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% Options for packages loaded elsewhere
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\PassOptionsToPackage{dvipsnames,svgnames,x11names}{xcolor}
%
\documentclass[
12pt,
]{report}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
\usepackage{unicode-math}
\defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
\defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
% xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
\usepackage[]{microtype}
\UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
\IfFileExists{parskip.sty}{%
\usepackage{parskip}
}{% else
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
\KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{xcolor}
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
% Make \paragraph and \subparagraph free-standing
\ifx\paragraph\undefined\else
\let\oldparagraph\paragraph
\renewcommand{\paragraph}[1]{\oldparagraph{#1}\mbox{}}
\fi
\ifx\subparagraph\undefined\else
\let\oldsubparagraph\subparagraph
\renewcommand{\subparagraph}[1]{\oldsubparagraph{#1}\mbox{}}
\fi
\providecommand{\tightlist}{%
\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}\usepackage{longtable,booktabs,array}
\usepackage{calc} % for calculating minipage widths
% Correct order of tables after \paragraph or \subparagraph
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\longtable{\par}{\if@noskipsec\mbox{}\fi\par}{}{}
\makeatother
% Allow footnotes in longtable head/foot
\IfFileExists{footnotehyper.sty}{\usepackage{footnotehyper}}{\usepackage{footnote}}
\makesavenoteenv{longtable}
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\def\maxwidth{\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth\linewidth\else\Gin@nat@width\fi}
\def\maxheight{\ifdim\Gin@nat@height>\textheight\textheight\else\Gin@nat@height\fi}
\makeatother
% Scale images if necessary, so that they will not overflow the page
% margins by default, and it is still possible to overwrite the defaults
% using explicit options in \includegraphics[width, height, ...]{}
\setkeys{Gin}{width=\maxwidth,height=\maxheight,keepaspectratio}
% Set default figure placement to htbp
\makeatletter
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
% definitions for citeproc citations
\NewDocumentCommand\citeproctext{}{}
\NewDocumentCommand\citeproc{mm}{%
\begingroup\def\citeproctext{#2}\cite{#1}\endgroup}
\makeatletter
% allow citations to break across lines
\let\@cite@ofmt\@firstofone
% avoid brackets around text for \cite:
\def\@biblabel#1{}
\def\@cite#1#2{{#1\if@tempswa , #2\fi}}
\makeatother
\newlength{\cslhangindent}
\setlength{\cslhangindent}{1.5em}
\newlength{\csllabelwidth}
\setlength{\csllabelwidth}{3em}
\newenvironment{CSLReferences}[2] % #1 hanging-indent, #2 entry-spacing
{\begin{list}{}{%
\setlength{\itemindent}{0pt}
\setlength{\leftmargin}{0pt}
\setlength{\parsep}{0pt}
% turn on hanging indent if param 1 is 1
\ifodd #1
\setlength{\leftmargin}{\cslhangindent}
\setlength{\itemindent}{-1\cslhangindent}
\fi
% set entry spacing
\setlength{\itemsep}{#2\baselineskip}}}
{\end{list}}
\usepackage{calc}
\newcommand{\CSLBlock}[1]{\hfill\break\parbox[t]{\linewidth}{\strut\ignorespaces#1\strut}}
\newcommand{\CSLLeftMargin}[1]{\parbox[t]{\csllabelwidth}{\strut#1\strut}}
\newcommand{\CSLRightInline}[1]{\parbox[t]{\linewidth - \csllabelwidth}{\strut#1\strut}}
\newcommand{\CSLIndent}[1]{\hspace{\cslhangindent}#1}
\usepackage{kpfonts} % police kp personnalisée
\usepackage{geometry} % setup des marges du document
\usepackage{fancyhdr} % modif des headers/footers
\usepackage{titling} % setup du pre/post title
\usepackage{tikz}
\usepackage{caption} % cutomise les caption
\usepackage{xcolor}
\usepackage{fontspec} % dépendance de FontAwesome
\usepackage{fontawesome5} % icones FontAwesome
%% Définition des couleurs
\definecolor{light}{HTML}{EEEEEE}
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\definecolor{dark}{HTML}{393E46}
\definecolor{titles}{HTML}{222831}
\definecolor{StackOgray}{HTML}{e3e6e8}
\definecolor{colgraph1}{HTML}{4e6766}
\definecolor{colgraph2}{HTML}{a5c882}
\definecolor{colgraph3}{HTML}{5ab1bb}
%% Définition des marges, headers et footers
