=0.01$ 和 $\Delta t=0.001$, 可以看到所有方法长时间性质良好}
+\caption{表中比较了随 $T$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta x=0.01$ 和 $\Delta t=0.001$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $T$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -919,7 +919,7 @@ \subsection*{例 2}
   \label{tab:t2}
 \end{table}
 
-\subsection*{例 3}
+\subsection*{算例 3}
 在此例子中,我们求解二维的电报方程,
 \begin{equation*}
 \frac{\partial ^2 w}{\partial t^2}+8\pi \frac{\partial w}{\partial
@@ -930,12 +930,12 @@ \subsection*{例 3}
 
 \textbf{$\Delta x$ 的阶}
 
-固定 $\Delta t$, 相应地变化 $\Delta x$, 并取
-$\Delta t = 0.0001$ 和 $T = 1$. 得到表 \ref{tab:dx3} 中的结果.
+首先,固定 $\Delta t$, 相应地变化 $\Delta x$, 并取
+$\Delta t = 0.0001$ 和 $T = 1$. 得到表 \ref{tab:dx3} 中的结果,可以看到隐式中点法和 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶.
 
 \begin{table}[h!]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $\Delta x$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta t=0.001$ 和 $T=2$, 可以看到隐式中点法和 St\"{o}rmer-Verlet 方法为二阶}
+\caption{表中比较了随 $\Delta x$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta t=0.001$ 和 $T=2$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $\Delta x$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -951,11 +951,11 @@ \subsection*{例 3}
 
 \textbf{$\Delta t$ 的阶}
 
-固定一个较小的 $\Delta x = 0.01$, 相应地变化 $\Delta t$. 就得到了表 \ref{tab:dt3} 的结果.
+其次,固定一个较小的 $\Delta x = 0.01$, 相应地变化 $\Delta t$, 得到了表 \ref{tab:dt3} 的结果,可以看到辛欧拉方法为一阶.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $\Delta t$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta x=0.01$ 和 $T=1$, 可以看到辛欧拉方法为一阶}
+\caption{表中比较了随 $\Delta t$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta x=0.01$ 和 $T=1$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $\Delta t$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -971,11 +971,11 @@ \subsection*{例 3}
 
 \textbf{长时间性质}
 
-最后固定 $\Delta x = 0.1$ 和 $\Delta t = 0.001$, 通过变化求解区间长度 $T$ 来查看长时间性质.得到表 \ref{tab:t3} 的结果.
+最后,固定 $\Delta x = 0.1$ 和 $\Delta t = 0.001$, 通过变化求解区间长度 $T$ 来查看长时间性质,得到表 \ref{tab:t3} 的结果,可以看到所有方法长时间性质良好.
 
 \begin{table}[h]
   \centering
-\caption{表中比较了随 $T$ 的变化,误差的无穷范数变化情况.其中 $\Delta x=0.1$ 和 $\Delta t=0.001$, 可以看到所有方法长时间性质良好}
+\caption{表中比较了随 $T$ 的变化,误差的无穷范数变化情况,其中 $\Delta x=0.1$ 和 $\Delta t=0.001$}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXXX}
  \toprule[1.5pt]
  $T$ &直接方法 & 辛欧拉 & 隐式中点 & St\"{o}rmer-Verlet\\
@@ -1002,5 +1002,5 @@ \subsection{结果分析}
 
 \section{小结}\label{sec:02conclusion}
 \esection{Brief Summary}
-在本章中,提出了一种新的求解带有齐次边界条件的电报方程的方法.该方法有效地利用了一个将非哈密尔顿系统化为哈密尔顿系统的变换,结合了辛方法的特性,得到了较好的效果.讨论了该算法的阶条件,~CFL 条件,长时间性质和局限性.在空间离散上取了二阶的离散格式,得到了 $O(\Delta x^2+ \Delta
-t^k)$ 的误差界. 该方法的一个优点是利用了辛方法长时间求解的好的性质.另外, 我们的解可以看作一个很优美的哈密尔顿系统乘以一个函数的结果.我们方法的基本思想是先变换,再求解,再逆变换,和傅立叶变换的思想比较类似.数值结果展示了阶条件,算法的有效性和长时间性质.该方法不局限于使用文中提及的辛格式,其他合适的辛格式也可以使用进来.非齐次的问题,需要增加两个分量来求解,该部分在文中注解部分有所提及.
+在本章中,提出了一种新的求解带有齐次边界条件的电报方程的方法.该方法有效地利用了一个将非哈密尔顿系统化为哈密尔顿系统的变换,结合了辛方法的特性,得到了较好的效果.我们讨论了该算法的阶条件,~CFL 条件,长时间性质和局限性.在空间离散上取了二阶的离散格式,得到了 $O(\Delta x^2+ \Delta
+t^k)$ 的误差界. 该方法的优势在于利用了辛方法长时间求解的好的性质.另外, 我们的解可以看作一个很优美的哈密尔顿系统乘以一个函数的结果.我们方法的基本思想是先变换,再求解,再逆变换,和傅立叶变换的思想比较类似.数值结果展示了阶条件,算法的有效性和长时间性质.该方法不局限于使用文中提及的辛格式,其他合适的辛格式也可以使用进来.非齐次的问题,需要增加两个分量来求解,该部分在文中注解部分有所提及.
diff --git a/body/03_qzkLiegroup.tex b/body/03_qzkLiegroup.tex
index 62aa0c3..69323a0 100644
--- a/body/03_qzkLiegroup.tex
+++ b/body/03_qzkLiegroup.tex
@@ -3,13 +3,13 @@ \chapter{基于李群方法的拓展 QZK 方程研究}
 
 %\section{拓展量子 Zakharov-Kuznetsov 方程简介}
 %\esection{Introduction to extended quantum Zakharov-Kuznetsov equation}
-2011年, Zakharov 和 Kuznetsov \cite{abdou2011quant} 构造了描述由冷离子和热电子构成的磁等离子体的非线性离子波 (IAWs) 的方程.量子等离子体及其它们的性质获得了越来越多的从理论物理和实验物理角度的注意,主要是因为它们在德布罗伊波长超过德拜波长接近费米波长时的带电载体特性 \cite{abdou2011quant,ahmed2013kinks,bhrawy2013soli,biswas20091soli,biswas2013soli,bluman2010appli,elganaini2011tra,godleswski2004the,guner2015bright,ibragimov2006inte}. 在均匀磁场里的弱非线性离子波的性质由 quantum Zakharov-Kuznetsov (QZK) 方程来刻画.许多研究者在不同的量子等离子体模型中研究了磁场的影响 \cite{ibragimov2007anew,iwasaki1990cylin,johnpilai2011sym,khan2008linear,krishnan2010sol,leveque1992num,linares2009well,linares2011local,morris2013soli,moslem2007soli,mothibi2015con,moussa2001simi,munro2014con,munro2000sta,mushtaq2005non,olver2000app,peng2008exact,sabry2009non}.
+2011年, Zakharov 和 Kuznetsov \cite{abdou2011quant} 构造了描述由冷离子和热电子构成的磁等离子体的非线性离子波 (IAWs) 的方程.量子等离子体及其它们的性质从此获得了越来越多的从理论物理和实验物理角度的注意,这是因为它们在德布罗伊波长超过德拜波长接近费米波长时的带电载体特性 \cite{abdou2011quant,ahmed2013kinks,bhrawy2013soli,biswas20091soli,biswas2013soli,bluman2010appli,elganaini2011tra,godleswski2004the,guner2015bright,ibragimov2006inte}. 在均匀磁场里的弱非线性离子波的性质由 quantum Zakharov-Kuznetsov (QZK) 方程来刻画.许多研究者在不同的量子等离子体模型中研究了磁场的影响 \cite{ibragimov2007anew,iwasaki1990cylin,johnpilai2011sym,khan2008linear,krishnan2010sol,leveque1992num,linares2009well,linares2011local,morris2013soli,moslem2007soli,mothibi2015con,moussa2001simi,munro2014con,munro2000sta,mushtaq2005non,olver2000app,peng2008exact,sabry2009non}.
 
-(2+1) 维 Zakharov-Kuznetsov (ZK) 方程的主要研究手段有正弦余弦方法,拓展双曲正切方法,同伦分析方法 \cite{linares2009well}, 简化的 Hirota 方法 \cite{biswas2013soli,bluman2010appli} 和映射方法 \cite{morris2013soli}, 等等.带有非线性扩散项和时间相关系数的 (2+1) 维广义 Zakharov-Kuznetsov (gZK) 方程由孤立波拟设方法所研究 \cite{sabry2009non}. (3+1) 维 QZK 方程可以通过辅助方程方法 \cite{ahmed2013kinks} 和拓展 F 展开 (EFE) 方法得到 \cite{munro2000sta}. 在 \cite{ahmed2013kinks} 中作者使用了约化摄动方法正式地得到了拓展 quantum Zakharov-Kuznetsov (extended QZK) 方程,该方程由广义拓展方法 \cite{guner2015bright}, Jacobi 椭圆正弦和余弦函数 \cite{biswas20091soli} 所研究.李点对称方法和极简方程方法也可以用来研究 Zakharov-Kuznetsov 方程 \cite{leveque1992num}.此外,对于一类广义 (2+1) 维 Zakharov-Kuznetsov 方程也有类似的工作 \cite{moslem2007soli}.
+(2+1) 维 Zakharov-Kuznetsov (ZK) 方程的主要研究手段有正弦余弦方法,拓展双曲正切方法,同伦分析方法 \cite{linares2009well}, 简化的 Hirota 方法 \cite{biswas2013soli,bluman2010appli} 和映射方法 \cite{morris2013soli}, 等等.带有非线性扩散项和时间相关系数的 (2+1) 维广义 Zakharov-Kuznetsov (GZK) 方程由孤立波拟设方法所研究 \cite{sabry2009non}. (3+1) 维 QZK 方程可以通过辅助方程方法 \cite{ahmed2013kinks} 和拓展 F 展开 (EFE) 方法得到 \cite{munro2000sta}. 在 \cite{ahmed2013kinks} 中作者使用了约化摄动方法正式地得到了拓展 quantum Zakharov-Kuznetsov (extended QZK) 方程,该方程由广义拓展方法 \cite{guner2015bright}, Jacobi 椭圆正弦和余弦函数 \cite{biswas20091soli} 所研究.李点对称方法和极简方程方法也可以用来研究 Zakharov-Kuznetsov 方程 \cite{leveque1992num}.此外,对于一类广义 (2+1) 维 Zakharov-Kuznetsov 方程也有类似的工作 \cite{moslem2007soli}.
 
 Wazwaz \cite{elganaini2011tra} 研究了一类新的拓展 (2+1) 维 QZK 方程, (3+1) 维 QZK 方程和 (3+1) 维拓展 QZK 方程.
 
-新的 (2+1) 维拓展 QZK 方程的形式如下:
+其中,新的 (2+1) 维拓展 QZK 方程的形式如下:
 \begin{equation}\label{eq:eqzk}
 u_{t}+auu_{x}+b(u_{xxx}+u_{yyy})+c(u_{xyy}+u_{xxy})=0,
 \end{equation}
@@ -17,15 +17,15 @@ \chapter{基于李群方法的拓展 QZK 方程研究}
 
 针对上述方程,作者采用了极简形式的 Hirota 方法,得到了多孤子解和爆破解 \cite{biswas2013soli,bluman2010appli}. 李点对称方法也有应用到 \eqref{eq:eqzk} 方程中的相关研究 \cite{sjoberg2007dou}.
 
