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342.power-of-four.md

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题目地址(342. 4 的幂)

https://leetcode-cn.com/problems/power-of-four/

题目描述

给定一个整数 (32 位有符号整数)，请编写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。

示例 1:

输入: 16
输出: true
示例 2:

输入: 5
输出: false
进阶：
你能不使用循环或者递归来完成本题吗？

前置知识

  • 数论

公司

  • 百度
  • twosigma

思路

符合直觉的做法是不停除以 4 直到不能整除，然后判断是否为 1 即可。 代码如下：

while (num && num % 4 == 0) {
  num /= 4;
}
return num == 1;

但是这道题目有一个 follow up: “你是否可以不使用循环/递归完成”。因此我们需要换种思路。

我们先来看下，4 的幂次方用 2 进制表示是什么样的.

263.342.power-of-four-1

发现规律： 4 的幂次方的二进制表示 1 的位置都是在奇数位（且不在最低位），其他位置都为 0

我们还可以发现： 2 的幂次方的特点是最低位之外，其他位置有且仅有一个 1（1 可以在任意位置）

我们进一步分析，如果一个数字是四的幂次方，那么只需要满足：

  1. 是 2 的幂次方， 就能保证最低位之外，其他位置有且仅有一个 1
  2. 这个 1 不在偶数位置，一定在奇数位置

对于第一点，如果保证一个数字是 2 的幂次方呢？ 显然不能不停除以 2，看结果是否等于 1，这样就循环了。 我们可以使用一个 trick， 如果一个数字 n 是 2 的幂次方，那么 n & (n - 1) 一定等于 0， 这个可以作为思考题，大家思考一下。

对于第二点，我们可以取一个特殊数字，这个特殊数字，奇数位置都是 1，偶数位置都是 0，然后和这个特殊数字 求与， 如果等于本身，那么毫无疑问，这个 1 不再偶数位置，一定在奇数位置，因为如果在偶数位置，求与的结果就是 0 了 题目要求 n 是 32 位有符号整形，那么我们的特殊数字就应该是01010101010101010101010101010101(不用数了，一共 32 位)。

263.342.power-of-four-2

如上图，64 和这个特殊数字求与，得到的是本身。 8 是 2 的次方，但是不是 4 的次方，我们求与结果就是 0 了。

为了体现自己的逼格，我们可以使用计算器，来找一个逼格比较高的数字，这里我选了十六进制，结果是0x55555555。

263.342.power-of-four

代码见下方代码区。

说实话，这种做法不容易想到，其实还有一种方法。 如果一个数字是 4 的幂次方，那么只需要满足：

  1. 是二的倍数
  2. 减去 1 是三的倍数

代码如下：

return num > 0 && (num & (num - 1)) === 0 && (num - 1) % 3 === 0;

关键点

  • 数论
  • 2 的幂次方特点（数学性质以及二进制表示）
  • 4 的幂次方特点（数学性质以及二进制表示）

代码

语言支持：JS, Python

JavaScript Code：

/*
 * @lc app=leetcode id=342 lang=javascript
 *
 * [342] Power of Four
 */
/**
 * @param {number} num
 * @return {boolean}
 */
var isPowerOfFour = function (num) {
  // tag: 数论

  if (num === 1) return true;
  if (num < 4) return false;

  if ((num & (num - 1)) !== 0) return false;

  return (num & 0x55555555) === num;
};

Python Code:

class Solution:
    def isPowerOfFour(self, num: int) -> bool:
        if num == 1:
            return True
        elif num < 4:
            return False
        else:
            if not num & (num-1) == 0:
                return False
            else:
                return num & 0x55555555 == num

    # 另一种解法：将数字转化为二进制表示的字符串，利用字符串的相关操作进行判断
    def isPowerOfFour(self, num: int) -> bool:
        binary_num = bin(num)[2:]
        return binary_num.strip('0') == '1' and len(binary_num) % 2 == 1

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(1)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

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