\geometry{a4paper, left=20mm, top=25mm, bottom=20mm, right=20mm}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % retire la ligne du fancy header
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=30pt]{imgs/MECEN_logo.png}}
%\fancyfoot[L]{\faIcon{creative-commons-by}}
%% Page de garde
\pretitle{
\vspace{-7.5em}
\begin{center}
\LARGE{\textsc{Master Économiste d'Entreprise}\\
\vspace{2em}}
\begin{minipage}[t]{0.6\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth,height=0.25\textheight,keepaspectratio]{imgs/UT_logo.jpg}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
\raisebox{0.15\height}{\includegraphics[width=\textwidth,height=0.11\textheight,keepaspectratio]{imgs/MECEN_logo.png}}
\end{minipage}\\
\vspace{7.5em}
\Large{\textsc{Recherche, Réalisation, Restitution}}
\vspace{5em}\\
\rule{16cm}{2pt}\vspace{1em}
}
\posttitle{\rule{16cm}{2pt}\end{center}}
%% Améliore la commande `text`
\renewcommand{\texttt}[1]{\colorbox{light}{\color{highlight}{\ttfamily{#1}}}}
%% Améliore la commande footnote
\renewcommand*{\thefootnote}{\textcolor{highlight}{(\arabic{footnote})}}
%% Ajoute la commande pour faire ***
\newcommand{\macrostars}{
\vspace{2em}
\begin{center}
\textcolor{highlight!80!black}{\Large{$\ast\ast\ast$}}
\end{center}
}
%% Commande de divider
\newcommand{\divider}{\setlength{\parindent}{0pt}\textcolor{StackOgray!30}{\rule{\linewidth}{0.6pt}}\smallskip}
%% Caption de Figure et Table customisée
\DeclareCaptionFormat{myformat}{\textcolor{highlight}{\textbf{Figure \thefigure} $-$ }\ #3}
\captionsetup[figure]{format=myformat}
\DeclareCaptionFormat{mytableformat}{\textcolor{highlight}{\textbf{Table \thetable} $-$ }\ #3}
\captionsetup[table]{format=mytableformat}
%% Customisation du titre des chapitres
\makeatletter
\renewcommand{\chapter}{%
\clearpage % Nouvelle page avant chaque chapitre
\@startsection{chapter}%
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pdfkeywords={Stochastic Frontier Analysis, Hedonic Pricing, Product
Efficiency, Smartphones},
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\title{\Huge \textbf{\textsf{Application des modèles SFA\\ à l'étude des prix}}
\vspace{5em}}
\author{\textit{Corentin DUCLOUX} et \textit{Aybuké BICAT} \vspace{2em}}
\date{10 avril 2024}
\begin{document}
\maketitle
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{
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\tableofcontents
}
\newpage
\chapter{Remerciements}\label{remerciements}
Nous tenons à remercier chaleureusement Monsieur
\href{https://fr.linkedin.com/in/alain-bousquet-95466769}{\emph{Alain
BOUSQUET}} pour son accompagnement tout au long de ce projet
\textbf{3R}, qui a toujours été ouvert à l'exploration de nouveaux
sujets, à l'expérimentation, et nous a encouragé à creuser diverses
pistes de réflexion. Ce sujet a été et sera pour nous l'occasion de
mettre en pratique l'ensemble des connaissances acquises dans notre
cursus universitaire (microéconomie, économétrie, statistiques, analyse
de la concurrence, pricing, développement logiciel sous
\faIcon{r-project} et \texttt{python} \faIcon{python}) sur une
problématique éminemment appliquée.
\macrostars
\vspace{35em}
\emph{Note} : Ce \textbf{PDF} a été entièrement rédigé en utilisant
\texttt{Quarto}\footnote{\texttt{Quarto} : Système de publication
technique et scientifique \emph{open-source} \(\Rightarrow\)
\url{https://quarto.org/}.}, combinant la puissance et la versatilité
de R, Python, et \LaTeX. Une présentation interactive \texttt{reveal.js}
du sujet est aussi disponible.\footnote{Retrouvez la présentation sur
\url{https://corentinducloux.fr/Reveal.js/slides_smartphones.html}.}
\chapter{Introduction}\label{introduction}
En tant que consommateur, nous nous retrouvons souvent face à une
question infiniment plus complexe qu'elle n'en a l'air. En des termes
simples, elle se traduit par : pourquoi ce prix ? Pour quelle raison ce
stylo, cette nouvelle télévision, ou ce smartphone coûte tant ? Est-ce
une simple question de coût de production, de marge ? Ou bien cela
prend-il en compte d'autres éléments, tels que la valeur perçue par le
consommateur, les caractéristiques spécifiques d'un produit, ou encore
le service qu'il rend ?