-在本小节,我们将基于 \cite{wang2014soli} 进一步研究拓展 QZK 方程.守恒律在研究微分方程中扮演了重要角色,因为守恒律往往对应着物理中的守恒律,比如质量守恒、能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒或其他运动的约束 \cite{mushtaq2005non,song2013top,song2013dom}. 守恒律可以用来研究非线性偏微分方程的存在唯一性和解的稳定性 \cite{wang2014soli}, 此外也有关于数值解的研究 \cite{wazwaz2005exact,wazwaz2008the}. 因此,有必要研究偏微分方程的守恒性质.
+在本章中,我们将基于文献 \cite{wang2014soli} 进一步研究拓展 QZK 方程.守恒律在研究微分方程中扮演了重要角色,因为守恒律往往对应着物理中的守恒律,比如质量守恒、能量守恒、动量守恒、角动量守恒、电荷守恒或其他运动的约束 \cite{mushtaq2005non,song2013top,song2013dom}. 守恒律可以用来研究非线性偏微分方程的存在唯一性和解的稳定性 \cite{wang2014soli}, 此外也有关于数值解的研究 \cite{wazwaz2005exact,wazwaz2008the}. 因此,也有必要研究偏微分方程的守恒性质.
 
-本章的结构安排如下.首先,在小节 \ref{sec:05lie} 中介绍李点对称方法.其次,给出了利用李点对称方法得到的一些结果.在小节 \ref{sec:05con} 中,根据 Ibragimov 新守恒律定理构造了拓展 QZK 方程的守恒律.接下来,在小节 \ref{sec:05optimal} 中,找到了一个最优系统的一维子代数.然后在小节 \ref{sec:05reduction} 中,对最优子代数系统进行了相似约化,将 (2+1) 维拓展 QZK 方程约化为含有两个独立变量的线性偏微分方程.最后做了小结.
+本章的结构安排如下.首先,在 \ref{sec:05lie} 中介绍李点对称方法.其次,给出了利用李点对称方法得到的一些结果.在 \ref{sec:05con} 中,根据 Ibragimov 新守恒律定理构造了拓展 QZK 方程的守恒律.接下来,在 \ref{sec:05optimal} 中,找到了一个最优系统的一维子代数.然后在 \ref{sec:05reduction} 中,对最优子代数系统进行了相似约化,将 (2+1) 维拓展 QZK 方程约化为含有两个独立变量的线性偏微分方程.最后做了小结.
 
 \section{李点对称方法}\label{sec:05lie}
 \esection{The Lie Point Symmetry Method}
-李点对称方法 \cite{peter2000sym,bluman2008symmetry} 基本思想是将李群作为变换群,将代数学中群作用到集合上的思想自然平移过来,其作用对象是微分方程,达到将一个复杂的微分方程变换为较为简单的微分方程的目的.
+李点对称方法 \cite{peter2000sym,bluman2008symmetry} 基本思想是将李群作为变换群,将代数学中群作用到集合上的思想自然平移过来,其作用对象是微分方程,该作用达到将一个复杂的微分方程变换为较为简单的微分方程的目的.
 
-在此过程中,首先要寻找一个变换,寻找该变换是李点对称方法的核心问题之一.一个常用的方法是用李点对称,该方法程式化程度高,将漫无边际地寻找变换的过程变成了只需要机械的符号计算的过程.李点对称的思想是保持变换的每一阶导数和偏导数的形式,这样就能保证方程形式在变换之后和原来方程一致.
+在此过程中,需要寻找一个变换,寻找该变换是李点对称方法的核心问题之一.一个常用的方法是用李点对称,该方法程式化程度高,将漫无边际地寻找变换的过程变成了只需要机械的符号计算的过程.李点对称的思想是保持变换的每一阶导数和偏导数的形式,这样就能保证方程形式在变换之后和原来方程一致.
 
 下面,首先介绍一些李群变换方法的相关知识.
 
@@ -54,7 +54,7 @@ \subsection{基本概念}
 \begin{description}
 	\item[(1)] $R^n$, 群作用是加法;
 	\item[(2)] $S^1=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1 \},~\times$;
-	\item[(3)] $SU(2)=\{A \in GL(2,\mathbb{C})|A\bar{A}^t=1,det A = 1\},~\times$. 能够看出
+	\item[(3)] $SU(2)=\{A \in GL(2,\mathbb{C})|A\bar{A}^T=1,det A = 1\},~\times$. 能够看出
 	\begin{equation*}
 		SU(2)=\left\lbrace\begin{pmatrix}
 			\alpha&\beta\\
@@ -64,7 +64,7 @@ \subsection{基本概念}
 	\end{equation*}
 \end{description}
 
-然后给出李子群的定义:
+接着给出李子群的定义:
 \begin{definition}[李子群]
 	\emph{李群 $\mathcal{H}$ 是李群 $\mathcal{G}$ 是李子群,如果 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{G}$ 的浸入子流形,并且是子群.}
 \end{definition}
@@ -74,20 +74,20 @@ \subsection{基本概念}
 \begin{definition}[李群在流形上的作用]
 	\emph{李群 $\mathcal{G}$ 在流形 $M$ 上的作用是对于任意 $g\in \mathcal{G}$ 的一个微分同胚映射 $\rho(g) \in \mathrm{Diff}~M$, 满足 $\rho(1) = id$ 和 $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ 使得
 	\begin{equation*}
-        \mathcal{G} \times M \to M : (g, m) \to \rho(g).m
+        \mathcal{G} \times M \to M : (g, m) \mapto \rho(g).m
 	\end{equation*}
-	是一个光滑映射.}
+	是一个光滑映射,这里 $\mathrm{Diff}~M$ 为 $M$ 上的微分同胚群.}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[复李群在复流形上的全纯作用]
 	\emph{复李群 $\mathcal{G}$ 在复流形 $M$ 上的全纯作用是对于任意 $g\in \mathcal{G}$ 的一个可逆全纯映射 $\rho(g) \in \mathrm{Diff}~M$, 满足 $\rho(1) = id$ 和 $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ 使得
 	\begin{equation*}
-        \mathcal{G} \times M \to M : (g, m) \to \rho(g).m
+        \mathcal{G} \times M \to M : (g, m) \mapto \rho(g).m
 	\end{equation*}
 	是一个全纯映射.}
 \end{definition}
 
-李群在流形上的作用是后面研究李群对偏微分方程的变换的基础,李群方法就是单参数变换李群作用到方程上寻找不变量.然后给出几个重要的李群在流形上的作用.
+李群在流形上的作用是后面研究李群对偏微分方程的变换的基础,李群方法就是单参数变换李群作用到方程上寻找不变量.这里我们给出几个重要的李群在流形上的作用.
 \begin{description}
 	\item[(1)] 左作用 $L_g : \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ 定义为 $L_g (h) = gh$,
 	\item[(2)] 右作用 $R_g : \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ 定义为 $R_g (h) = hg^{-1}$,
@@ -95,7 +95,7 @@ \subsection{基本概念}
 \end{description}
 
 接下来,我们介绍一个在李群和李代数之间的一个重要的映射,指数映射 $\mathrm{exp}: \mathfrak{g}\to \mathcal{G}$, 其中 $\mathfrak{g}=T\mathcal{G}$ 为 $\mathcal{G}$ 的切空间,也是李群的李代数,有如下定理.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[单参子群的唯一性 \cite{kirillov2008anintro}]
 	\emph{设 $\mathcal{G}$ 是一个实数或者复数李群, $\mathfrak{g}=T\mathcal{G}$, 并且取 $x\in\mathfrak{g}$, 那么存在一个唯一李群的映射 $\gamma_x : K \to \mathcal{G}$, 使得
 	\begin{equation*}
 		\dot{\gamma}_x(0)=x,
@@ -113,7 +113,7 @@ \subsection{基本概念}
 \end{definition}
 
 下面的定理给出了指数映射的一些性质.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[指数映射的性质 \cite{kirillov2008anintro}]
 \emph{设 $\mathcal{G}$ 为一个实数或者复数的李群, $\mathfrak{g}=T\mathcal{G}$, 则有
 \begin{description}
 	\item[(1)] $\mathrm{exp}(x) = 1 + x + \ldots$, (即 $\mathrm{exp}(0)=1$, 并且 $\mathrm{exp}_*(0): \mathfrak{g} \to T\mathcal{G} = \mathfrak{g}$ 为单位映射).
@@ -134,7 +134,7 @@ \subsection{基本概念}
 \end{equation*}
 关于 $\mu(x,y)$ 有如下定理.
 
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[$\mu(x,y)$ 性质 \cite{kirillov2008anintro}]
 	\emph{$\mu(x,y)$ 的泰勒展开式为
 	\begin{equation*}
 		\mu(x,y)=x + y + \lambda(x, y) +\cdots ~,
@@ -149,7 +149,7 @@ \subsection{基本概念}
 式中的反对称映射 $[,]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 定义为交换子.
 
 对于交换子,有如下的性质定理.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[交换子性质 \cite{kirillov2008anintro}]
 \emph{\begin{description}
 	\item[(1)] 设 $\psi:\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2$ 为实数的或者复数的李群之间的映射,并且 $\psi_*:\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_2$, 其中 $\mathfrak{g}_1=T\mathcal{G}_1,\mathfrak{g}_2=T\mathcal{G}_2$ 为对应的李群在单位的切空间.那么 $\psi_*$ 保持交换子的运算,即对任意的 $x,y\in \mathfrak{g}_1$ 有
 	\begin{equation*}
@@ -171,7 +171,7 @@ \subsection{基本概念}
 \end{equation*}
 于是有如下的性质定理.
 
-\begin{theorem}\label{thm:adjoint}
+\begin{theorem}[共轭关系 \cite{kirillov2008anintro}]\label{thm:adjoint}
 	\emph{定义 $ad=Ad_*:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ 为 $Ad$ 的切映射,那么有
 	\begin{description}
 		\item[(1)] $ad~x.y = [x, y]$;
@@ -180,7 +180,7 @@ \subsection{基本概念}
 \end{theorem}
 
 对于这里的交换子,有如下的雅可比恒等式:
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[雅可比恒等式 \cite{kirillov2008anintro}]
 	\emph{设 $G$ 为实数的或复数的李群, $\mathfrak{g}=TG$, 并且设交换子 $[,]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 按照前面所定义.那么该交换子满足如下的雅可比恒等式.
 	\begin{equation*}
 		[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]].
@@ -220,9 +220,9 @@ \subsection{基本概念}
 \end{equation*}
 
 关于向量场的李代数,有如下的性质定理.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[李代数性质 \cite{kirillov2008anintro}]
 \emph{\begin{description}
-	\item[(1)] 设 $\xi,\eta \in \mathrm{Vect}(M)$ 为 $M$ 上的向量场,则存在唯一的向量场,这里记作 $[\xi,\eta]$ 满足
+	\item[(1)] 设 $\xi,\eta \in \mathrm{Vect}~M$ 为 $M$ 上的向量场,则存在唯一的向量场,这里记作 $[\xi,\eta]$ 满足
 	\begin{equation*}
 		\Psi_{\xi}^t\Psi_{\eta}^s\Psi_{\xi}^{-t}\Psi_{\eta}^{-s}=\Psi_{[\xi,\eta]}^{ts}+\cdots,
 	\end{equation*}
@@ -242,11 +242,15 @@ \subsection{基本概念}
 \end{description}}
 \end{theorem}
 
+\begin{definition}[一维子代数最优系统]
+    \emph{我们称一组 $s$-参数子代数构成最优系统,如果其中每一个 $s$-参数子代数 $\mathfrak{g}$ 在共轭表示意义下是唯一的.该组 $s$-参数子代数称为一维子代数最优系统.}
+\end{definition}
+
 有了这些李群和李代数的基础知识,就可以对李群方法做出介绍了.
 
