diff --git a/RegT1E_HS22.tex b/RegT1E_HS22.tex index a90d31f..fcdc74e 100644 --- a/RegT1E_HS22.tex +++ b/RegT1E_HS22.tex @@ -7,12 +7,15 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Packages - +\usepackage{mutlicol} +\usepackage[export]{adjustbox} +\usepackage{bm} %% TODO: publish to CTAN \usepackage{tex/hsrstud} %% Language configuration \usepackage{polyglossia} + \setdefaultlanguage[variant=swiss]{german} %% License configuration @@ -23,6 +26,7 @@ lang={german}, ]{doclicense} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Metadata @@ -69,28 +73,7 @@ \section*{Lizenz} \setcounter{page}{1} \pagenumbering{arabic} -\section{Wichtige Funktionen} -\label{func} -\begin{tabular}{p{5cm} p{10cm}} - \includegraphics[width = 2.5cm]{img/Sprungfunktion.png} & - Sprungfunktion: \newline - Normierter Einschaltvorgang \newline - $ t<0 : u(t) = 0, \ newline - t \geqslant 0: u(t) = 1 $ \\ - - \includegraphics[width = 2.5cm]{img/Impulsfunktion.png} & - Impulsfunktion = Deltafunktion = \newline - Diracimpuls = Delta-Distribution \newline - Unendlicher kurzer normierter Impuls mit unendlicher Amplitude - - Mathematische Eigenschaften: - $\int\limits _{-\infty} ^{+\infty} f(t) \cdot \delta (t-t_0) dt = f(t_0)$ \newline - $\int\limits _{-\infty} ^{+\infty} f(t) \cdot \delta (t) dt = f(0)$\newline - $\int\limits _{-\infty} ^{+\infty} \delta (t) dt = 1$ \\ - %TODO: Find Graphic - & - $\varepsilon(t) = \begin{cases} 0$ für $ t<0 \\ 1 $für$ t \geq 0 \end{cases}$ \\ -\end{tabular} +%\input{include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex} \section{Begriffe} \begin{itemize} \item Prozess @@ -149,6 +132,7 @@ \section{Begriffe} \end{itemize} + \subsection{Grundglieder} \label{Grundglieder} \begin{itemize} @@ -176,32 +160,46 @@ \subsection{Grundglieder} \item PT\textsubscript{2}-Glied \begin{itemize} - \item %TODO: + \item Übertragungsglied mit Verhalten 2. Ordnung. + \item $T^2 \cdot \ddot{y}(t) + 2 \zeta T \cdot\dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t)$ \end{itemize} \item D-Glied(idealer Differenzierer) \begin{itemize} - \item %TODO: + \item Bildet die Zeitliche Ableitung des Signals, mit einer Verstärkung K. + \item $y(t) = K \cdot \frac{du(t)}{dt} = K\cdot \dot{u}(t)$ \end{itemize} \item DT$_1$-Glied \begin{itemize} - \item %TODO: + \item Realiserbar, im Gegensatz zum theoretischen D-Glied. + \item $T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot \dot{u}(t)$ \end{itemize} \item PI-, PD- PID-Glied (PDT$_1$ und PIDT$_1$) \begin{itemize} - \item %TODO: + \item Werden häufig als Regler eingesetzt. + \item Name setzt sich aus den Aktiven Pfaden zusammen. + \begin{itemize} + \item P: Proportional + \item I: integrierend + \item D: Differenzierend + \item P, I und D in Kombination sind Parallel + \item T\textsubscript{1,2,t} bezieht sich auf die vorangehende Komponente. + \end{itemize} + \item Berechnet sich aus Superposition der Teilantworten + \item $y(t) = A \cdot [K_P + K_I \cdot t + \frac{K_D}{T_C} \cdot e^{\frac{-t}{T_C}}]$ \end{itemize} \item Lead-Glied, Lag-Glied, Lead-Lag-Glied \begin{itemize} - \item %TODO: + \item Varianten von PDT\textsubscript{1}-Gliedern. + \item Unterscheiden sich im Vorzeichen von $K_P$ und $K_D$. \end{itemize} \end{itemize} \end{itemize} +\input{/LTI-Systeme/LTI-Systeme.tex} - -\section{Tabllen} +\section{Tabellen} \subsection*{Blockschaltbilder-DIN} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline @@ -232,22 +230,22 @@ \subsection*{Blockschaltbilder-DIN} \subsection*{Blockschaltbilder