Dans ce cadre, une approche essentielle dans l'analyse des prix est
celle des prix hédoniques. Celle-ci considère que le prix d'un bien ou
d'un service est influencé non seulement par ses caractéristiques, mais
aussi par la valeur subjective que les individus accordent à ces
caractéristiques. Ainsi, la méthode des prix hédoniques examine comment
des éléments spécifiques tels que la qualité ou les fonctionnalités d'un
produit impactent sa valeur perçue, reflétée dans son prix.
La compréhension des mécanismes sous-jacents à la détermination des prix
dans un marché est d'une importance cruciale tant pour les consommateurs
que pour les entreprises. Face à ces interrogations, les modèles SFA
\emph{(Stochastic Frontier Analysis)} émergent comme un outil puissant,
permettant d'évaluer et d'analyser l'efficacité des prix des produits en
allant bien au-delà d'une simple évaluation du coût de production. Ces
modèles supposent que les prix sont à l'équilibre, et prennent en compte
à la fois les valorisations du côté des consommateurs et les coûts de
production du côté des producteurs pour comprendre comment se forment
réellement les prix.
En ce sens, les modèles SFA, dans le cadre de l'étude des prix, entrent
en synergie avec l'approche hédonique en permettant une analyse
approfondie des différentes composantes qui influencent la formation des
prix.
\macrostars
\vspace{2em}
Ainsi, cette étude se déroulera en trois étapes clés : une revue de la
littérature portant sur les modèles SFA et la notion de prix hédonique.
Ensuite, nous nous concentrerons sur le processus de délimitation de
notre problématique d'étude (\emph{le marché des smartphones}). Enfin,
nous aborderons l'acquisition des données, les statistiques descriptives
et la modélisation économétrique pour comprendre plus en détail les
mécanismes de fixation des prix dans le contexte complexe et évolutif
des smartphones.
\chapter{Revue de la littérature}\label{revue-de-la-littuxe9rature}
\section{Une nouvelle approche de la théorie du
consommateur}\label{une-nouvelle-approche-de-la-thuxe9orie-du-consommateur}
En microéconomie, dans la théorie du consommateur \emph{classique}, le
choix du meilleur ensemble de consommation dépend des préférences d'un
individu. Les préférences de cet individu sont classiquement
représentées par la fonction d'utilité :
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-umax}{
U(x) = U(x_1, x_2, \dots, x_n)
}\end{equation}
Avec \(x_1, x_2, \dots, x_n\) un vecteur de \(n\) biens.
L'équation~\ref{eq-umax} exprime donc la relation entre la quantité de
biens consommés et le niveau d'utilité que ces biens procurent à un
agent. Dès lors, dans ce cadre, la consommation de biens procure
\textbf{directement} de l'utilité à l'agent. En pratique pourtant, il
est difficile de concevoir comment l'achat d'un bien comme une lampe ou
un stylo peut nous apporter de l'utilité en tant que consommateur.
Pour répondre à cette difficulté, Lancaster
(\citeproc{ref-lancaster1966}{1966}) propose un nouveau cadre conceptuel
théorique décrit par les hypothèses suivantes.
\begin{tcolorbox}[enhanced jigsaw, bottomrule=.15mm, toprule=.15mm, colback=white, opacitybacktitle=0.6, leftrule=.75mm, colframe=quarto-callout-tip-color-frame, colbacktitle=quarto-callout-tip-color!10!white, left=2mm, bottomtitle=1mm, opacityback=0, rightrule=.15mm, coltitle=black, toptitle=1mm, titlerule=0mm, title=\textcolor{quarto-callout-tip-color}{\faLightbulb}\hspace{0.5em}{Hypothèses}, arc=.35mm, breakable]
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Le bien en lui-même ne procure pas d'utilité au consommateur
\(\Rightarrow\) il possède des \textbf{caractéristiques} qui procurent
de l'utilité.
\item
Un bien est un ensemble (\emph{bundle}) de caractéristiques \(-\) il
possède le plus souvent de nombreuses caractéristiques.
\item
Une combinaison de biens peut procurer une utilité qui n'est pas la
simple somme des utilités procurées par les biens séparément.
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\emph{Illustrons ces points avec quelques exemples} :
\begin{itemize}
\item
Un ordinateur n'est pas acheté pour le simple plaisir de posséder un
ordinateur. Il est acheté car il permet de naviguer sur Internet,
écrire des cours, programmer, regarder une série, etc. C'est donc pour
les \textbf{services qu'il nous rend}, ce qui est modélisé ici par les
caractéristiques possédées du bien.
\item
Les biens possèdent généralement un grand nombre de caractéristiques.