 \subsection{无穷小变换}
 \esubsection{Infinitesimal Transformations}
-无穷小变换是李群方法的关键,可以说,有了无穷小变换,整个李群方法都变为了可能,不需要其他更多的条件,就可以算出几乎所有需要的量.无穷小变换作为一个微分下的产物,很适合利用程式计算,甚至符号计算中有所应用.首先给出无穷小变换的定义.
+无穷小变换是李群方法的关键,可以说,有了无穷小变换,才能有李群方法这套理论工具,不需要其他更多的条件,就可以算出几乎所有需要的量.无穷小变换作为一个微分下的产物,很适合利用程式计算,在符号计算中有所应用.我们从无穷小变换的定义开始叙述.
 
 \begin{definition}[单参数李变换群]
 \emph{单参数变换群 $x^{*}=X(x;\epsilon)$ 如果满足:
@@ -274,7 +278,7 @@ \subsection{无穷小变换}
 
 可以看到,无穷小变换包含了单参数李变换群的直到一阶导数性质,这对研究李群上的切空间,尤其是李代数来说是足够了的.后面将会看到,利用无穷小变换可以计算出点对称的许多重要的量,对求解偏微分方程的李群方法来说,这是最关键的一点.
 
-接下来,给出三个李基本定理.
+接下来,给出三个李基本定理 \cite{bluman2008symmetry}.
 \begin{theorem}[李第一基本定理]
 \emph{存在参数化$\tau(\epsilon)$, 使得李变换群 \eqref{eq:liet} 等价于一阶常微分方程初值问题
 \begin{equation*}
@@ -405,7 +409,7 @@ \subsection{无穷小生成元及其延拓}
 \end{equation*}
 \end{definition}
 
-\begin{theorem}[$\eta^{(k)}$ 的计算]
+\begin{theorem}[$\eta^{(k)}$ 的计算 \cite{bluman2008symmetry}]
 \emph{\begin{equation*}
 \eta^{(k)}(x,y,y_1,\cdots,y_k) = \frac{D\eta^{(k-1)}}{Dx}-y_k \frac{D\xi(x,y)}{Dx},
 \end{equation*}
@@ -443,7 +447,7 @@ \subsection{无穷小生成元及其延拓}
 \end{equation*}}
 \end{definition}
 
-\begin{theorem}[$\eta^{(k)}$ 的计算]
+\begin{theorem}[$\eta^{(k)}$ 的计算 \cite{bluman2008symmetry}]
 \emph{\begin{equation*}
 \begin{aligned}
 \eta_i^{(1)}=D_i\eta-(D_i\xi_j)u_j,\quad i=1,2,\ldots,n ;\\
@@ -489,7 +493,7 @@ \subsection{偏微分方程的不变性}
 \end{definition}
 
 对于不变函数,有如下定理.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[不变函数 \cite{bluman2008symmetry}]
 	\emph{$F(\mathbf{x})$ 在群的作用下是不变的,当且仅当
 	\begin{equation*}
 		XF(\mathbf{x})\equiv 0.
@@ -497,7 +501,7 @@ \subsection{偏微分方程的不变性}
 \end{theorem}
 
 对于偏微分方程,有如下类似的结果.
-\begin{theorem}[偏微分方程不变形的无穷小准则]
+\begin{theorem}[偏微分方程不变形的无穷小准则 \cite{bluman2008symmetry}]
 	\emph{令
 	\begin{equation*}
 		X=\xi_i(x,u)\frac{\partial}{\partial x_i}+\eta(x,u)\frac{\partial}{\partial u}
@@ -592,9 +596,7 @@ \subsection{拓展 QZK 方程的守恒律}\label{sec:05con}
 \esubsection{Conservation Laws of Extended QZK Equations}
 在本小节里,得到了 \eqref{eq:eqzk} 方程的守恒律,采用的手段是 Ibragimov 的新守恒律定理 \cite{wazwaz2012soli,yan2009per}.
 
-采用如下文章中的符号表示和相关结果,详见 \cite{wazwaz2012soli,yan2009per,yasar2010con,zakharov1974on}.
-
-定义 $m$ 个含有 $n$ 个独立自变量 $x=(x^1,x^2,\cdots,x^n)$ 的 $r$ 阶  ($r\geq1$) PDE 系统为
+采用如下文章中的符号表示和相关结果,详见 \cite{wazwaz2012soli,yan2009per,yasar2010con,zakharov1974on}. 定义 $m$ 个含有 $n$ 个独立自变量 $x=(x^1,x^2,\cdots,x^n)$ 的 $r$ 阶  ($r\geq1$) PDE 系统为
 \begin{equation}\label{eq:system}
 F_\alpha(x,u,u_{(1)},\cdots,u_{(r)})=0,~ \alpha=1,2,\cdots,m,
 \end{equation}
@@ -628,9 +630,9 @@ \subsection{拓展 QZK 方程的守恒律}\label{sec:05con}
 \begin{equation}\label{eq:div}
 divC\equiv D_i(C^i)=0.
 \end{equation}
-表达式 \eqref{eq:div} 是系统 \eqref{eq:system} 的一个守恒律.这里 $D_i$ 是对变量 $x^i$ 的全导数.
+表达式 \eqref{eq:div} 是系统 \eqref{eq:system} 的一个守恒律,这里 $D_i$ 是对变量 $x^i$ 的全导数.
 
-\begin{theorem}[\cite{wazwaz2012soli,yan2009per}]
+\begin{theorem}[守恒向量 \cite{wazwaz2012soli,yan2009per}]
 \emph{系统 \eqref{eq:system} 的李点对称算子 \eqref{eq:infi} 能够得到一个守恒向量 $C=(C^1,C^2,\cdots,C^n)$, 可以由下面的公式得到
 \begin{equation*}
 \begin{aligned}
@@ -789,7 +791,7 @@ \subsection{拓展 QZK 方程的守恒律}\label{sec:05con}
 
 \subsection{拓展 QZK 方程的一维子代数最优系统}\label{sec:05optimal}
 \esubsection{Optimal Systems of 1D Subalgebras for Extended QZK Equations}
-在本小节,推导出方程 \eqref{eq:eqzk} 的一维子代数最优系统.采用文献 \cite{peter2000sym} 中的方法来得到一维子代数最优系统.根据定理 \ref{thm:adjoint} 可知,其共轭变换为
+在本小节,我们将采用文献 \cite{peter2000sym} 中的方法来推导出方程 \eqref{eq:eqzk} 的一维子代数最优系统.根据定理 \ref{thm:adjoint} 可知,其共轭变换为
 \begin{equation*}
 	Ad(\exp(\varepsilon X_i))X_j=X_j-\varepsilon[X_i,X_j]+\frac{\varepsilon^2}{2}[X_i,[X_i,X_j]]-\cdots,
 \end{equation*}
@@ -842,7 +844,7 @@ \subsection{拓展 QZK 方程的一维子代数最优系统}\label{sec:05optimal
 
 情形 2:
 
-其余的一维子代数应该由这样的向量生成 $\beta_5=0, ~\beta_4\neq 0$. 同样地,取 $\beta_4=1$. 所以,非零向量 $X=\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\beta_{3}X_{3}+X_{4}$ 等价于如下映射地 $\widetilde{X}$
+其余的一维子代数应该由这样的向量生成 $\beta_5=0, ~\beta_4\neq 0$. 同样地,取 $\beta_4=1$, 有,非零向量 $X=\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\beta_{3}X_{3}+X_{4}$ 等价于如下映射地 $\widetilde{X}$
 \begin{equation*}
 	\widetilde{X}= Ad(\exp{(\frac{\beta_3}{3} X_3)})\circ Ad(\exp{(\beta_2 X_2)})\circ Ad(\exp{(\beta_1 X_1)}) X=X_{4}.
 \end{equation*}
@@ -850,7 +852,7 @@ \subsection{拓展 QZK 方程的一维子代数最优系统}\label{sec:05optimal
 
 情形 3:
 
-进一步,如果 $\beta_5=0,~\beta_4=0,$ 且 $\beta_3\neq 0$, 取 $\beta_3=1$. 因此, $X$ 等价于在共轭变换下的 $\widetilde{X}$
+进一步,如果 $\beta_5=0,~\beta_4=0,$ 且 $\beta_3\neq 0$, 取 $\beta_3=1$,有 $X$ 等价于在共轭变换下的 $\widetilde{X}$
 \begin{equation*}
 \begin{aligned}
 \widetilde{X}&=Ad(\exp(\varepsilon X_{4}))\circ Ad(\exp{(\frac{-\beta_1}{a} X_1)}) X\\
@@ -933,4 +935,4 @@ \subsection{拓展 QZK 方程的约化}\label{sec:05reduction}
 
 \section{小结}\label{sec:05conclusion}
 \esection{Brief Summary}
-在本章中,将复合变分准则应用到了 (2+1) 维拓展 QZK 方程.应用这些李点对称,证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是自共轭的,并且构造了其守恒律.接着,给出了一维子代数最优系统.通过相应的相似不变量的相似变换, (2+1) 维拓展 QZK 方程约化为线性的偏微分方程.
+在本章中,将复合变分准则应用到了 (2+1) 维拓展 QZK 方程.应用这些李点对称,证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是严格自共轭的,并且构造了其守恒律.接着,给出了一维子代数最优系统.通过相应的相似不变量的相似变换, (2+1) 维拓展 QZK 方程约化为线性的偏微分方程.
diff --git a/body/04_symplecticWR.tex b/body/04_symplecticWR.tex
index b4533fb..aedae9b 100644
--- a/body/04_symplecticWR.tex
+++ b/body/04_symplecticWR.tex
@@ -3,7 +3,7 @@ \chapter{基于波形松弛的辛方法和李群方法研究}
 
 %\section{Introduction}\label{sec:introduction}
 %\esection{Introduction}
-在本章,我们针对哈密尔顿系统和李群方程,基于波形松弛方法提出一种新的求解方法.哈密尔顿系统的形式如下
+在本章,我们针对哈密尔顿系统和李群方程,基于波形松弛方法提出一种新的求解方法.第一部分我们求解哈密尔顿系统,哈密尔顿系统的形式如下
 \begin{equation}\label{eq:hal0}
   \left\lbrace
     \begin{aligned}
@@ -19,11 +19,11 @@ \chapter{基于波形松弛的辛方法和李群方法研究}
   \frac{dH}{dt}={H_q}^T\frac{dq}{dt}+{H_p}^T\frac{dp}{dt}={H_q}^TH_p+{H_p}^T(-H_q)=0.
 \end{equation*}
 
-对于每个哈密尔顿系统,辛形式,通常定义为 $\omega = dp \wedge dq$, 是一个常量.辛几何算法是保持辛形式的数值算法,属于数值的范畴,也称之为辛方法.辛方法擅长求解长时间区间的哈密尔顿系统 \cite{feng2010symplectic,hairer2006geometric}. 它立足于保持每个时间阶段的哈密尔顿函数  $H(q,p)$, 即 $H(q_{n+1},p_{n+1})=H(q_n,p_n)$, 而不是过分地追求解的阶数.这种思想在求解星体运动问题上得到了较好的数值结果.
+对于每个哈密尔顿系统,其辛形式通常定义为 $\omega = dp \wedge dq$, 是一个常量.辛几何算法是保持辛形式的数值算法,属于数值的范畴,也称之为辛方法.辛方法擅长求解长时间区间的哈密尔顿系统 \cite{feng2010symplectic,hairer2006geometric}, 它立足于保持每个时间阶段的哈密尔顿函数  $H(q,p)$, 即 $H(q_{n+1},p_{n+1})=H(q_n,p_n)$, 而不是过分地追求解的阶数.这种方法在求解星体运动问题上得到了较好的数值结果.
 
 常用的辛方法有辛欧拉方法,辛 Runge-Kutta 方法,辛 Runge-Kutta-Nystr{\"o}m 方法 \cite{kalogiratou2014fourth,kalogiratou2015}, 辛 ERKN 方法 \cite{wang2014ahigh}, 哈密尔顿 BVM \cite{brugnano2014multi}, 等等.此外,相关的关于哈密尔顿系统的研究还有两步波形松弛方法 \cite{hassanzadeh2014two}, 针对非自治哈密尔顿系统的方法 \cite{hong2000numerical,zhang2010anote}, 随机哈密尔顿方程的方法 \cite{burrage2014structure,ma2015sto,fan2015using}, 多辛方法 \cite{wang2013multi} 和最优控制系统的研究 \cite{li2015asym}, 等等.另外可以知道,辛 Runge-Kutta 方法均为隐式方法 \cite{sanz1988runge}.
 