MatLab} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline - \textbf{Summierer} & - \textbf{Differenzbilder} & - \textbf{Konstante} & - \textbf{Proportionalglied} & - \textbf{Integrierer} \\ + \textbf{Summierer} & + \textbf{Differenzbilder} & + \textbf{Konstante} & + \textbf{Proportionalglied} & + \textbf{Integrierer} \\ \includegraphics[]{img/matlab/sum_block_icon.png} & \includegraphics[]{img/matlab/difference_block_icon.png} & \includegraphics[]{img/matlab/constant_block_icon.png} & \includegraphics[]{img/matlab/gain_block_icon.png} & - \includegraphics[]{img/matlab/integrator_block_icon.png} \\ + \includegraphics[]{img/matlab/integrator_block_icon.png} \\ \hline - \textbf{Totzeitglied} & - \textbf{Differenzierer} & - \textbf{} & - \textbf{} & - \textbf{} \\ + \textbf{Totzeitglied} & + \textbf{Differenzierer} & + \textbf{} & + \textbf{} & + \textbf{} \\ \includegraphics[]{img/matlab/transport_delay_block_icon.png} & \includegraphics[]{img/matlab/derivative_block_icon.png} & \\ diff --git a/RegT1E_HS22.xdv b/RegT1E_HS22.xdv index 0a58eaa..11f8746 100644 Binary files a/RegT1E_HS22.xdv and b/RegT1E_HS22.xdv differ diff --git a/img/DT-Glied.png b/img/DT-Glied.png index 5fee699..69fbdcd 100644 Binary files a/img/DT-Glied.png and b/img/DT-Glied.png differ diff --git a/include/Integraltransformationen/Integraltransformationen.tex b/include/Integraltransformationen/Integraltransformationen.tex new file mode 100644 index 0000000..bacb074 --- /dev/null +++ b/include/Integraltransformationen/Integraltransformationen.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +\section{Integraltransformationen} + +\subsubsection*{Faltung} + +$$y(t) = (x_1 * x_2)(t) = \int \limits _{-infty} ^{infty} x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau) d\tau$$ +\textbf{Eigenschaften:} +\begin{itemize} + \item Kommutativ ($f * g = g * f$) + \item Assoziatiov ($(f*(g*h)) = ((f*g)*h)$) + \item Distributiv ($f*(g+h)= f*g + f*h$) +\end{itemize} + +\subsection{Fourier-Reihe und Transformation} +\subsubsection*{Fourier-Reihe} +\begin{tabular}{p{4.5cm}p{14.5cm}} + Trigonometrische Form & + $x(t) = \frac{u_0}{2} + \sum \limits _{n = 1} ^{\infty} u_n \cdot cos(2\pi n f_0 \cdot t) + v_n \cdot sin(2\pi n f_0 \cdot t) $ + \newline $u_n = \frac{2}{T} \int \limits _{T} x(t) \cdot cos(2\pi n f_0 \cdot t)dt$ + \newline $v_n = \frac{2}{T} \int \limits _{T} x(t) \cdot sin(2\pi n f_0 \cdot t)dt$ + \\[20pt] + Harmonische Form & + $x(t) = r_0 + \sum \limits _{n = 1} ^{\infty} r_n \cdot cos(2\pi n f_0 \cdot t + \varpi_n)$ + \newline $r_0 = \frac{u_0}{2} = \frac{1}{T} \int \limits _{T} x(t) dt $ + $r_n > 0 = \sqrt{u_n^2 + v_n^2}$ + $\varphi = arg(u_n - j \cdot v_n) $ + \\ + Komplexe Form & + $x(t) = \sum \limits _{n= -\infty} ^{\infty} c_n \cdot e^{jn2\pi f_0 \cdot t}$ + \newline $c_n =\overline{c_{-n}} = \frac{1}{T} \int \limits _{0} ^{T} x(t) \cdot e^{-j n 2 \pi f_0 \cdot t} dt$ + \newline $ 2\pi f_0$ wird auch als \textbf{Kreisfrequenz} $\omega$ bezeichnet, $f_0$ = Frequenz des Grundsignals $x(t)$. + \\[20pt] + Umrechnung Koeffizienten & + $c_n =\overline{c_{-n}} = \frac{a_n - jb_n}{2} (n = 0,1,2,3,..., b_0 =0)$ + \newline $a_n = 2 \cdot Re(c_n); \; b_n = -2 \cdot Im(c_n) (n = 0,1,2,3,..., b_0 =0)$\\ +\end{tabular} + + +\subsubsection*{Fouriertransformation $\mathcal{F}(\omega)$} +$$ X(\omega) = \mathcal{F}[x(t)] = \int \limits _{-\infty} ^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j \omega t} dt $$ +$$ x(t) = \mathcal{F}^{-1}[X(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int \limits _{- \infty} ^{+ \infty} X(\omega) \cdot e^{j \omega t} d\omega$$ + +\subsubsection*{Komplex sin/cos} + +$$cos \varphi = \frac{e^{j\varphi}+ e^{-j\varphi}}{2}, \; sin \varphi = \frac{e^{j\varphi} - e^{-j\varphi}}{2j} $$ + +\subsection{Laplace-Transformation} +TODO: %LAPLAAAAAAAAACEEEE + +\subsection{Hilbert-Transformation} +Hilbert Transformation ist die Anwendung eines Quadraturfilters. \\ +Definition im \textbf{Zeitbereich:} +$$\hat{x}(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t} = \frac{1}{\pi} \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau$$ +Im \textbf{Frequenzbereich}: +$$\hat{X}(\omega) = X(\omega) \cdot H(\omega) = -j \cdot sgn(\omega) \cdot X(\omega)$$ diff --git "a/include/Kenngr\303\266ssen von Signalen/Kenngr\303\266ssen von Signalen.tex" "b/include/Kenngr\303\266ssen von Signalen/Kenngr\303\266ssen von Signalen.tex" new file mode 100644 index 0000000..c4d69fc --- /dev/null +++ "b/include/Kenngr\303\266ssen von Signalen/Kenngr\303\266ssen von Signalen.tex" @@ -0,0 +1,97 @@ +\section{Kenngrössen von Signalen} +\begin{tabular}{p{6cm}p{12cm}} + Energie & + $W_n = \lim_{T \to \infty} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} |f(t)|^2 dt$ \\ + Leistung & + $P_n = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} |f(t)|^2 dt$ \\ + *Linearer Mittelwert + \newline \tiny(auch: $ \bar{x}, x_m$) & + $X_0 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2}^{T/2} x(t) dt $ \\ + *Quadratischer Mittelwert & + $X^2 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2}^{T/2} x^2(t) dt$ \\ + *Effektivwert \newline \tiny{("Quadratischer Mittelwert", RMS)} & + $X^2 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2}^{T/2} \sqrt{x^2(t)} dt $ \\ + Mittelwert n. Ordnung \newline \tiny(nur Signale $\in \mathbb{R}$) & + $X^n = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} x^n(t)dt$ \\ + Varianz & + $Var(x) = \sigma^2 = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} (x(t) - X_0)^2 dt$ \\ + Standardabweichung & + $\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{X^2 - (X_0)^2}$ \\ +\end{tabular} +\textbf{\tiny *Hinweis: Formeln sind für Klasse 2a angegeben. \newline + Für Klasse 2b mit: $\lim_{t \to \infty}\;$ für Klasse 1: ohne $\frac{1}{T}$ } + +\subsubsection*{Die Autokorrelationsfunktion (AKF)} +Für Klasse 2a +$$ \varphi_{xx}(\pm \tau) = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} x(t) \cdot x(t- \tau) dt + = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} x(t + \tau) \cdot x(t)dt$$ +\textbf{Eigenschaften:} +\begin{itemize} + \item $\varphi_{xx}(0) = X^2 = (X_0)^2 + \sigma^2$ \tiny Quadratischer Mittelwert \normalsize + \item $\varphi_{xx}(\tau) = \varphi_{xx}(\tau \pm n \cdot T)$, mit $n \in \mathbb{N}$, + AKF hat gleiche Periode $T$ wie $x(t)$ + \item $\varphi_{xx}(\tau) = \varphi_{xx}(-\tau)$, AKF ist gerade Funktion + \item $\varphi_{xx}(0) \geq \left|\varphi_{xx}(\tau)\right|$ + \item $\varphi_{xx}(\tau) \geq (X_0)^2 - \sigma^2$ + \item \textbf{Klasse 2b:} $\lim_{t \to \infty}$ voran; \textbf{Klasse 1:} $\lim_{t \to \infty}$ anstelle $\frac{1}{T}$ +\end{itemize} + +\subsubsection*{Die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)} +Für Klasse 2a: +$$ (x \star y)(\tau) = \varphi_{x_1x_2}(\tau) = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} x_1(t) \cdot x_2(t- \tau) dt + = \frac{1}{T} \int \limits _{-T/2} ^{T/2} x_1(t + \tau) \cdot x_2(t)dt$$ +\textbf{Eigenschaften:} +\begin{itemize} + \item $\varphi_{x_1x_2}(\tau) = \varphi_{x_1x_2}(-\tau)$ + \item ist \textbf{nicht} Kommutativ($(x \star y)(\tau) \neq (y \star x)(\tau)$) + \item \textbf{Klasse 2b:} $\lim_{t \to \infty}$ voran; \textbf{Klasse 1:} $\lim_{t \to \infty}$ anstelle $\frac{1}{T}$ +\end{itemize} + + +\subsection{Vergleich Signalleistung / physikalische Leistung} +Leistungsverhältnisse zweier Leistungen wird oft in dB, Dezibel angegeben. +Bel steht für das Verhältnis zweier Werte im Zehnerlogarithmus. +Aufgrund des d (=dezi) muss ein Faktor 10 verwendet werden. +Werden anstelle Leistungen Effektivwerte genommen wird ein Faktor 20 benötigt. +Bei Referenzwerten $P_0$ ist dieser für $P_x$ resp $x_{rms}$ einzusetzen. + +$$10 \cdot \log_{10} (\frac{P_y}{P_x}) = + 10 \cdot \log_{10}(\frac{(y_{rms})^2}{(x_{rms})^2}) = + 20 \cdot log_{10}(\frac{y_{rms}}{x_{rms}}) = k[\textrm{dB}]$$ +daraus folgt: +$$P_y = P_x \cdot 10^{\frac{k}{10}} \; P_x = \frac{P_y}{10^{\frac{k}{10}}}$$ +bzw: +$$y_{rms} = x_{rms} \cdot 10^{\frac{k}{20}} \; x_{rms} = \frac{y_{rms}}{10^{\frac{k}{20}}}$$ + +\subsection{Rauschen} + +effektive thermische Rauschleistung: $P_r = k \cdot T \cdot \Delta f $ \\ +daraus folgt: $U_r = \sqrt{4\cdot k \cdot T \cdot \Delta f \cdot R} $\\ +wobei $k = 1.380662\cdot 10^{-23} \frac{J}{K}$ = Boltzmann-Konstante\\ + +Signal-Rausch-Verhältnis: $a_r = 10 \cdot log_{10}(\frac{P_s}{P_r}) = 20 \cdot log_{10}(\frac{U_s}{U_r})$ +Rauschzahl: $F = \frac{P_{s_{in}}}{P_{r_{in}}}\cdot \frac{P_{r_{in}}}{P_{s_{out}}} $ +logarithmisch: $A_F = 10 \cdot log_{10}(F) = a_{r_{in}} - a_{r_{out}}$ + +\subsection{Amplitudenanalyse von Signalen} + +\textbf{Amplitudendichte (WSK-Dichte)} $p(a) = lim_{da \to 0} \frac{\sum t (a-\frac{da}{2} < x(t) \leq a + \frac{da}{2})}{T \cdot da}= \frac{1}{T} \cdot \frac{dt}{da}$ + +\subsubsection*{Mittelwerte} + +\textbf{Linear:}$X_0 = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} a \cdot p(a) da$ +\textbf{N-te Ordnung:}$X^n = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} a^n \cdot p(a) da$ +Gauss verteilung \textbf{für Stochastische Signale} $p(a) = N(\mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{-(a-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ +wobei: $\mu$ = Linearer Mittelwert ($X_0$) und $\sigma$ = Varianz + +\subsubsection*{Faltung zweier Amplitudendichten} + +$p(a) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} p_2(x) \cdot p_1(a-x)dx$ +Note: werden 2 Normalverteilungen gefaltet, entsteht eine Normalverteilung. + +\subsubsection*{Weiter Funktionen} + + +Q-Funktion: $Q(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \limits _{\xi} ^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}}d\xi$ +Fehlerfunktion $erf(\xi) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits _{0} ^{\xi} e^{-y^2} dy$ +komplementäre Fehlerfunktion $erfc(\xi) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits _{\xi} ^{\infty} e^{-y^2} dy $ \ No newline at end of file diff --git "a/include/Kenngr\303\266ssen von Signalen/img/Signalklassen.png" "b/include/Kenngr\303\266ssen von Signalen/img/Signalklassen.png" new file mode 100644 index 0000000..69005d2 Binary files /dev/null and "b/include/Kenngr\303\266ssen von Signalen/img/Signalklassen.png" differ diff --git a/include/LTI-Systeme/LTI-Systeme.tex b/include/LTI-Systeme/LTI-Systeme.tex new file mode 100644 index 0000000..0257f8d --- /dev/null +++ b/include/LTI-Systeme/LTI-Systeme.tex @@ -0,0 +1,102 @@ +% Needs Package: \usepackage{bm} +\section{LTI-Systeme} + +$ y(t) = \mathcal{T}[x(t)]$ + +\begin{multicols}{2} + \subsection*{Linearität und Zeitinvarianz} + \begin{itemize} + \item $\mathcal{T}[x_1(t) + x_2(t)] = y_1(t) + y_2(t)$ + \item $\mathcal{T}[k_a \cdot x(t)] = k_a \cdot y(t)$ + \item $\mathcal{T}[x(t-t_0) = y(t-t_0)]$ + \end{itemize} + + \subsection*{Kausalität} + \begin{itemize} + \item Jede Wirkung hat eine Ursache + \item der Aktuelle y(t) Wert ist vom zukünftigen x(t) unabhängig + \item Mathematische Systeme müssen nicht Kausal sein + \item Physikalisch ist Kausalität ein Grundprinzip nach Newton + \end{itemize} + + \subsection{Beschreibung von LTI Systemen} + + \subsubsection{Impulsantwort} + Impulsfunktion $\delta(t)$ wird am Eingang des Systems angelegt, + die Reaktion darauf am Ausgang nennt man die \textbf{Impulsantwort} \bm{$h(t)$}. + Sie beschreibt ein LTI-System vollständig. + + $$ y(t) = \mathcal{T}[x(t)] + = \int \limits _{-\infty} ^{infty} x(\tau) \cdot h(t-\tau)d\tau + = x(t) * h(t)$$ + \subsubsection*{Kausalität} + Bei einem Kausalen System ist $h(t) = 0$ für $t<0$ + + \subsection*{Verzerrung} + Verzerrung = Verformung des Eingangssignals (gefiltert, moduliert, gedämpft, entzerrt). + Sie ist bei LTI Systemen \textbf{linear}. + Eigenschaften: + \begin{itemize} + \item Amplitudenverzerrung: + \begin{itemize} + \item $|H(\omega)|$ unkonstant + \item Spektralanteile $X(\omega)$ in $Y(\omega)$ nicht gleich gross + \item $Y(\omega)$ hat keine zusätzlichen Spektralanteile + \end{itemize} + \item Phasenverzerrung: + \begin{itemize} + \item $\varphi(\omega)$ nicht linear zu $\omega$ + \item Spektralanteile nach Frequenz zeitlich ungleich verzögert + \item Signal im Zeitbereich $x(t) \neq y(t)$ + \end{itemize} + \end{itemize} + \textbf{Verzerrungsfrei:} Ausgangssignal wird nur um einen Faktor $k_a$ skaliert + oder um eine Zeit $t_d$ verzögert. somit gilt: + \begin{itemize} + \item Übertragungsfunktion: $H(\omega) = k_a \cdot e^{-j\omega z_d}$ + \item Amplitudengang: $|H(\omega)| = k_a$ + \item Phasengang: $\varphi_h(\omega) = -t_d \cdot \omega$ + \end{itemize} + + \subsubsection{Frequenzantwort} + Die \textbf{Frequenzantwort} $\bm{H(\omega)}$ ist die Fouriertransformierte Impulsantwort. + Sie ist eine komplexwertige dimensionslose Gewichstsfunktion. + Auch sie beschreibt ein LTI-System vollständig. + + $$ Y(\omega) = X(\omega) \cdot H(\omega)$$ + + \subsubsection*{Berechnung des Ausgangssignals} +\begin{enumerate} + \item Fourier-Transformation: $X(\omega) = \mathcal{F}[x(t)]$ + \item Berechnung in Frequenz $Y(\omega) = X(\omega) \cdot H(\omega)$ + \item Rücktransformation: $y(t) = \mathcal{F}^{-1}[Y(\omega)]$ +\end{enumerate} + + + \subsubsection*{Bezeichnungen} + Übertragungsfunktion: $H(\omega)=|H(\omega)| \cdot e^{j\varphi_H(\omega)}$ \\ + Amplitudengang: $|H(\omega)|$ \\ + Phasengang: $\varphi_H(\omega)$ \\ + + \subsubsection*{Filtereigenschaften} + $Y(\omega) = X(\omega) \cdot H(\omega)$ \\ + $|Y(\omega)| = |X(\omega)| \cdot |H(\omega)|$ \\ + $\varphi_y(\omega) = \varphi_x(\omega) + \varphi_H(\varphi)$ + + \subsubsection*{Filtertypen} + \begin{itemize} + \item Tiefpassfilter: Alle Frequenzen \textbf{grösser} als Eckfrequenz $\omega_c$ werden weggefiltert. + \\ $H(\omega) = 0$ für $|\omega| > \omega_c$ + \\ Bandbreite: Von Frequenz 0 Hz bis Eckfrequenz. + \item Hochpassfilter: Alle Frequenzen \textbf{kleiner} als Eckfrequenz $\omega_c$ werden weggefiltert. + \\ $H(\omega) = 0$ für $|\omega| < \omega_c$ + \item Bandpassfilter: Alle Frequenzen \textbf{ausserhalb} der Eckfrequenzen $\omega_{c1,2}$ werden weggefiltert. + \\ $H(\omega) = 0$ für $|\omega| < \omega_{c1}$ und $H(\omega) = 0$ für $|\omega| > \omega_{c2}$ + \\ Bandbreite: Von unterer bis zur oberen Eckfrequenz + \item Bandsperre: Alle Frequenzen \textbf{innerhalb} der Eckfrequenzen $\omega_{c1,2}$ werden weggefiltert. + \\ $H(\omega) = 0$ für $\omega_{c1} < |\omega| < \omega_{c2}$ + \item Quadraturfilter: Schiebt die Phase um $-90^{\circ}$. + $H(\omega) = -j \cdot sign(\omega)$ + \end{itemize} + +\end{multicols} diff --git a/include/Signalklassen/Signalklassen.tex b/include/Signalklassen/Signalklassen.tex new file mode 100644 index 0000000..68d2a5b --- /dev/null +++ b/include/Signalklassen/Signalklassen.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\section{Signalklassen} +\begin{multicols}{2} + \includegraphics[width = 7cm]{img/Signalklassen.png} + \subsection{weitere Unterteilungen} + \begin{tabular}{|c|c|} + Reellwertig $\mathbb{R}$ & Complexwertig $\mathbb{C}$ \\ + Eindimensional & Mehrdimensional \\ + Stochastisch & Deterministisch \\ + Energiesignale & Leistungssignal \\ + Analog & Digital \\ + Aperiodisch & Periodisch \\ + \end{tabular} +\end{multicols} +\begin{tabular}{ccc} + Klasse 1 & + Klasse 2a & + Klasse 2b \\ + Energiesiegnal & periodisches Leistungssignal & aperiodisches Leistungssignal \\ + $0 < W_n < \infty $ & $0 < P_n < \infty $ & $0 < P_n < \infty$ +\end{tabular} diff --git a/include/Signalklassen/img/Signalklassen.png b/include/Signalklassen/img/Signalklassen.png new file mode 100644 index 0000000..69005d2 Binary files /dev/null and b/include/Signalklassen/img/Signalklassen.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex b/include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex new file mode 100644 index 0000000..35479bd --- /dev/null +++ b/include/Wichtige Funktionen/Wichtige Funktionen.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +%needs Packages: +% - \usepackage[export]{adjustbox} for "valign=t" + +\section{Wichtige Funktionen} +\begin{tabular}{p{5cm} p{12.5cm}} + \includegraphics[width = 5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/Sprungfunktion.png} & + \textbf{Sprungfunktion (Heaviside)} + \footnotesize + Normierter Einschaltvorgang + $$H(t) = \begin{cases} + 0 \textrm{ für } t<0, \\ + [\frac{1}{2} \textrm{ für } t = 0,] \textrm{ \tiny(nicht immer vorhanden; dann 1 für t=0)} \\ + 1 \textrm{ für } t >0. + \end{cases} $$ + \\ + \includegraphics[width = 5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/Impulsfunktion.png} & + \textbf{Diracimpuls} \tiny (auch Impuls-/Deltafunktion, Delta-Distribution) + \footnotesize \newline + Unendlicher kurzer normierter Impuls mit unendlicher Amplitude + $$\int\limits _{-\infty} ^{+\infty} f(t) \cdot \delta (t-t_0) dt = f(t_0) \; + \int\limits _{-\infty} ^{+\infty} f(t) \cdot \delta (t) dt = f(0) \; + \int\limits _{-\infty} ^{+\infty} \delta (t) dt = 1$$ + TODO: \includegraphics[width=5cm]{include/Wichtige Funktionen/img/Eigenschaften _delta.png} \\ + \includegraphics[width = 5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/Signumfunktion.png} & + \textbf{Signumfunktion} (Vorzeichenfunktion) + \footnotesize + $$sgn(t) = \begin{cases} + -1 \textrm{ für } t<0, \\ + 0 \textrm{ für } t = 0, \\ + 1 \textrm{ für } t >0. + \end{cases} $$ \\ + \includegraphics[width=5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/Rampenfunktion.png} & + \textbf{Rampenfunktion} + \footnotesize + $$r(t) = \begin{cases} + 0 \textrm{ für } t \leq 0, \\ + t \textrm{ für } t > 0. + \end{cases}$$ \\ + \includegraphics[width=5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/Rechteckimpuls.png} & + \textbf{Rechteckimpuls} + \footnotesize + $$p_a(t) = u(t+a)-u(t-a)= \begin{cases} + 1 \textrm{ für } |t| < a, \\ + \frac{1}{2} \textrm{ für } |t| = a, \\ + 0 \textrm{ für } |t| > a. + \end{cases} $$ \\ + \includegraphics[width=5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/Dreieckimpuls.png} & + \textbf{Dreieckimpuls} + \footnotesize + $$\Lambda(t) = \begin{cases} + 1 - \frac{|t|}{a} \textrm{ für } |t| < a \\ + 0 \textrm{ für } |t| \geq a + \end{cases}$$ \\ + \includegraphics[width=5cm, valign=t]{include/Wichtige Funktionen/img/SincFunktion.png} & + \textbf{Sinc-Funktion} + \footnotesize + $$sinc(t) = \frac{sin(t)}{t} \forall t$$ \\ +\end{tabular} diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Dreieckimpuls.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Dreieckimpuls.png new file mode 100644 index 0000000..7a6c82c Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Dreieckimpuls.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Eigenschaften _delta.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Eigenschaften _delta.png new file mode 100644 index 0000000..ae5249c Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Eigenschaften _delta.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Impulsfunktion.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Impulsfunktion.png new file mode 100644 index 0000000..a61f290 Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Impulsfunktion.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Rampenfunktion.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Rampenfunktion.png new file mode 100644 index 0000000..a7f0fd0 Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Rampenfunktion.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Rechteckimpuls.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Rechteckimpuls.png new file mode 100644 index 0000000..3fbc648 Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Rechteckimpuls.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Signumfunktion.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Signumfunktion.png new file mode 100644 index 0000000..59cafbe Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Signumfunktion.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/SincFunktion.png b/include/Wichtige Funktionen/img/SincFunktion.png new file mode 100644 index 0000000..2f5e283 Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/SincFunktion.png differ diff --git a/include/Wichtige Funktionen/img/Sprungfunktion.png b/include/Wichtige Funktionen/img/Sprungfunktion.png new file mode 100644 index 0000000..2e4e951 Binary files /dev/null and b/include/Wichtige Funktionen/img/Sprungfunktion.png differ diff --git a/include/Wichtige Werte & Vereinfachungen/Wichtige Werte & Vereinfachungen.tex b/include/Wichtige Werte & Vereinfachungen/Wichtige Werte & Vereinfachungen.tex new file mode 100644 index 0000000..3aa0bda --- /dev/null +++ b/include/Wichtige Werte & Vereinfachungen/Wichtige Werte & Vereinfachungen.tex @@ -0,0 +1,7 @@ + +\section*{Wichtige Werte \& Vereinfachungen} + +\subsubsection*{Integration über Periodendauer} +$\int_T (x \cdot sin(\omega t + \alpha))^2 dt = x^2 \cdot \int_T sin^2(\omega t +\alpha) dt = \frac{x^2}{2}$ +$\int_T (x \cdot cos(\omega t+\alpha))^2 dt = x^2 \cdot \int_T cos^2(\omega t+\alpha) dt = \frac{x^2}{2}$ +\end{document} \ No newline at end of file