Prenons l'exemple d'une gourde : la couleur, la forme, les dimensions
et la capacité isothermique sont autant de caractéristiques qui
peuvent influer sur la décision d'achat et la disposition à payer.
\item
En consommant du lait et du café séparément, les caractéristiques
retirées du lait sont de la vitamine D et du calcium, tandis que pour
le café les caractéristiques retirées sont de la caféine, une boisson
chaude, un \emph{``boost''} le matin. En revanche, consommer un café
latte permettra d'obtenir une boisson plus douce, moins caféiné, un
goût différent. En bref, les caractéristiques retirées du mélange sont
différentes.
\end{itemize}
Dans le modèle de Lancaster, on pose une relation \textbf{linéaire}
entre les prix des biens et leurs caractéristiques. Le prix total \(p\)
d'un bien peut donc être considéré comme la somme des prix individuels
associé à chaque caractéristique. Cela découle du fait que les attributs
des biens étudiés peuvent être considérés comme des composantes
distinctes et séparables.
\section{Pricing Hédonique}\label{pricing-huxe9donique}
\subsection{Aspects théoriques}\label{aspects-thuxe9oriques}
Rosen (\citeproc{ref-rosen1974}{1974}) étend ce qui a été apporté par le
cadre théorique de Lancaster (\citeproc{ref-lancaster1966}{1966}). La
principale différence est qu'il s'intéresse à \textbf{l'équilibre de
marché de biens différenciés} (là où Lancaster s'intéresse uniquement à
la demande) avec :
\begin{itemize}
\item
un continuum de biens du côté de l'offre.
\item
un continuum de consommateurs hétérogènes du côté de la demande.
\end{itemize}
Dans ce modèle, la relation entre les prix des biens et leurs attributs
peut-être \textbf{non-linéaire} et permet aussi de capter des effets
d'interaction entre plusieurs variables. Au coût d'une modélisation plus
complexe que dans le modèle de Lancaster
(\citeproc{ref-lancaster1966}{1966}), les résultats gagnent en
robustesse.
L'objet de la contribution de Rosen est d'étudier un bien différencié
\(z\) décrit par le vecteur de ses \(n\) caractéristiques mesurables tel
que :
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-hedonic}{
z = (z_1, z_2, \dots, z_n)
}\end{equation}
Afin de comprendre pourquoi il est important d'étudier des biens
différenciés dans ce cadre, regardons en détail le graphique suivant.
\begin{figure}
\centering{
\includegraphics{report_files/figure-pdf/fig-hedonic-1.pdf}
}
\caption{\label{fig-hedonic}Plan \((z_1, z_2)\) de différents biens avec
2 caractéristiques.}
\end{figure}%
En général, nous sommes habitués à représenter les préférences des
consommateurs en termes de quantités de biens \(x_1, x_2\). Ici, on
assiste à un changement de paradigme : on va représenter les préférences
des consommateurs en termes de caractéristiques de biens, c'est-à-dire
dans l'espace \(z_1, z_2\) (on choisit de prendre seulement 2
caractéristiques et 6 biens pour simplifier).
On peut en déduire que les consommateurs achetant le \emph{bien 5}
valorisent plus les caractéristiques \(z_1\) que \(z_2\), et inversement
pour le \emph{bien 4}.
\emph{En fait, la différenciation horizontale et verticale des produits
implique qu'une vaste gamme de paniers est disponible dans cet espace de
consommation !}
\begin{itemize}
\item
\textbf{Différenciation Horizontale} \(\Rightarrow\) A prix donné, il
n'y a pas unanimité dans le choix des consommateurs entre 2 biens
(jaune et rouge) : ce sont des différences de goûts.
\item
\textbf{Différenciation Verticale} \(\Rightarrow\) A prix donné, il y
a unanimité dans le choix des consommateurs entre 2 voitures biens :
l'un est meilleur que l'autre.
\end{itemize}
Il faut aussi noter que dans le modèle de Rosen, le consommateur
n'achète qu'\textbf{une seule} unité de bien qui est une combinaison
d'attributs \(z_1, z_2, \dots, z_n\). Historiquement, cela s'explique
car Rosen s'intéresse principalement aux biens durables (logements,
voitures, smartphones\ldots). Il est en effet beaucoup plus simple
d'obtenir des caractéristiques observables sur ces biens durables : que
ce soit le nombre de pièces pour un logement, la superficie, ou bien la
puissance et la longueur d'une voiture.
De toutes ces informations, on peut formuler 2 questions.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Pour le \textbf{producteur}, quelle combinaison de caractéristiques
lui permet de maximiser son profit ?