-李群方程,在本章所涉及的方程,是一类特殊形式的矩阵方程
+在本章后半部分所涉及的李群方程,是一类特殊形式的矩阵方程
 \begin{equation*}
 	Y'=A(t,Y)Y,\quad t\geq 0,\quad Y(0)=Y_0,
 \end{equation*}
@@ -33,7 +33,7 @@ \chapter{基于波形松弛的辛方法和李群方法研究}
 \begin{equation*}
 	y'=f(t,y),\quad t\geq 0,\quad y(0)=y_0,\quad y_0 \in \mathbb{R}^n,
 \end{equation*}
-有许多成熟的数值算法,比如欧拉法(显式或者隐式),梯形法, Runge-Kutta 法等等.这些方法在数值模拟和仿真领域起到了重要的作用.但是,对于李群方程,可以知道方程的解还在流形上,这些方法就显得无力,因为误差会使结果偏离流形,如图 \ref{fig:explicit}. 相比之下,\textbf{李群方法}的效果会落到流形上,如图 \ref{fig:midpoint}. 在本章,为了简单,把流形上的李群方法也叫做李群方法.
+有许多成熟的数值算法,比如欧拉法(显式或者隐式),梯形法, Runge-Kutta 法,等等.这些方法在数值模拟和仿真领域起到了重要的作用.但是,对于李群方程,方程解的流还在流形上,这些方法就显得无力,因为误差会使结果偏离流形,如图 \ref{fig:explicit}. 相比之下,\textbf{李群方法}的结果会落到流形上,如图 \ref{fig:midpoint}. 在本章,为了简单,把流形上的李群方法也叫做李群方法.
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
@@ -53,15 +53,15 @@ \chapter{基于波形松弛的辛方法和李群方法研究}
 
 在这里,把结合了辛方法和波形松弛方法的方法叫做\textbf{辛波形松弛方法}.它是传统意义上的波形松弛方法的一个特例,将辛格式作为模型进行逼近,通过运用波形松弛方法解耦的特性,使计算过程更简单.波形松弛方法使问题求解相对隐式方法来说更加容易,同时,辛方法指导了波形松弛方法如何进行解耦.
 
-为了能更好地求解长时间区间的问题,引入窗口加速技术 \cite{jiang2006windowing,ladics2015error}. 窗口技术能够有效地减少波形松弛方法地迭代次数,同时能够保持辛方法的优秀特性.在 \cite{jiang2006windowing} 中作者给出了如何选取窗口长度,另外,窗口技术使得并行求解更加容易 \cite{liu2011waveform}.
+在计算过程中,为了能更好地求解长时间区间的问题,引入窗口加速技术 \cite{jiang2006windowing,ladics2015error}. 窗口技术能够有效地减少波形松弛方法地迭代次数,同时能够保持辛方法的优秀特性.在 \cite{jiang2006windowing} 中作者给出了如何选取窗口长度,此外,窗口技术使得并行求解更加容易 \cite{liu2011waveform}.
 
-接下来,对辛波形松弛方法做进一步地探讨和拓展.该改进基于前面讨论的波形松弛方法对辛格式的改进,更进一步研究波形松弛数值格式在其他保持结构的问题里会有哪些实际可行的应用.对流形上的保结构的数值格式进行波形松弛方法地``改造'',以得到较为容易实现且速度较快的数值格式.
+接下来,对辛波形松弛方法做进一步地探讨和拓展.该拓展基于前面讨论的波形松弛方法对辛格式的改进,更进一步地研究了波形松弛数值格式在其他保持结构的问题里会有哪些实际可行的应用.我们对流形上的保结构的数值格式进行波形松弛方法地``改造'',以得到较为容易实现且速度较快的数值格式.
 
-这里我们将给出求解流形上数值方法 RK-MK \cite{arieh2005liegroup} 的一个改进,该方法的``波形松弛化''说明了波形松弛方法在改造数值格式时的意义.这种改造一方面利用了波形松弛方法的解耦,迭代,实现简单等优点,同时还在通过迭代逼近数值格式,保持了原数值格式的优秀特性.
+这里我们将给出求解流形上数值方法 RK-MK \cite{arieh2005liegroup} 方法的一个改进,该方法的``波形松弛化''再次说明了波形松弛方法在改造数值格式时的意义.这种改造一方面利用了波形松弛方法的解耦,迭代,实现简单等优点,另一方面还在通过迭代逼近数值格式,保持了原数值格式的优秀特性.
 
-通常来说,我们的数值计算都是在一个空间上进行的,而常用的空间是平直的线性欧式空间.然而,有些方程具有特殊的意义,这些问题的解存在在一个流形上.可是,在全空间上数值计算的误差存在会导致计算结果并不在该流形上.为了解决这一类问题,有一类流形上的李群算法被设计出来,这些算法能够很好地保证数值解落在流形上.上面提到的 RK-MK 算法就是这样一类方法.
+通常来说,我们的数值计算都是在一个空间上进行的,常用的空间是平直的线性欧式空间.然而,某些方程具有特殊的意义,这些问题解地流存在在一个流形上.可是,在全空间上数值计算的误差存在会导致计算结果并不在该流形上.为了解决这一类问题,有一类流形上的李群方法被设计出来,这类方法能够很好地保证数值解落在流形上.上面提到的 RK-MK 算法就是这样一类方法.
 
-然而,即使是李群方法,其数值结果会落到流形上,有些情况也并非令人满意,图 \ref{fig:rkmk2} 中的数值结果虽然保持在流形上了,但是并不是原问题应有的数值解,数值解只是在流形上出现了误差.
+然而,即使是李群方法,其数值结果会落到流形上,有些情况也并非令人满意,图 \ref{fig:rkmk2} 中的数值结果虽然保持在流形上了,但是并不是原问题应有的数值解,数值解只是误差出现在流形上了.
 \begin{figure}[h!]
   \centering
   \includegraphics[width=0.7\textwidth]{03/rkmk2.png}
@@ -73,14 +73,14 @@ \chapter{基于波形松弛的辛方法和李群方法研究}
 
 李群方法起初是由 Crouch 和 Grossman \cite{crouch1993numerical} 提出来的,即所谓的 Crouch-Grossman 方法,该方法得到了一系列地推广 \cite{faleinsen2001multi,zaletkin2010numerical,bulychev2001numerical,buono2003numerical,billo1992numerical}. 后来,在 1996 到 1999 年, Munthe-Kaas  等人提出了该方法的一个改进方法 \cite{mk1996lie,mk1997numerical,mk1998runge,mk1999high}, 即 MK-RK 方法,以及后面的一些推广 \cite{ostermann2010exponential,owren2000the,bruls2012lie,munthe2013onpost,garcla2011onalg}. Crouch-Grossman 方法和 MK-RK 方法都用到了李群的指数映射,联结了李群这个流形和李代数之间的关系,并且都利用了 Runge-Kutta 方法这种数值结构,使得阶数可以适当地提高,而且常规意义下的李群方法均为显式方法,计算较为简便.
 
-我们要对隐式的 RK-MK 方法做出一些波形松弛类修正,使得数值方法能够具有较好的长时间稳定性,并且在计算上尽可能地简便,便于实现.该方法的思想来自于上一章对辛方法的波形松弛类改进,和对 RK-MK 方法的理解.在计算过程中,不可避免地要引入窗口技术来加速.
+我们要对隐式的 RK-MK 方法做出一些波形松弛类修正,使得数值方法能够具有较好的长时间稳定性,并且在计算上尽可能地简便,便于实现.该方法的思想来自于前半部分对辛方法的波形松弛类改进,和对 RK-MK 方法的理解.在计算过程中,不可避免地要引入窗口技术来加速.
 
-本章的结构如下.首先在小节 \ref{sec:03wrintro} 中,对波形松弛方法进行简单介绍.在小节 \ref{sec:03wrhal} 中,分析了辛波形松弛方法,并给出了以下两个辛波形松弛方法的离散数值格式.同时,分析了系统哈密尔顿函数的守恒性,并介绍了窗口技术的选取问题.在小节 \ref{sec:04wrmani} 中,将对流形上的李群方法进行介绍,并且介绍 Crouch-Grossman 方法与 RK-MK 方法的相关理论,并陈述我们的修正算法.在小节 \ref{sec:03numerical} 中,给出了四个例子来说明问题.最后,做了一个总结.
+本章的结构如下.在 \ref{sec:03wrintro} 中,对波形松弛方法进行简单介绍.在 \ref{sec:03wrhal} 中,分析了辛波形松弛方法,并给出了以下两个辛波形松弛方法的离散数值格式.同时,分析了系统哈密尔顿函数的守恒性,并介绍了窗口技术的选取问题.在 \ref{sec:04wrmani} 中,将对流形上的李群方法进行介绍,并且介绍 Crouch-Grossman 方法与 RK-MK 方法的相关理论,并陈述我们的修正算法.在 \ref{sec:03numerical} 中,给出了四个例子来说明问题.最后,在 \ref{sec:03conclusion} 中做了一个总结.
 
 \section{波形松弛方法基本概念}\label{sec:03wrintro}
 \esection{Introduction to the WR Method}
 
-波形松弛方法来源于对大规模集成电路系统的研究 \cite{lelarasmee1982waveform}. 我们认为该方法分为两个部分,分裂和迭代.首先,需要使用分裂函数将大规模的系统划分为较小规模的子系统.接下来是迭代,迭代的过程先分别求解子系统,再在系统之间交换信息,进行下一次迭代,直到收敛.由此可见,波形松弛方法的显著特性是问题解耦和潜在的可并行性.
+波形松弛方法来源于对大规模集成电路系统的研究 \cite{lelarasmee1982waveform}. 我们认为该方法分为两个部分,分裂和迭代.首先,需要使用分裂函数将大规模的系统划分为较小规模的子系统.接下来是迭代,迭代的过程先分别求解子系统,再在系统之间交换信息,进行下一次迭代,直到达到容许的误差.由此可见,波形松弛方法的显著特性是问题解耦和潜在的可并行性.
 
 波形松弛方法给我们指出了一种不同的求解微分方程的迭代方式.它不是简简单单的通过求解离散过后的代数方程组的松弛方法,而是通过对方程分裂而构造出来的一种函数迭代方法,是``波形''的迭代.考虑如下的一阶常微分方程
 \begin{equation}\label{eq:03ode}
@@ -92,7 +92,7 @@ \section{波形松弛方法基本概念}\label{sec:03wrintro}
 \right.
 \end{equation}
 
-波形松弛方法的基本思想是找到一个分裂函数 $F(u,v,t)$ 满足 $F(u,u,t)=f(u,t)$, 这样如下方程
+波形松弛方法的基本思想是找到一个分裂函数 $F(u,v,t)$ 满足 $F(u,u,t)=f(u,t)$, 分裂成如下方程
 \begin{equation*}
 \left\{
 \begin{aligned}
@@ -103,7 +103,7 @@ \section{波形松弛方法基本概念}\label{sec:03wrintro}
 \end{equation*}
 就能够快速求解并且更容易求解.不能逃避的一件事情是,在分裂函数 $F(u,v,t)$ 下,迭代后的函数序列 $x^{k}(t)$ 要收敛到原方程 \eqref{eq:03ode} 的解.
 
-波形松弛方法的一个优点是能够把耦合的系统,通过分裂,在迭代过程中化为非耦合的系统,即解耦,对于一些问题来讲,这为算法的并行计算提供了条件.同时,注意到,在计算的过程中,波形松弛方法能够将一些只能隐式格式求解的问题,化为显式或者半隐式的格式即可求解的问题.
+波形松弛方法的一个优点是能够把耦合的系统,通过分裂,在迭代过程中解耦为非耦合的系统,对于一些问题来讲,这为算法的并行计算提供了条件.同时,注意到,在计算的过程中,波形松弛方法能够将一些只能隐式格式求解的问题,化为显式或者半隐式的格式即可求解的问题.
 