\item
Pour le \textbf{consommateur}, quelle combinaison de caractéristiques
lui rapporte le plus d'utilité sous contrainte budgétaire ?
\end{itemize}
On aboutit à une relation fonctionnelle entre les caractéristiques des
biens et leur prix, appelée fonction de prix hédonique \(p(z)\).
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-price}{
\boxed{p(z) = p(z_1, z_2, \dots, z_n)}
}\end{equation}
Un produit est donc défini en chaque point du plan et guide les choix de
localisation des consommateurs et des producteurs concernant les
ensembles de caractéristiques.
\begin{tcolorbox}[enhanced jigsaw, bottomrule=.15mm, toprule=.15mm, colback=white, opacitybacktitle=0.6, leftrule=.75mm, colframe=quarto-callout-warning-color-frame, colbacktitle=quarto-callout-warning-color!10!white, left=2mm, bottomtitle=1mm, opacityback=0, rightrule=.15mm, coltitle=black, toptitle=1mm, titlerule=0mm, title=\textcolor{quarto-callout-warning-color}{\faExclamationTriangle}\hspace{0.5em}{Limites}, arc=.35mm, breakable]
Il n'en reste pas moins qu'il subsiste un problème indéniable : ce qu'on
aimerait réellement mesurer c'est le \textbf{service rendu par un
produit} \emph{(pour lequel le lien précis entre ses fonctionnalités et
les services rendus reste inconnu)} et non pas les caractéristiques de
ce produit. Mais ce premier est complètement inobservable. Un défi sera
donc d'interpréter correctement les résultats des régressions.
\end{tcolorbox}
\subsection{Application}\label{application}
Harrison Jr et Rubinfeld (\citeproc{ref-harrison1978}{1978}) :
\textbf{Objectif} : Examiner comment les données du marché immobilier
peuvent être utilisées pour évaluer la \emph{Willingness To Pay} des
consommateurs pour une meilleure qualité de l'air.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Le modèle suppose que les ménages prennent en compte le niveau de
pollution de l'air, la quantité et la qualité du logement et d'autres
caractéristiques de quartier pour faire leur choix.
\end{itemize}
\newpage
\begin{itemize}
\tightlist
\item
La fonction de la valeur hédonique du logement traduit les attributs
du logement en prix, et suppose que les consommateurs perçoivent avec
précision ces attributs et que le marché est en équilibre à court
terme.
\end{itemize}
\emph{Définition des variables}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(W\) = WTP \emph{marginale} pour une meilleure qualité de l'air
\item
\(NOX\) = Concentration des oxydes d'azote\footnote{Variable de
pollution, \(NOX\) est un \emph{proxy} pour la qualité de l'air.}
\item
\(INC\) = Revenu du ménage en centaine de dollars
\end{itemize}
Trois niveaux de revenu par an découpés en variable catégorielles :
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\textbf{LOW} si \(INC\) \(\leq \$\) 8500 \(\Rightarrow Y_0\)
(Catégorie de référence)
\item
\textbf{MEDIUM} si \(INC\) \(\leq \$\) 11500 \(\Rightarrow Y_1\)
\item
\textbf{HIGH} si \(INC\) \(\leq \$\) 15000 \(\Rightarrow Y_2\)
\end{itemize}
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-WTP1}{
\log(W) = \beta_0 + \beta_1 \log(NOX) + \beta_2 \log(INC) + \beta_3[Y_1 \cdot \log(NOX)] + \beta_4[Y_2 \cdot \log(NOX)]
}\end{equation}
Coefficients estimés pour la régression \(\log-\log\) (significatifs au
seuil \(p<0.01\)) :
\[
\log(W) = \underbrace{2.2}_{\beta_0} + \underbrace{0.97}_{\beta_1} \log(NOX) + \underbrace{0.8}_{\beta_2} \log(INC) - \underbrace{0.03}_{\beta_3}[Y_1 \cdot \log(NOX)] - \underbrace{0.07}_{\beta_4}[Y_2 \cdot \log(NOX)]
\]
\textbf{Résultats} : La WTP marginale pour une meilleure qualité de
l'air augmente avec le niveau de pollution de l'air et avec le niveau de
revenu des ménages. Plus précisément, malgré la présence d'effets
d'interaction significatifs mais faibles, il est observé que toutes
choses égales par ailleurs, lorsque le niveau de \(NOX\) et le revenu du
ménage augmentent, le prix a tendance à augmenter également.
\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}
Pour finir, l'approche hédonique a été utilisée empiriquement dans de
très nombreux domaines comme par exemple :
Berndt et Rappaport (\citeproc{ref-berndt2001}{2001}) \(\Rightarrow\)
Secteur informatique.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
L'objectif de cet article est d'examiner l'évolution des prix ajustés
en qualité des ordinateurs personnels de bureau et mobiles entre 1976
et 1999.