 一些常见的分裂函数取法有 Gauss-Jacobi 波形松弛方法, Gauss-Seidel 波形松弛方法,等等.作为一个例子,如果记 $u=(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})^{T}, v=(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})^{T}$, 并且方程的形式为
 \begin{equation*}
@@ -123,7 +123,7 @@ \section{波形松弛方法基本概念}\label{sec:03wrintro}
 &F_{i}(u,v,t)=f_{i}(u_{1},u_{2},\ldots,u_{i-1},u_{i},v_{i+1},\ldots,v_{n},t)\quad \text{(Gauss-Seidel~WR)}.
 \end{align}
 
-简而言之,波形松弛方法 \cite{jiang2009wr} 作为一个数学工具,思想起源于大规模集成电路的求解方法.当系统的规模大到一定程度的时候,使用现有的计算资源求解该问题就变得困难,可以通过分裂成更易于求解的小型系统来计算.为了达到这个目标,选取分裂函数 $F(z,y)$ 使得 $F(z,z)=f(z)$, 然后将方程 \eqref{eq:hal0} 中的 $f(z)$ 替换为 $F(z,y)$. 接下来为每一个子系统选择一个合适的初始迭代,将 $F(z,y)$ 中的 $y$ 作为已知函数, $z$ 作为未知函数,这样每次迭代的计算量就降低了.然而,由于初值的选取和格式的设计,这样的一步计算不会得到系统的真实解.这要通过迭代来保证收敛到方程的真解.通常将迭代方程记作 $\dot{z}^{k+1}=F(z^{k+1},z^{k})$, 其中 $k=0,1,\cdots$ 是迭代次数.
+简而言之,波形松弛方法 \cite{jiang2009wr} 作为一个数学工具,思想起源于大规模集成电路的求解.当系统的规模大到一定程度的时候,使用现有的计算资源求解该问题就变得困难,可以把大型的系统分裂成更易于求解的小型系统来计算.为了达到这个目标,选取分裂函数 $F(z,y)$ 使得 $F(z,z)=f(z)$, 然后将方程 \eqref{eq:hal0} 中的 $f(z)$ 替换为 $F(z,y)$. 接下来为每一个子系统选择一个合适的初始迭代,将 $F(z,y)$ 中的 $y$ 作为已知函数, $z$ 作为未知函数,这样每次迭代的计算量就降低了.然而,由于初值的选取和格式的设计,这样的一步计算不会得到系统的真实解,还要通过迭代来保证收敛到方程的真解.通常将迭代方程记作 $\dot{z}^{k+1}=F(z^{k+1},z^{k})$, 其中 $k=0,1,\cdots$ 是迭代次数.
 
 
 \section{哈密尔顿系统的辛波形松弛方法}\label{sec:03wrhal}
@@ -132,23 +132,23 @@ \section{哈密尔顿系统的辛波形松弛方法}\label{sec:03wrhal}
 \begin{equation}\label{eq:hal1}
 \dot{z}=f(z),
 \end{equation}
-式中 $z=(q,p)^T$ 为区间 $[0,T]$ 上的未知函数, $f(z)$ 是方程 \eqref{eq:hal0} 右端函数.
+式中 $z=(q;p)$ 为区间 $[0,T]$ 上的未知函数, $f(z)$ 是方程 \eqref{eq:hal0} 右端函数.
 
-对于波形松弛方法,需要取一个分裂函数 $F(x,y)$ 使得 $F(z,z)=f(z)$. 该分裂函数用于对系统 \eqref{eq:hal1} 进行解耦.对波形松弛方法,有如下的结果.
+对于波形松弛方法,需要取一个分裂函数 $F(x,y)$ 使得 $F(z,z)=f(z)$. 该分裂函数用于对系统 \eqref{eq:hal1} 进行解耦.对波形松弛方法,有如下已知的结果.
 
-\begin{theorem}[\cite{jiang2009wr}]\label{thm:wr}
+\begin{theorem}[ODE 的波形松弛方法 \cite{jiang2009wr}]\label{thm:wr}
 	\emph{如果 \eqref{eq:hal1} 的分裂函数 $F(x,y)$ 对变量 $x$ 和 $y$ 是 Lipschitz 连续的,那么波形松弛方法收敛.}
 \end{theorem}
 
 \subsection{连续时间的辛波形松弛方法}
 \esubsection{The Continuous-time Symplectic WR Method}
-辛波形松弛方法属于传统波形松弛方法的特例.所以定理 \ref{thm:wr} 自动成立.接下来,我们进一步研究哈密尔顿函数 $H$ 的变化情况.
+辛波形松弛方法属于传统波形松弛方法的特例,所以定理 \ref{thm:wr} 自动成立.接下来,我们进一步研究哈密尔顿函数 $H$ 的变化情况.
 
 \begin{theorem}
 \emph{如果辛波形松弛方法收敛,并且 \eqref{eq:hal1} 里的右端函数 $f$ 有界,则哈密尔顿函数收敛到常函数.}
 \end{theorem}
 
-{\textbf{证明}} 记 $H_0$ 为系统的哈密尔顿函数.因为该哈密尔顿 $H_0$ 为常函数,有
+{\textbf{证明}} 记 $H_0$ 为系统的哈密尔顿函数.因为该哈密尔顿函数 $H_0$ 为常函数,有
 \begin{equation*}
 \frac{dH_0}{dt}=0.
 \end{equation*}
@@ -207,7 +207,7 @@ \subsection{离散时间的辛波形松弛方法}
 \begin{equation}\label{eq:discrete}
 z_{n+1}^{k+1}=z_{n}^{k+1}+h \tilde{F}(z_{n+1}^{k+1},z_{n+1}^{k},z_{n}^{k+1},z_{n}^{k}),
 \end{equation}
-式中 $\tilde{F}(x,y,x,y)=F(x,y)$ 和 $\tilde{F}(x,x,y,y)=g(x,y)$.
+式中满足 $\tilde{F}(x,y,x,y)=F(x,y)$ 和 $\tilde{F}(x,x,y,y)=g(x,y)$.
 
 \begin{theorem}
 \emph{如果辛波形松弛方法收敛,并且辛格式对变量 $z_{n}$ 和 $z_{n+1}$ Lipschitz 连续,那么辛波形松弛方法的哈密尔顿函数收敛到离散格式的哈密尔顿函数.}
@@ -241,6 +241,8 @@ \subsection{离散时间的辛波形松弛方法}
 
 证毕.
 
+针对辛波形松弛方法,在这里给出两种重要的例子说明分裂函数的选取方法.
+
 \subsubsection{辛欧拉波形松弛方法}
 \esubsubsection{Symplectic Euler Waveform Relaxation Method}
 对于哈密尔顿函数 \eqref{eq:hal0} 和辛欧拉方法 \cite{hairer2014challenges}
@@ -341,7 +343,7 @@ \subsubsection{辛 Runge-Kutta 波形松弛方法}
 
 根据构造辛波形松弛方法的策略,可以将 Gauss-Jacobi~波形松弛方法 (WRGJ),和 Gauss-Seidel~波形松弛方法(WRGS) 应用于 Runge-Kutta方法,得到相应的 WRGJRK 和 WRGSRK 方法.
 
-所以 WRGJRK 方法为, 对于 $i=1,\cdots,2d$
+WRGJRK 方法为, 对于 $i=1,\cdots,2d$
 \begin{equation*}
   \left\lbrace
     \begin{aligned}
@@ -513,7 +515,7 @@ \subsection{离散时间的辛波形松弛方法的进一步讨论}
 \end{equation*}
 上面的不等式表明通过显式格式得到了和辛方法同样的数值结果.
 
-尽管算法是收敛的,我们对数值结果并不满意,原因是为了得到收敛,需要付出太多的迭代次数,可以从如下的定理看出来.
+尽管算法是收敛的,其数值收敛结果并不理想,原因是为了达到收敛条件,需要使用太多的迭代次数,可以从如下的定理看出来.
 
 考虑如下形式的线性微分方程
 \begin{equation*}
@@ -556,7 +558,7 @@ \subsection{离散时间的辛波形松弛方法的进一步讨论}
   \end{equation*}}
 \end{lemma}
 
-{\textbf{证明}} 为了证明这个,需要使用一些组合数学的知识.如图 \ref{fig:error} 所示, $e_{n+1}^{k+1}$ 最终都将由 $e_{i}^{0}$ 和 $e_{0}^{j}$ 所表示.这个表示等价于由点 $e_{n+1}^{k+1}$ 逐步移动到边界上的其他点.而且只能向西或者向南移动,并且要覆盖每一种可能的路径.
+{\textbf{证明}} 为了证明该结论,需要使用一些组合数学的知识.如图 \ref{fig:error} 所示, $e_{n+1}^{k+1}$ 最终都将由 $e_{i}^{0}$ 和 $e_{0}^{j}$ 所表示.这个表示等价于由点 $e_{n+1}^{k+1}$ 逐步移动到边界上的其他点.而且只能向西或者向南移动,并且要覆盖每一种可能的路径.
 
 \begin{figure}[h]
   \centering
@@ -573,7 +575,7 @@ \subsection{离散时间的辛波形松弛方法的进一步讨论}
   \label{fig:error}
 \end{figure}
 
-这里选取一个作为例子来说明.想要将 $e_{n+1}^{k+1}$ 移动到 $e_{i}^{0}$, 需要向西移动 $n+1-i$ 步,向南移动 $k+1$ 步.每向西移动一步需要乘以因子 $\alpha$, 每向南移动一步需要乘以因子 $\beta$. 所有可能的路径数为 $\binom{k+n+2-i}{k+1}$. 所有有 $\beta^{k+1} \binom{k+n+2-i}{k+1} \alpha^{n+1-i}e_{i}^{0}$. 类似地,为了移动到 $e_{0}^{j}$, 有 $\alpha^{n+1} \binom{n+k+2-j}{n+1} \beta^{k+1-j}e_{0}^{j}$. 把这些结果加起来,就证明了该结论.
+这里选取一个作为例子来说明.想要将 $e_{n+1}^{k+1}$ 移动到 $e_{i}^{0}$, 需要向西移动 $n+1-i$ 步,向南移动 $k+1$ 步.每向西移动一步需要乘以因子 $\alpha$, 每向南移动一步需要乘以因子 $\beta$. 所有可能的路径数为 $\binom{k+n+2-i}{k+1}$, 所以有 $\beta^{k+1} \binom{k+n+2-i}{k+1} \alpha^{n+1-i}e_{i}^{0}$. 类似地,为了移动到 $e_{0}^{j}$, 有 $\alpha^{n+1} \binom{n+k+2-j}{n+1} \beta^{k+1-j}e_{0}^{j}$. 把这些结果加起来,就证明了该结论.
 
 从引理 \ref{lem:error} 可以看出,能够得到一个波形松弛方法误差的精确公式.对于波形松弛方法来说,所有的 $e_{0}^{j}$ 都为零.所以能够得到隐式欧拉波形松弛方法上面的误差结果.
 
@@ -650,7 +652,7 @@ \subsection{离散时间的辛波形松弛方法的进一步讨论}
 \section{流形上基于波形松弛的李群方法}\label{sec:04wrmani}
 \esection{Lie Group Method Based on the WR Method on Manifolds}
 
-在这一节里,将介绍适用于一些特定流形上计算的数值方法.该类方法利用了在流形上的作用的李群结构,和其相应的线性空间,即李代数,以及指数映射.
+在这一节里,将介绍适用于一些特定流形上计算的数值方法.该类方法利用了在流形上的作用的李群结构,和其相切的线性空间,即李代数,以及指数映射.
 
 首先考虑这样一类矩阵方程
 \begin{equation*}
@@ -773,7 +775,7 @@ \subsubsection{矩阵李群基本概念}
 \begin{equation*}
 	\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+\cdots=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{B_j}{j!}x^j,
 \end{equation*}
-式中 $B_j$ 是伯努利数.该数列在解析数论的黎曼猜想里有着重要的作用.因此,有如下展开
+式中 $B_j$ 是伯努利数.伯努利数在解析数论的黎曼猜想里有着重要的作用.因此,有如下展开
 \begin{equation*}
 	dexp_A^{-1}(C)=C-\frac{1}{2}[A,C]+\frac{1}{12}[A,[A,C]]+\cdots=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{B_j}{j!}ad^j_AC.
 \end{equation*}
@@ -786,7 +788,7 @@ \subsubsection{矩阵李群基本概念}
 	\end{equation*}}
 \end{definition}
 
-然后通过 $dexp^{-1}$ 来求得 BCH 公式.定义一个函数 $bch:\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ 满足
+然后通过 $dexp^{-1}$ 来求得 Baker–Campbell–Hausdorff(BCH) 公式.定义一个函数 $bch:\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ 满足
 \begin{equation*}
 	\mbox{expm}(bch(A,B))=\mbox{expm}(A)\mbox{expm}(B).
 \end{equation*}
@@ -804,8 +806,8 @@ \subsubsection{矩阵李群基本概念}
 	C'(t)=dexp_{C(t)}^{-1}(A).
 \end{equation*}
 
-于是,有如下定理
-\begin{theorem}
+于是,得到如下定理
+\begin{theorem}[BCH 公式 \cite{arieh2005liegroup}]
 	\emph{函数 $C=bch(A,B)$ 可以由如下的微分方程来计算
 	\begin{equation*}
 		C'(t)=dexp_{C(t)}^{-1}(A),\quad 0\leq t\leq 1,\quad C(0)=B,
@@ -813,7 +815,7 @@ \subsubsection{矩阵李群基本概念}
 	式中 $C(1)=bch(A,B)$.}
 \end{theorem}
 
-可以看到,该微分方程右端的式子,可以由前面的展开式得到近似,这对于设计求解李群方程的数值方法有着重要的作用.
+可以看到,该微分方程右端的式子,可以由前面的展开式得到近似,这对于设计求解李群方程的数值方法有着重要的作用,也就引出了我们的李群方法.
 
 关于流形上的李群方法,通常来说有两种手段,一种是 Crouch-Grossman 方法 \cite{crouch1993numerical,klein2013numerical,munthe2013onpost,sonneville2014geome,bras2011anonlinear,kroshko2011integrating} ,另一种是 RK-MK \cite{arieh2005liegroup} 方法.
 
@@ -823,7 +825,7 @@ \subsubsection{Crouch-Grossman 方法}
 
 从本质上讲,该算法是将 Runge-Kutta 方法作用到李群方程上的一个有效尝试.该方法通过不断地冻结和融化系数,保证了解的流在流形的配置空间上.
 
-该方法的基本思想是,先沿着一个方向走一小步,然后利用指数映射,将结果投射到流形上.每次都这样,直到完成一步 Runge-Kutta 的步骤.因此,经过一个 CG 方法迭代,数值结果还在流形上.尽管该结果也会带来误差,但是不会脱离流形.
+该方法的基本思想是,先沿着一个方向走一小步,然后利用指数映射,将结果投射到流形上.每次都这样,直到完成一整步 Runge-Kutta 的步骤.因此,经过一个 CG 方法迭代,数值结果还在流形上.尽管该结果也会带来误差,但是不会脱离流形.
 
 对比 Runge-Kutta 法, Crouch-Grossman 方法的基本形式是
 \begin{equation*}
@@ -859,7 +861,7 @@ \subsubsection{RK-MK 方法}
 相比之下, RK-MK 方法更加实用.这些方法又叫做 RK-MK 类方法,方法及其理论由陆续的几篇文章 \cite{mk1996lie,mk1997numerical,mk1998runge,mk1999high} 建立起来.该方法和 CG 方法类似,利用了指数映射.不同的是, CG 方法每走一小步都要求落回到流形上, RK-MK 方法先在李代数这个线性空间上进行计算,最后用指数映射保证这一步的计算结果在流形上.
 
 该方法建立在如下的理论上.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[指数映射的微分 \cite{arieh2005liegroup}]
 	\emph{对于很小的 $t\geq 0$, 李群方法的解有如下的形式
 	\begin{equation*}
 		Y(t)=\mbox{expm}(\Theta(t))Y_0,
@@ -871,7 +873,7 @@ \subsubsection{RK-MK 方法}
 	这里的 $dexp$ 为指数映射的微分.}
 \end{theorem}
 
-该定理告诉我们,如果能够求得 $\Theta(t)$, 就可以代入这个解,求得李群方程的解.首先,给出 Butcher 表
+该定理告诉我们,如果能够求得 $\Theta(t)$, 代入这个解,就可以求得李群方程的解.首先,给出 Butcher 表
 \begin{center}
   \begin{tabular}{c|cccc}
     $c_1$&$a_{11}$&$a_{12}$&$\cdots$&$a_{1\nu}$\\
@@ -897,7 +899,7 @@ \subsubsection{RK-MK 方法}
 	\end{aligned}
 \end{equation*}
 
-可以看到,这里的 $dexp_{\Theta_k}^{-1}(A_k)$ 可以用前面的展开式进行计算,为了简化,这里只需展开几项进行计算.
+实际应用中,这里的 $dexp_{\Theta_k}^{-1}(A_k)$ 可以用前面的展开式进行计算,为了简化,这里只需展开几项进行计算.
 
 需要注意的是,为了计算 $ad^j_AC$, 需要如下递推公式得到
 \begin{equation*}
@@ -908,7 +910,7 @@ \subsubsection{RK-MK 方法}
 \end{equation*}
 
 展开的项数也有要求,可以根据如下定理.
-\begin{theorem}
+\begin{theorem}[RK-MK 方法阶数 \cite{qin2011struc}]
 	\emph{若 Runge-Kutta 方法有 $p$ 阶, $dexp^{-1}$ 展开式中取到 $q$ 项,且 $q\geq p-1$, 则相应的 RK-MK 方法为 $p$ 阶的.}
 \end{theorem}
 
@@ -947,7 +949,7 @@ \subsubsection{RK-MK 方法}
 
 注意到,上面的方法是显式的,这样的计算是很容易的.但是尽管这样计算具有便利性,该计算却不能具有其他很好的效果,如果一个李群方程不仅要求数值结果在流形上,而且要求该数值方法保持某些结构,可能需要一些隐式方法来求解.这个问题类比于哈密尔顿系统,有一个守恒量,但是目前的方法只能保证结果在流形上,却无法保证在流形上有保结构的结果.
 
-对于上面的不足,对于一些情况,需要隐式的 RK-MK 方法,于是就有了对其的显式改造,即利用波形松弛方法进行改造.
+对于上面的不足,如果要求保证守恒性质,需要隐式的 RK-MK 方法,于是就有了我们对其的显式改造,即利用波形松弛方法进行改造.
 
 %\section{流形上的波形松弛方法}\label{sec:04wrmani}
 %\esection{Waveform Relaxation Methods on Manifolds}
@@ -1070,7 +1072,7 @@ \subsection{主要方法讨论}
 
 %\subsection{基本算法}
 %\esubsection{Algorithm}
-为了得到较好的计算格式,和辛波形松弛方法一样,继续引入窗口技术,得到如下含有多重循环的算法 \ref{alg:04sym}.
+为了得到较好的计算格式,和辛波形松弛方法一样,还需引入窗口技术,得到如下含有多重循环的算法 \ref{alg:04sym}.
 
 \begin{algorithm}
 \caption{李群方程加窗口的波形松弛方法}
@@ -1130,7 +1132,7 @@ \section{数值实验}\label{sec:03numerical}
   \label{fig:para2}
 \end{figure}
 
-\subsection*{例 1}
+\subsection*{算例 1}
 考虑如下的一维 sin-Gordon 方程
 \begin{equation}\label{eq:singordon}
   \left \{ \begin{array}{l}
@@ -1220,7 +1222,7 @@ \subsection*{例 1}
   \label{fig:ex1winerr}
 \end{figure}
 
-\subsection*{例 2}
+\subsection*{算例 2}
 考虑 Fermi-Pasta-Ulam 问题 \cite{hairer2006geometric}. 其哈密尔顿函数为
 \begin{equation*}
   \begin{aligned}
@@ -1246,7 +1248,7 @@ \subsection*{例 2}
 \end{equation*}
 并且其他的初值为 $0$.
 
-首先考虑辛欧拉波形松弛方法~\eqref{eq:schemejacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, 步长为 $h = 10^{-3}$, 波形松弛迭代次数为 $k=20$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex2seucom} 展示了辛欧拉波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.全局最大误差为 $0.0195$.
+首先,考虑辛欧拉波形松弛方法~\eqref{eq:schemejacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, 步长为 $h = 10^{-3}$, 波形松弛迭代次数为 $k=20$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex2seucom} 展示了辛欧拉波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.全局最大误差为 $0.0195$.
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
@@ -1256,7 +1258,7 @@ \subsection*{例 2}
   \label{fig:ex2seucom}
 \end{figure}
 
-其次,考虑辛 Runge-Kutta 波形松弛方法~\eqref{eq:schemerkjacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, 步长为 $h = 1/100$, 波形松弛迭代次数为 $k=30$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex2srkcom} 展示了辛 Runge-Kutta 波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.在本例中使用了表 \ref{tbl:rk} 中的 Butcher 表,其中 $a = 1.351207$. 全局最大误差为 $1.0948e-06$.
+之后,考虑辛 Runge-Kutta 波形松弛方法~\eqref{eq:schemerkjacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, 步长为 $h = 1/100$, 波形松弛迭代次数为 $k=30$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex2srkcom} 展示了辛 Runge-Kutta 波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.在本例中使用了表 \ref{tbl:rk} 中的 Butcher 表,其中 $a = 1.351207$. 全局最大误差为 $1.0948e-06$.
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
@@ -1266,7 +1268,7 @@ \subsection*{例 2}
   \label{fig:ex2srkcom}
 \end{figure}
 
-\subsection*{例 3}
+\subsection*{算例 3}
 考虑如下的非线性波动方程 \cite{wu2013struc}
 \begin{equation}\label{eq:nonlinwave}
   \left \{ \begin{array}{l}
@@ -1322,7 +1324,7 @@ \subsection*{例 3}
   q_{N-1}^4 + \frac{1}{30} q_{N-1}^3.
 \end{equation*}
 
-首先考虑辛欧拉波形松弛方法~\eqref{eq:schemejacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, $N=20$, 步长为 $h = 10^{-3}$, 波形松弛迭代次数为 $k=10$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex3seucom} 展示了辛欧拉波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.全局最大误差为 $0.0506$.
+首先,考虑辛欧拉波形松弛方法~\eqref{eq:schemejacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, $N=20$, 步长为 $h = 10^{-3}$, 波形松弛迭代次数为 $k=10$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex3seucom} 展示了辛欧拉波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.全局最大误差为 $0.0506$.
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
@@ -1332,7 +1334,7 @@ \subsection*{例 3}
   \label{fig:ex3seucom}
 \end{figure}
 
-其次,考虑辛 Runge-Kutta 波形松弛方法~\eqref{eq:schemerkjacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, $N=20$, 步长为 $h = 1/100$, 波形松弛迭代次数为 $k=30$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex3srkcom} 展示了辛 Runge-Kutta 波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.在本例中使用了表 \ref{tbl:rk} 中的 Butcher 表,其中 $a = 1.351207$. 全局最大误差为 $3.7003e-05$.
+之后,考虑辛 Runge-Kutta 波形松弛方法~\eqref{eq:schemerkjacobi}. 取 $t_{\text{end}} = 10$, $N=20$, 步长为 $h = 1/100$, 波形松弛迭代次数为 $k=30$. 对于窗口加速方法,取每个时间窗口为 $0.1$. 图 \ref{fig:ex3srkcom} 展示了辛 Runge-Kutta 波形松弛方法无窗口加速(左图)和有窗口加速(右图)的比较.发现经典的波形松弛方法需要更多的步数才能收敛.在本例中使用了表 \ref{tbl:rk} 中的 Butcher 表,其中 $a = 1.351207$. 全局最大误差为 $3.7003e-05$.
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
@@ -1351,7 +1353,7 @@ \subsection*{例 3}
   \label{fig:wavefig}
 \end{figure}
 
-\subsection*{例 4}
+\subsection*{算例 4}
 最后给出一个计算的李群方程的例子,这个例子基于如下形式的三阶常微分方程
 
 \begin{equation*}
@@ -1404,7 +1406,7 @@ \subsection*{例 4}
 
 可以看到,第一个守恒量描述刚体的形状不变,第二个则描述动能守恒.该问题的解可以看作是一个球体和一个椭球的交线,因此,该解在一个稳定的椭圆上.
 