\end{itemize}
Chen et Rothschild (\citeproc{ref-chen2010}{2010}) \(\Rightarrow\)
Secteur de l'hôtellerie.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Analyse l'impact des caractéristiques des hôtels de Taipei sur leurs
tarifs en utilisant les données de 73 hôtels collectées auprès d'un
agent de voyage en ligne.
\end{itemize}
Yim, Lee, et Kim (\citeproc{ref-yim2014}{2014}) \(\Rightarrow\) Secteur
de la restauration.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Explore l'impact des attributs des restaurants à Séoul sur leurs prix
moyens de repas en examinant les données de 185 établissements
recueillies via diverses sources.
\end{itemize}
Dans la littérature, une spécification \emph{semi-log} est généralement
préférée en raison de sa capacité à mieux modéliser les relations non
linéaires entre les variables. De plus, cette forme permet d'améliorer
l'ajustement du modèle aux données observées, et offre un \(R^2\)
supérieur à celui obtenu avec d'autres spécifications \(-\) voir Bello
et Moruf (\citeproc{ref-bello2010}{2010}).
\newpage
\section{Fonction de production}\label{fonction-de-production}
Avant de passer à l'explication de la seconde partie théorique,
c'est-à-dire les modèles SFA, attardons-nous sur la définition d'une
fonction de production, fondement important de la SFA.
\begin{tcolorbox}[enhanced jigsaw, bottomrule=.15mm, toprule=.15mm, colback=white, opacitybacktitle=0.6, leftrule=.75mm, colframe=quarto-callout-tip-color-frame, colbacktitle=quarto-callout-tip-color!10!white, left=2mm, bottomtitle=1mm, opacityback=0, rightrule=.15mm, coltitle=black, toptitle=1mm, titlerule=0mm, title=\textcolor{quarto-callout-tip-color}{\faLightbulb}\hspace{0.5em}{Rappel}, arc=.35mm, breakable]
\begin{itemize}
\item
Un processus de production représente la transformation d'inputs en
outputs.
\item
Dès lors, une fonction de production \(f(.)\) donne la quantité
maximum d'output \(y\) pouvant être produite à partir de combinaison
d'inputs.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-prod}{
y_i = f(x_i; \beta)
}\end{equation}
Avec \(x_i\) le vecteur d'inputs et \(\beta\) le vecteur de paramètres
inconnus à estimer.
\(f(x_i; \beta)\) est en fait la frontière de production. Pour l'instant
cette frontière ne prend pas en compte l'efficacité technique \(TE_i\)
et elle n'est pas \emph{stochastique} car elle n'inclut pas de terme
aléatoire.
\macrostars
\vspace{2em}
Farrell (\citeproc{ref-farrell1957}{1957}) est le premier auteur à
définir cette \emph{Frontière de Production}.
\begin{quote}
\emph{``When one talks about the efficiency of a firm one usually means
its success in producing as large as possible an output from a given set
of inputs.''}
\end{quote}
Cette définition permet donc d'aboutir à la formulation évoquée à
l'équation~\ref{eq-prod}.
\section{Le modèle SFA}\label{le-moduxe8le-sfa}
\subsection{Aspects théoriques}\label{aspects-thuxe9oriques-1}
Aigner, Lovell, et Schmidt (\citeproc{ref-aigner1977}{1977}) :
\textbf{Objectif} : Formulation et estimation de fonctions de frontière
de production stochastique.
Avant les travaux de Aigner, Lovell, et Schmidt
(\citeproc{ref-aigner1977}{1977}), les économètres utilisaient
principalement dans la littérature des fonctions de production pour
étudier le lien entre le niveau de production et la quantité d'inputs
utilisés. Cela signifie que la formulation théorique énoncée par Farrell
(\citeproc{ref-farrell1957}{1957}) différait de l'utilisation empirique.
En effet, Farrell (\citeproc{ref-farrell1957}{1957}) a lui introduit la
notion d'efficacité au sens du \textbf{niveau maximum de production}
atteignable étant donné une combinaison spécifique d'inputs.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
On repart de la fonction de production (équation~\ref{eq-prod}), mais
en lui ajoutant un terme multiplicatif \(TE_i\).
\end{itemize}
\[{\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot TE_{i}}\]
\(TE_i\) représente l'efficacité technique, définie comme le ratio
d'output observé sur l'output maximum réalisable, soit
\(TE_i = \dfrac{y_i}{y_i^*}\).