-这里,使用表 \ref{tbl:04rk3} 中的 Butcher 表,该表对应的 Runge-Kutta 法是一个辛方法.
+算例中,使用表 \ref{tbl:04rk3} 中的 Butcher 表,该表对应的 Runge-Kutta 法是一个辛方法,其中 $a = 1.351207$.
 
 \begin{table}[h!]
   \centering
@@ -1418,7 +1420,6 @@ \subsection*{例 4}
     & $a$ &$a$ & $1-2a$\\
   \end{tabular}
 \end{table}
-其中$a = 1.351207$.
 
 通过计算,能得到如下的数值结果,如图 \ref{fig:rkmk3}. 可以看出,该方法能够保持原格式应有的效果,得到了一个保结构的数值算法.这里,取步长为 $0.3$, 共取了 $500$ 步,分 $10$ 个窗口计算.
 
@@ -1431,7 +1432,7 @@ \subsection*{例 4}
 
  \section{小结}\label{sec:03conclusion}
  \esection{Brief Summary}
-在本章中,我们首先提出了求解哈密尔顿系统的辛波形松弛方法.该方法指明了针对该系统应该如何选择分裂函数的问题.为了加速算法,使用了窗口加速技术.我们从连续系统和离散系统两个方面给出了系统哈密尔顿量在迭代下收敛到守恒的量的性质,并在数值结果中验证了这一点.我们还给出了算法的基本流程.
+在本章中,我们首先提出了求解哈密尔顿系统的辛波形松弛方法.该方法给出了针对该系统应该如何选择分裂函数问题的一个可行性建议.为了加速算法,使用了窗口加速技术.我们从连续系统和离散系统两个方面给出了系统哈密尔顿量在迭代下收敛到守恒的量的性质,并在数值结果中验证了这一点.
 
 其次,在此基础上,我们对李群方法做出了详细地介绍,分析了其优点和不足,并对隐式的 RK-MK 方法提出了一种改进方法,即用波形松弛方法进行修正.该方法能够缓解隐式 RK-MK 方法的复杂性计算问题,把隐式的计算化为较为简单的显式或者半隐式问题,并用窗口技术进行加速.
 
diff --git a/body/05_conclusion.tex b/body/05_conclusion.tex
index bcc6cc9..5205dc6 100644
--- a/body/05_conclusion.tex
+++ b/body/05_conclusion.tex
@@ -3,11 +3,11 @@ \chapter{结论与展望}
 在本章, 将总结前面章节的主要内容, 并为下一步的研究工作进行展望.
 \section{结论}
 \esection{Conclusions}
-本博士论文主要围绕辛方法,波形松弛方法和李群方法进行了一些数值方法和解析方法的研究.
-通过对不守恒的系统进行变换得到了形式较好的守恒系统.通过对隐式格式的修正得到了较为
-容易的显式格式.通过李点对称变换得到了形式较为简单的约化方程.具体内容包括以下几个方面:
+本博士论文主要围绕辛方法,波形松弛方法和李群方法开展了一些数值方法和解析方法的研究.
+通过对不守恒的系统进行变换得到了形式较好的守恒系统;通过对隐式格式的修正得到了较为
+容易的显式格式;通过李点对称变换得到了形式较为简单的约化方程.具体内容包括以下几个方面:
 
-(一) 在第~2~章,提出了一种新的求解带有齐次边界条件的电报方程的方法.该方法有效
+(一) 提出了一种新的求解带有齐次边界条件的电报方程的方法.该方法有效
 利用了一个将非哈密尔顿系统化为哈密尔顿系统的变换,结合了辛方法的特性,得到了
 较好的效果.本章中,讨论了该算法的阶条件、CFL 条件、长时间性质和局限性.在空间离散上
 取了二阶的离散格式,得到了 $O(\Delta x^2+ \Delta t^k)$ 的误差界. 该方法的一个优点是
@@ -17,12 +17,12 @@ \section{结论}
 的辛格式,其他合适的辛格式也可以使用进来.非齐次的问题,需要增加两个分量来求解,该部分
 在文中注解部分有所提及.
 
-(二) 在第~3~章, 将复合变分准则应用到了 (2+1) 维拓展 QZK 方程.应用这些李点对称,
-证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是自共轭的,并且构造了其守恒律.接着,给出了一维子代数
+(二) 将复合变分准则应用到了 (2+1) 维拓展 QZK 方程.应用这些李点对称,
+证明了 (2+1) 维拓展 QZK 方程是严格自共轭的,并且构造了其守恒律.接着,给出了一维子代数
 最优系统.通过相应的相似不变量的相似变换, (2+1) 维拓展 QZK 方程变为线性的偏微分方程.
 说明了李点对称方法对于拓展 QZK 方程是有效的,该结果对研究该方程起到了积极的指导作用.
 
-(三) 在第~4~章,对波形松弛方法和辛方法做了介绍,并将其应用到哈密尔顿系统上,
+(三) 对波形松弛方法和辛方法做了介绍,并将其应用到哈密尔顿系统上,
 提出了求解哈密尔顿系统的辛波形松弛方法,得到了一个很好的设计该格式的等式.该方法
 结合了辛方法和波形松弛方法双方的优势,解决了求解隐式辛格式的困难,同时指明了针对该
 系统应该如何选择分裂函数的问题.使用窗口加速技术来加速该方法.在辛波形松弛方法的
diff --git a/body/acknowledgements.tex b/body/acknowledgements.tex
index 02d089a..542557e 100644
--- a/body/acknowledgements.tex
+++ b/body/acknowledgements.tex
@@ -5,16 +5,16 @@
 是老师给了我一个相对自由的学习空间,让我这些年不受世俗所累安心学习.蒋老师付出的每一分汗水,每一次教诲我都铭记在心,
 并以此作为指引我走好前方的路.
 
-我还要感谢在交大教过我的每一位老师,特别是数学分析课程的李惜雯老师,使我领略到了数学的严谨;拓扑学课上的李洪军老师,
+其次要感谢在交大教过我的每一位老师,特别是数学分析课程的李惜雯老师,使我领略到了数学的严谨;拓扑学课上的李洪军老师,
 将枯燥的课程讲得那样有趣;我重修体育课的张军老师,给我很大的帮助.
 
-我要感谢我的父母,爷爷奶奶及家人,辛辛苦苦把我培养大,不辞辛苦,任劳任怨,对我无私地投入与教导,才有了现在的我.
+我特别要感谢我的父母,爷爷奶奶及家人,辛辛苦苦把我培养大,不辞辛苦,任劳任怨,对我无私地投入与教导,才有了现在的我.
 
-我要感谢我认识的和认识我的每一个人,他们带我了解了不同的世界,我也从他们那里学到了不少知识.其中包括TUNA组织和里面的朋友们,
+还要感谢我认识的和认识我的每一个人,他们带我了解了不同的世界,我也从他们那里学到了不少知识.其中包括TUNA组织和里面的朋友们,
 xiaq(肖骐),大鹰(汪彧之),康哥(王康)等;我很佩服的姬神(孔祥杰);我很好的朋友们,郑捷宇,张戈,钱黎黎等;打网球的朋友们,
 高婷,张晓荷,唐杏,吴杰等;以及认识的大神冯雪,董老师董梦馨,张康,朱婕等等.
 
-我还要感谢同师门的师兄弟姐妹们,是他们让我变得强大,羽翼丰满.他们是张辉,李立,高宁,陈芳,孔旭,刘军,王晓龙,陈海宝,黄芬芬,李荣建,
+最后,我要感谢同师门的师兄弟姐妹们,是他们让我变得强大,羽翼丰满.他们是张辉,李立,高宁,陈芳,孔旭,刘军,王晓龙,陈海宝,黄芬芬,李荣建,
 宋博,刘亚婧,杨媚,彭国俊,丁小丽,许微微,贾纪腾,肖志华,祁振中,袁嘉薇,梁猛,王彦斐,陈诚,杨云波,孙希超,邓定文,邱志勇,杨钧满,苗真,张伟等.
 还有工作了的师兄师姐李辉,高静,康艳梅,王宇莹等.
 
diff --git a/body/denotation.tex b/body/denotation.tex
index d0bb4f8..9e7dd38 100644
--- a/body/denotation.tex
+++ b/body/denotation.tex
@@ -3,8 +3,9 @@
         \item[$I$]                       单位矩阵
         \item[$\mathbb{R}$]              实数域
         \item[$\mathbb{R}^n$]           $n$~维实欧氏空间
-        \item[$\mathbb{C}$]              实数域
+        \item[$\mathbb{C}$]              复数域
         \item[$\mathbb{C}^n$]          $n$~维复欧氏空间
+        \item[$\bar{A}$]					$A$~的共轭
         \item[$\wedge$]					楔积
         \item[$a^T$]          矩阵~$a$~的转置
         \item[$\mathcal{G}$]              $\mathcal{G}$~为李群
diff --git a/reference/phdthesis.bib b/reference/phdthesis.bib
index 44e11ea..7ce1b42 100644
--- a/reference/phdthesis.bib
+++ b/reference/phdthesis.bib
@@ -23,7 +23,7 @@ @article{abdou2011quant
 @article{adomian1988areview,
    author = {Adomian, G},
    title = {A review of the decomposition method in applied mathematics},
-   journal = {Journal of mathematical analysis and applications},
+   journal = {Journal of Mathematical Analysis and Applications},
    volume = {135},
    number = {2},
    pages = {501-544.},
@@ -45,7 +45,7 @@ @article{ahmed2013kinks
 @article{bellen1994contractivity,
    author = {Bellen, A and Jackiewicz, Z and Zennaro, M},
    title = {Contractivity of waveform relaxation {Runge-Kutta} iterations and related limit methods for dissipative systems in the maximum norm},
-   journal = {SIAM journal on numerical analysis},
+   journal = {SIAM Journal on Numerical Analysis},
    volume = {31},
    number = {2},
    pages = {499-523.},
@@ -56,7 +56,7 @@ @article{bellen1994contractivity
 @article{bellen1993use,
    author = {Bellen, A and Zennaro, M},
    title = {The use of {Runge-Kutta} formulae in waveform relaxation methods},
-   journal = {Applied numerical mathematics},
+   journal = {Applied Numerical Mathematics},
    volume = {11},
    number = {1},
    pages = {95-114.},
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 @article{biswas20091soli,
    author = {Biswas, A},
-   title = {1-Soliton solution of the generalized {Zakharov–Kuznetsov} equation with nonlinear dispersion and time-dependent coefficients},
+   title = {1-soliton solution of the generalized {Zakharov–Kuznetsov} equation with nonlinear dispersion and time-dependent coefficients},
    journal = {Physics Letters A},
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    number = {33},
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 @article{bras2011anonlinear,
    author = {Bras, S and Cunha, R and Vasconcelos, JF and {et al}},
-   title = {A Nonlinear Attitude Observer Based on Active Vision and Inertial Measurements},
+   title = {A nonlinear attitude observer based on active vision and inertial measurements},
    journal = {IEEE Transactions on Robotics},
    volume = {27},
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 @article{buono2003numerical,
    author = {Buono, ND and Lopez, L},
-   title = {Numerical Integration of a Class of Ordinary Differential Equations on the General Linear Group of Matrices},
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 @article{godleswski2004the,
    author = {Godlewski, E and Raviart, PA},
-   title = {The numerical interface coupling of nonlinear hyperbolic systems of conservation laws: I. The scalar case},
+   title = {The numerical interface coupling of nonlinear hyperbolic systems of conservation laws: I. the scalar case},
    journal = {Numerische Mathematik},
    volume = {97},
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 }
 