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Si \(TE_i = 1\) alors la firme \(i\) produit l'output maximum
réalisable, alors que si \(TE_i < 1\), il existe un écart entre
l'output maximum et l'output effectivement observé.
\end{itemize}
Un composant \textbf{stochastique} \({\exp \left\{{v_{i}}\right\}}\) est
en outre ajouté pour représenter les chocs aléatoires affectant la
production. La fonction de production devient alors :
\[{\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot TE_{i}\cdot \exp \left\{{v_{i}}\right\}}\]
On peut ré-écrire l'efficacité technique sous la forme
\({\displaystyle TE_{i}=\exp \left\{{-u_{i}}\right\}}\). Dès lors :
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-sfa}{
\boxed{{\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot \exp \left\{{-u_{i}}\right\}\cdot \exp \left\{{v_{i}}\right\}}}
}\end{equation}
\emph{Note} : En réarrangeant l'équation~\ref{eq-sfa} avec le logarithme
népérien, on obtient :
\(\Leftrightarrow \ln(y_i) = \ln(f(x_i;\beta)) + \underbrace{v_i -u_i}_{\epsilon_i}\)
Le modèle peut alors s'écrire sous la forme suivante :
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-log-sfa}{
\boxed{\ln(y_i) = \ln(f(x_i;\beta)) + \epsilon_i}
}\end{equation}
L'avantage de cette écriture est qu'elle facilite la manipulation des
termes d'erreur, et il est très simple de retrouver le logarithme de
l'output maximum. En effet :
\(\Leftrightarrow \ln(y_i) = \underbrace{\ln(f(x_i;\beta)) + v_i}_{\ln(y_i^*)} -u_i\)
Et donc le logarithme de l'output observé est simplement
\(\ln(y_i) = \ln(y_i^*) -u_i\).
Les termes d'erreur \(\epsilon_i\) ont ainsi une distribution
particulière composée :
\begin{itemize}
\item
\(v_i\) est une \textbf{erreur aléatoire} \(\Rightarrow\) variation
inexpliquée par les variables indépendantes du modèle, avec
\(v_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_v)\).
\item
\(u_i\) est un \textbf{composant unilatéral} qui peut être choisi
parmi plusieurs distributions\footnote{Dans la littérature, deux
distributions sont couramment utilisées : la distribution
\textbf{semi-normale} et \textbf{normale tronquée}.} et
\(u_i \geq 0\), puisqu'il est nécessaire d'avoir \(TE_i ≤ 1\).
\end{itemize}
\begin{tcolorbox}[enhanced jigsaw, bottomrule=.15mm, toprule=.15mm, colback=white, opacitybacktitle=0.6, leftrule=.75mm, colframe=quarto-callout-tip-color-frame, colbacktitle=quarto-callout-tip-color!10!white, left=2mm, bottomtitle=1mm, opacityback=0, rightrule=.15mm, coltitle=black, toptitle=1mm, titlerule=0mm, title=\textcolor{quarto-callout-tip-color}{\faLightbulb}\hspace{0.5em}{Conclusion}, arc=.35mm, breakable]
Pour chaque observation dans ce modèle, on récupère \(\epsilon_i\), qui
représente un écart à la frontière. La spécification de cette méthode
permet donc d'estimer, à travers l'espérance conditionnelle de \(u_i\)
sachant \(\epsilon_i\), les scores de l'\textbf{efficacité technique} de
chaque firme.
\end{tcolorbox}
Enfin, Kumbhakar, Horncastle, et al.
(\citeproc{ref-kumbhakar2015}{2015}) discutent aussi dans la section
\textbf{3.3} de leur livre des approches dites \emph{distribution-free}
sur \(u_i\) dans lesquelles aucune hypothèse ne sont faites sur la
distribution que suit les \(u_i\). Nous ne nous intéresserons pas à ces
méthodes puisqu'elles ont le défaut de ne pas pouvoir correctement
distinguer les \(v_i\) des \(u_i\), et donc ne sont pas en mesure
d'estimer les scores d'efficacité technique.
\newpage
On l'a vu ci-dessus, la SFA est une méthode \textbf{paramétrique} qui
requiert une forme fonctionnelle précise. La SFA n'a cependant pas le
monopole dans le domaine de l'estimation des frontières de production.
Un autre modèle (non-paramétrique) a aussi été développé : la Data
Envelopment Analysis (DEA). Celui-ci a l'avantage de ne pas exiger
d'hypothèse particulière sur des termes d'erreur. La structure du modèle
n'est pas spécifiée à priori mais est uniquement déterminée à partir des
données.
\macrostars
\vspace{2em}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{imgs/stochastic_image.jpeg}
\caption{Représentation graphique d'une SFA.}
\label{fig:example}
\end{figure}
\(*\) Droits d'auteur :
\href{https://www.researchgate.net/profile/Lutz-Bornmann}{Lutz Bornmann}
À partir de cette représentation, on peut clairement distinguer les
effets de \(v_i\) (\texttt{noise}) et ceux de \(u_i\)
(\texttt{inefficiency}) dans un espace à deux dimensions avec \(X\) la
quantité d'inputs et \(Y\) la quantité d'outputs. La frontière optimale
de production est ici représentée en noir par
\(y = \beta_0 + \beta_1x\).
\begin{itemize}
\item
2 entreprises utilisant la même quantité d'inputs (\(X=3\)) sont mises
en évidence dans le graph. La première se situe en dessous de la
frontière de production avec \(Y \simeq 2\) et la seconde est
au-dessus de celle-ci avec \(Y>6\).
\item
Les 2 firmes utilisent donc la même quantité d'inputs pour une
quantité d'output différente, à savoir : la première firme est moins
efficace dans l'utilisation optimale de ses inputs, donc son
efficacité technique est inférieure à la seconde.
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Utilisation empirique}\label{utilisation-empirique}
\textbf{Quelques exemples d'application de la SFA dans le cadre de la
mesure d'efficacité} :
Reinhard, Lovell, et Thijssen (\citeproc{ref-reinhard2000}{2000})
\(\Rightarrow\) Secteur Environnemental.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
L'objectif de cet article est d'estimer l'efficacité environnementale
pour les fermes laitières aux Pays-Bas.
\end{itemize}
Rosko et Mutter (\citeproc{ref-rosko2008}{2008}) \(\Rightarrow\) Secteur
Hospitalier.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Cet article est quant à lui une méta-analyse de l'ensemble des
articles de SFA et de DEA existants sur l'efficacité hospitalière aux
Etats-Unis.
\end{itemize}
Mohamad, Hassan, et Bader (\citeproc{ref-mohamad2008}{2008})
\(\Rightarrow\) Secteur Bancaire.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Compare l'efficacité des coûts et des profits de 80 banques dans 21
pays comprenant 37 banques conventionnelles et 43 banques islamiques.
\end{itemize}
\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}
\textbf{En bref, il existe de nombreux domaines d'application} !
Un domaine en particulier n'a pourtant pas été évoqué jusqu'ici :
pourquoi ne pas utiliser la SFA pour mesurer l'\emph{efficacité} d'un
prix \textbf{(best-buy frontier)} ?
C'est précisément le cadre du prochain article de notre revue de la
littérature.
\section{SFA \& Pricing Hédonique}\label{sfa-pricing-huxe9donique}
Arrondo, Garcia, et Gonzalez (\citeproc{ref-arrondo2018}{2018}) :
\textbf{Objectif} : déterminer les attributs principaux des prix des
sneakers en Espagne et leur efficacité.
Six caractéristiques\footnote{Variables quantitatives discrètes
\(\in [1,10[\).} sont étudiées sur \(n=171\) sneakers.
\begin{itemize}
\item
\textbf{Lightweight} : poids des sneakers.
\item
\textbf{Cushioning} : capacité de la chaussure à absorber les chocs au
cours d'une course et tout au long du cycle de vie du produit.
\item
\textbf{Flexibility} : les baskets flexibles s'adaptent mieux à la
forme naturelle du pied.
\item
\textbf{Response} : capacité du matériau à retrouver sa forme après
les déformations provoquées par l'impact sur le sol.
\item
\textbf{Grip} : l'adhérence donne aux coureurs une certaine assise sur
le sol.
\item
\textbf{Stability} : mesure la stabilité du pied à l'intérieur de la
chaussure.
\end{itemize}
En plus de ces 6 caractéristiques techniques, la marque est ajoutée en
tant que variable qualitative pour mesurer la \emph{Brand Equity} (la
valeur d'une marque pour le consommateur).
\newpage
Le modèle pour la marque \(k\) s'écrit alors :
\begin{equation}\phantomsection\label{eq-arrondo}{
\ln(p_{ik}) = \alpha_k + \beta X_{ik} + v_{ik} + u_{ik}
}\end{equation}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(p_{ik}\) est le prix du \(i\)-ème modèle de marque \(k\).
\item
\(α_k\) est l'effet marque sur le prix de la marque \(k\).
\item
\(X_{ik}\) est le vecteur des attributs mesurables du \(i\)-ème modèle
de marque \(k\).
\item
\(β\) est un vecteur de coefficients pour ces attributs.
\item