 @article{guner2015bright,
-   author = {G\"{U}NER, {\"{O}} and Bekir, A and Moraru, L and {et al}},
+   author = {G\"{u}ner, {\"{O}} and Bekir, A and Moraru, L and {et al}},
    title = {Bright and dark soliton solutions of the generalized {Zakharov-Kuznetsov-Benjamin-Bona-Mahony} nonlinear evolution equation},
-   journal = {Proceedings of the romanian academy series a-mathematics physics technical sciences information science},
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    volume = {16},
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 @article{hong2006multi,
    author = {Hong, JL and Liu, HY and Sun, G},
    title = {The multi-symplecticity of partitioned {Runge-Kutta} methods for Hamiltonian PDEs},
-   journal = {Mathematics of computation},
+   journal = {Mathematics of Computation},
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    number = {253},
    pages = {167-181.},
@@ -320,7 +320,7 @@ @article{hong2006multi
 @article{hong2000numerical,
    author = {Hong, JL and Liu, Ying},
    title = {Numerical simulation of periodic and quasiperiodic solutions for nonautonomous {Hamiltonian} systems via the scheme preserving weak invariance},
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 @article{jiang2006windowing,
    author = {Jiang, YL},
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    journal = {Acta Mathematicae Applicatae Sinica},
    volume = {22},
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@@ -396,7 +396,7 @@ @article{jiwari2012numerical
 
 @article{johnpilai2011sym,
    author = {Johnpillai, AG and Kara, AH and Biswas, A},
-   title = {Symmetry Solutions and Reductions of a Class of Generalized. 2 C 1/-dimensional Zakharov–Kuznetsov Equation},
+   title = {Symmetry solutions and reductions of a class of generalized. 2 C 1/-dimensional Zakharov–Kuznetsov equation},
    journal = {International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation},
    volume = {12},
    number = {1-8},
@@ -418,7 +418,7 @@ @article{kalogiratou2014fourth
 
 @article{kalogiratou2015,
    author = {Kalogiratou, Z and Monovasilis, TH and Simos, TE},
-   title = {Symplectic {Runge-Kutta-N}ystr\"{o}m Methods with Phase-Lag Oder 8 and Infinity},
+   title = {Symplectic {Runge-Kutta-N}ystr\"{o}m methods with phase-lag order 8 and infinity},
    journal = {Applied Mathematics},
    volume = {9},
    number = {3},
@@ -430,7 +430,7 @@ @article{kalogiratou2015
 @article{khan2008linear,
    author = {Khan, SA and Masood, W},
    title = {Linear and nonlinear quantum ion-acoustic waves in dense magnetized electron-positron-ion plasmas},
-   journal = {Physics of Plasmas (1994-present)},
+   journal = {Physics of Plasmas},
    volume = {15},
    number = {6},
    pages = {062301-062301-6.},
@@ -483,7 +483,7 @@ @article{ladics2015error
 @article{lelarasmee1982waveform,
    author = {Lelarasmee, E and Ruehli, AE and Sangiovanni-Vincentelli, AL},
    title = {The waveform relaxation method for time-domain analysis of large scale integrated circuits},
-   journal = {Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, IEEE Transactions on},
+   journal = {IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems},
    volume = {1},
    number = {3},
    pages = {131-145.},
@@ -537,7 +537,7 @@ @article{linares2011local
 @article{liu2011waveform,
    author = {Liu, J and Jiang, YL},
    title = {Waveform relaxation for reaction–diffusion equations},
-   journal = {Journal of computational and applied mathematics},
+   journal = {Journal of Computational and Applied Mathematics},
    volume = {235},
    number = {17},
    pages = {5040-5055.},
@@ -582,7 +582,7 @@ @article{morris2013soli
 @article{moslem2007soli,
    author = {Moslem, WM and Ali, S and Shukla, PK and Tang, XY and {et al}},
    title = {Solitary, explosive, and periodic solutions of the quantum {Zakharov-Kuznetsov} equation and its transverse instability},
-   journal = {Physics of Plasmas (1994-present)},
+   journal = {Physics of Plasmas},
    volume = {14},
    number = {8},
    pages = {1064-1070.},
@@ -604,7 +604,7 @@ @article{mothibi2015con
 @article{moussa2001simi,
    author = {Moussa, MHM},
    title = {Similarity solutions to non-linear partial differential equation of physical phenomena represented by the {Zakharov–Kuznetsov} equation},
-   journal = {International journal of engineering science},
+   journal = {International Journal of Engineering Science},
    volume = {39},
    number = {14},
    pages = {1565-1575.},
@@ -658,7 +658,7 @@ @article{mk1999high
 
 @article{munthe2013onpost,
    author = {Munthe-Kaas, HZ and Lundervold, A},
-   title = {On post-Lie algebras, Lie–Butcher series and moving frames},
+   title = {On {post-Lie algebras, Lie–Butcher} series and moving frames},
    journal = {Foundations of Computational Mathematics},
    volume = {13},
    number = {4},
@@ -670,10 +670,10 @@ @article{munthe2013onpost
 @article{mushtaq2005non,
    author = {Mushtaq, A and Shah, HA},
    title = {Nonlinear {Zakharov–Kuznetsov} equation for obliquely propagating two-dimensional ion-acoustic solitary waves in a relativistic, rotating magnetized electron-positron-ion plasma},
-   journal = {Physics of Plasmas (1994-present)},
+   journal = {Physics of Plasmas},
    volume = {12},
    number = {7},
-   pages = {-.},
+   pages = {072306-072306-8.},
    year = {2005},
    type = {Journal Article}
 }
@@ -713,7 +713,7 @@ @article{ostermann2010exponential
 
 @article{owren2000the,
    author = {Owren, B and Welfert, B},
-   title = {The Newton Iteration on Lie Groups},
+   title = {The {Newton iteration on Lie} groups},
    journal = {Bit Numerical Mathematics},
    volume = {40},
    number = {1},
@@ -736,7 +736,7 @@ @article{peng2008exact
 @article{sabry2009non,
    author = {Sabry, R and Moslem, WM and Haas, F and {et al}},
    title = {Nonlinear structures: explosive, soliton and shock in a quantum electron-positron-ion magnetoplasma},
-   journal={Physics of Plasmas (1994-present)},
+   journal={Physics of Plasmas},
    volume={15},
    number={12},
    pages={837-849.},
@@ -1008,6 +1008,17 @@ @article{zhang2010anote
    type = {Journal Article}
 }
 
+@article{munro2014con,
+    author={Muatjetjeja, B and Khalique, CM},
+    title={Conservation laws for a variable coefficient variant Boussinesq system},
+    journal={Abstract \& Applied Analysis},
+    volume={2014},
+    number={3},
+    pages={1-5.},
+    year={2013},
+    type = {Journal Article}
+}
+
 @book{billo1992numerical,
    author = {Billo, EJ},
    title = {Numerical Integration of Ordinary Differential Equations Part II: Boundary Conditions[M]},
@@ -1021,7 +1032,7 @@ @book{bluman2008symmetry
    author = {Bluman, GW and Anco, S},
    title = {Symmetry and Integration Methods for Differential Equations[M]},
    publisher = {Springer},
-   address = {Springer New York},
+   address = {New York},
    year = {2008.},
    type = {Book}
 }
@@ -1030,7 +1041,7 @@ @book{bluman2010appli
    author = {Bluman, GW and Cheviakov, AF and Anco, SC},
    title = {Applications of symmetry methods to partial differential equations[M]},
    publisher = {Springer},
-   address = {Springer New York},
+   address = {New York},
    year = {2010.},
    type = {Book}
 }
@@ -1048,7 +1059,7 @@ @book{feng2010symplectic
    author = {Feng, K and Qin, MZ},
    title = {Symplectic Geometric Algorithms for {Hamiltonian} Systems[M]},
    publisher = {Springer},
-   address = {Springer Berlin Heidelberg},
+   address = {Berlin},
    year = {2010.},
    type = {Book}
 }
@@ -1064,7 +1075,7 @@ @book{frankel2011geometry
 
 @book{hairer2006geometric,
    author = {Hairer, E and Lubich, C and Wanner, G},
-   title = {Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations[M]},
+   title = {Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations[M]},
    publisher = {Springer},
    address = {Springer Berlin Heidelberg},
    year = {2006.},
@@ -1091,7 +1102,7 @@ @book{arieh2009afirst
 
 @book{kirillov2008anintro,
    author = {Kirillov, AA},
-   title = {An introduction to Lie groups and Lie algebras[M]},
+   title = {An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras[M]},
    publisher = {Cambridge University Press},
    address = {Cambridge},
    year = {2008.},
@@ -1124,28 +1135,11 @@ @book{ludwig2000rf
    type = {Book}
 }
 
-@book{michalas2016numerical,
-   author = {Michalas, A and Kalogiratou, Z and Monovasilis, TH and {et al}},
-   title = {Numerical integration of Maxwell equations with symplectic integrators[C]},
-   booktitle = {American Institute of Physics Conference Series},
-   pages = {169-208},
-   year = {2016.},
-   type = {Conference Proceedings}
-}
-
-@book{munro2014con,
-   author = {Muatjetjeja, B and Khalique, CM},
-   title = {Conservation laws for a variable coefficient variant {Boussinesq} system[C]},
-   booktitle = {Abstract and Applied Analysis},
-   year = {2014.},
-   type = {Conference Proceedings}
-}
-
 @book{mk1997numerical,
    author = {Munthe-Kaas, HZ and Zanna, A},
    title = {Numerical Integration of Differential Equations on Homogeneous Manifolds[M]},
    publisher = {Springer},
-   address = {Springer Berlin Heidelberg},
+   address = {Berlin},
    year = {1997.},
    type = {Book}
 }
@@ -1161,7 +1155,7 @@ @book{olver2000app
 
 @book{polyanin2001handbook,
    author = {Polyanin, AD},
-   title = {Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists[M]},
+   title = {Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists[M]},
    publisher = {Chapman \& Hall},
    address = {London},
    year = {2001.},
@@ -1170,7 +1164,7 @@ @book{polyanin2001handbook
 
 @book{calvo1994numerical,
    author = {Sanz-Serna, JM and Calvo, MP},
-   title = {Numerical Hamiltonian problems, volume 7 of Applied Mathematics and Mathematical Computation[M]},
+   title = {Numerical Hamiltonian Problems, Volume 7 of Applied Mathematics and Mathematical Computation[M]},
    publisher = {Chapman \& Hall},
    address = {London},
    year = {1994.},
@@ -1188,7 +1182,7 @@ @book{wu2013struc
    author = {Wu, XY and You, X and Wang, B},
    title = {Structure-Preserving Algorithms for Oscillatory Differential Equations[M]},
    publisher = {Springer},
-   address = {Springer Berlin Heidelberg},
+   address = {Berlin},
    year = {2013.},
    type = {Book}
 }
@@ -1224,7 +1218,16 @@ @book{wanner1983fun
    author={Warner, FW},
    title={Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups[M]},
    publisher={Springer},
-   address = {Springer New York},
+   address = {New York},
    year={1983.},
    type = {Book}
 }
+
+@book{michalas2016numerical,
+   author = {Michalas, A and Kalogiratou, Z and Monovasilis, TH and {et al}},
+   title = {Numerical integration of Maxwell equations with symplectic integrators[C]//International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics},
+   booktitle = {American Institute of Physics Conference Series},
+   pages = {169-208},
+   year = {2016:169-208.},
+   type = {Conference Proceedings}
+}